甘肅省白銀市靖遠縣第八中學(730699) 白富榮

美國著名學家布魯姆曾說過：“沒有預料不到的結果,教學就不可能成為一門藝術．”只要教者善于啟發(fā)引導,營造輕松開放的課堂氛圍,學生的思維還是很活躍的,也總會提出一些令人預料不到的問題．在一節(jié)題為“特殊四邊形的面積問題”的中考復習課中,學生的問題就讓我始料未及......

一、課堂再現(xiàn)

師：還有什么四邊形的面積可以用兩條對角線乘積的一半來計算?

生1：正方形．因為正方形是特殊的菱形．

師：很好!還有什么四邊形呢?

學生陷入沉思......

圖1

師：我們不妨回顧下菱形這一面積公式的推導過程,你能從中發(fā)現(xiàn)什么?如圖1：因為菱形的對角線互相垂直,所以有

生2：我知道了．菱形面積是被一條對角線分成的兩個三角形面積的和．因為菱形的對角線互相垂直,所以以一條對角線為三角形的底邊,另一條對角線被交點分成的兩條線段正好是兩個三角形的高,所以才有這樣的結論．

師：好!我們繼續(xù)前面的問題,相信這次你能找到其它四邊形了．

生3：箏形(兩組鄰邊相等的四邊形)．如圖2,因為箏形是軸對稱圖形,它的兩條對角線互相垂直,面積計算方法同菱形,可以得出它的面積也等于對角線乘積的一半．

圖2

生4：這樣的話,只要一個四邊形的對角線互相垂直,它的面積就等于兩條對角線乘積的一半．

這時意料之外的事情發(fā)生了......

生5：那對角線互相垂直的凹四邊形也行嗎?

同學們笑了,看出來該生是在故意和生3對著說,想要駁倒他的意思．

我并沒有簡單否定,而是讓大家畫圖探究,小組討論．這時有位同學肯定了凹四邊形也行,并給出了理由：

圖3

生6：如圖3所示,凹四邊形ABCD中,對角線BD與對角線AC的延長線互相垂直,垂足為點

同學們送上了掌聲．至此,學生們思維被徹底激活了......

生7：對角線互相不垂直的任意四邊形的面積又該怎樣算呢?它的面積還和對角線長度有關嗎?

如圖4：任畫四邊形ABCD,連接對角線AC、BD.

圖4

生8：與前面一樣,還是通過對角線把四邊形分成兩個三角形來計算面積．分別過A、C兩點做BD的垂線,垂足分別為E、F．于是

師：這時四邊形的面積并不等于兩條對角線乘積的一半．那么,任意四邊形的面積還和兩條對角線的長度有關嗎?

生9：計算時用到了一條對角線,至于和另一條對角線的關系嗎(充滿疑惑和迷茫)?還沒看出來……

師：那么,兩條高和另一條對角線AC有關系嗎?

生10：我認為有關系．因為對角線AC被交點O分成了兩段OA和OC．而OA與AE是直角三角形OAE的斜邊和直角邊,OC和CF也是一樣的位置關系．

師：這位同學觀察的很細致!那么直角三角形的斜邊和直角邊的有何關系?

大多數(shù)同學首先提到勾股定理．這時我及時引導如下：

師：勾股定理反映的是直角三角形的三邊關系．請大家回想下,與直角三角形兩邊有關的內容還有什么?

生11：我想到了!銳角三角函數(shù)．

師：你真聰明!那么我們不妨設兩條對角線的夾角為α.請大家運用銳角三角函數(shù)的知識分別在兩個直角三角形中列出AE、CF與OA、OC的關系．

生12：AE=OAsinα,CF=OCsinα.

由此可見,任意四邊形的面積都和兩條對角線的長度及其夾角的大小有關．

二、課后反思

本來這只是一節(jié)特殊四邊形面積問題的專題復習課,但課堂上的精彩生成令我興奮不已!對于這堂課,我有以下幾點思考：

1.課堂上必須營造輕松和諧的課堂氛圍,建立融洽的師生關系． 孔子云：“知之者不如好之者,好之者不如樂之者．”興趣是最好的老師,一旦學生興趣激發(fā)出來,讓學生樂學會學,那么課堂教學就會呈現(xiàn)出勃勃生機,獲得事半功倍之效．教師提出具有挑戰(zhàn)意味的情境或是巧設懸疑,往往能調動學生參與的積極性,自覺地思考、分析、解決問題．

2.教師不固守自封,墨守成規(guī),而是要善于引導,耐心傾聽每一位學生的想法．本課提出凹四邊形的那位學生看似是出風頭,但恰恰說明這位同學思維的廣闊性．如果我當時沒有冷靜處理,而是簡單否定,可能這位同學就會備受打擊,而且也不會有后續(xù)精彩問題的生成．

3.數(shù)學是思維的體操．數(shù)學課堂上,師生首先要思維活躍,勇于突破自我．引導學生從已有的知識為出發(fā)點進行深入思考,從而發(fā)現(xiàn)問題,拓展問題．比如本課以學生熟悉的菱形面積計算公式為出發(fā)點,再現(xiàn)公式的推導過程,從而讓學生明白菱形面積計算的原理就是把菱形通過對角線分成兩個三角形,一條對角線是公共底邊,另一條對角線被交點分成的兩條線段正好為高．在此基礎上,引導學生深入思考,大膽拓展,引出了一系列問題,訓練了學生思維的靈活性和廣闊性．