陳 柯 郟建磊 楊健兵 張 弛 管前黔

(成都基準(zhǔn)方中建筑設(shè)計(jì)有限公司,成都 610011)

0 引 言

高層住宅設(shè)計(jì)中,采用《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》(以下簡稱《高規(guī)》)附錄D驗(yàn)算樓梯間處剪力墻穩(wěn)定性時(shí),經(jīng)常會出現(xiàn)穩(wěn)定性驗(yàn)算不過的情況。特別是當(dāng)樓梯間設(shè)置在外側(cè),這時(shí)樓梯間剪力墻沒有樓層板的支撐作用,按照《高規(guī)》附錄D的要求,該剪力墻的計(jì)算高度為全樓通高,這樣剪力墻穩(wěn)定性驗(yàn)算肯定是不滿足的。但如果考慮了梯段斜板對于剪力墻的支撐作用,剪力墻的計(jì)算高度為上下梯段的距離,墻體穩(wěn)定性得到大大改善。本文通過有限元方法驗(yàn)證了梯板對剪力墻的支撐作用,在計(jì)算剪力墻穩(wěn)定性時(shí),可以將梯段斜板看作墻體的支撐點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn),即使考慮了較大的初始幾何缺陷,剪力墻仍然先發(fā)生強(qiáng)度破壞,混凝土被壓潰,但并未發(fā)生失穩(wěn)。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 《高規(guī)》關(guān)于剪力墻穩(wěn)定性的規(guī)定

根據(jù)國內(nèi)研究成果并與德國《混凝土與鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和施工規(guī)范》(DIN1045)的比較表明,對不同支承條件彈性墻肢的臨界荷載,可表達(dá)為統(tǒng)一形式:

(1)

式中:計(jì)算長度l0取為βh,β為計(jì)算長度系數(shù),可根據(jù)墻肢的支承條件確定;h為層高。

1.2 特征值屈曲分析

特征值屈曲是以剛度矩陣的特征值為研究對象,特征值是理想的材料線性和幾何線性結(jié)構(gòu)理論屈曲強(qiáng)度,采用經(jīng)典歐拉壓桿失穩(wěn)法分析方法進(jìn)行分析,在有限元中采用的是特征值求解器。

特征值屈曲求解原理是,通過求解結(jié)構(gòu)剛度矩陣特征值λ,再用特征值λ乘以所加荷載Q,得到屈曲臨界載荷。在特征值求解器中,定義在特征值屈曲預(yù)測分析步中遞增載荷Q的幅值大小不重要,因?yàn)镼會被相應(yīng)的載荷乘數(shù)λ縮放。

針對線性特征值屈曲分析,特征值求解器一般自帶兩種特征值求解方法:盧卡斯(Lanczos)和子空間(Subspace)迭代。

當(dāng)一個(gè)多自由度系統(tǒng)需要求解許多特征模態(tài)時(shí),Lanczos方法通常比較快,但當(dāng)少于20個(gè)特征模態(tài)需要求解時(shí),Subspace方法更快。

1.3 非線性屈曲分析(弧長法)

特征值分析是一種材料線性和幾何線性結(jié)構(gòu)的理論解。但是由于焊接應(yīng)力、溫度應(yīng)力、安裝誤差、加工誤差等因素的影響,現(xiàn)實(shí)中的結(jié)構(gòu)都會存在一定的初始缺陷,其屈曲臨界載荷與特征值理論解肯定存在一定的差別。另外,由特征值屈曲分析是材料線性和幾何線性的,它不可以考慮構(gòu)件的材料非線性和幾何非線性,如果在發(fā)生屈曲之前部分構(gòu)件進(jìn)入塑性狀態(tài),那么特征值屈曲也是無法模擬的。所以必須利用非線性有限元理論對結(jié)構(gòu)進(jìn)行考慮初始幾何缺陷、材料彈塑性等實(shí)際因素的穩(wěn)定性分析。

目前應(yīng)用較多的是利用弧長法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行“荷載-位移”全過程跟蹤技術(shù),來達(dá)到計(jì)算結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定承載力的目的。使用弧長法,能夠建立不穩(wěn)定響應(yīng)段的靜力平衡狀態(tài),此方法適用于載荷為比例加載,即載荷大小由一個(gè)標(biāo)量參數(shù)控制。即便是復(fù)雜的不穩(wěn)定響應(yīng),應(yīng)用此方法也能求解。

弧長法本質(zhì)上就是靜力問題求解,通過附加一個(gè)約束方程,就可以應(yīng)用疊代方法求解收斂點(diǎn),但是,如果疊代方向判斷錯(cuò)誤,將導(dǎo)致所謂的跟蹤返回現(xiàn)象,因此疊代方向的判別法對于弧長算法非常重要,其關(guān)鍵點(diǎn)就是對每一增量步的最初疊代方向的判別。

圖1描述了弧長法疊代非線性求解的收斂過程。其計(jì)算的具體過程如下:

(1) 以增量形式逐漸施加載荷。

(2) 在每一載荷增量中完成平衡疊代來使增量求解達(dá)到平衡。

(3) 求解平衡方程:

[KT]{Δu}=λ{(lán)Fn}-{Fnr}

(2)

式中:[KT]為切線剛度矩陣;{Δu}為位移增量;{Fn}為外部載荷向量;{Fnr}為內(nèi)部力向量;λ(-1<λ<1)為載荷因子。

其中,位移增量{Δu}與載荷因子λ通過弧長半徑l相聯(lián)系,其約束方程為:

(3)

(4) 進(jìn)行疊代,直到λ{(lán)Fn}-{Fnr}在允許的范圍內(nèi)。

圖1 弧長法的收斂過程Fig.1 Convergence of riks method

2 工程概況

某超限高層住宅,底層層高為5.6 m,全樓高度146.75 m。樓梯間設(shè)置在外側(cè),樓梯間外側(cè)剪力墻無樓層板的支承作用,按照《高規(guī)》附錄D,穩(wěn)定性計(jì)算高度為全樓通高146.75 m。墻體兩邊開洞,底層墻體墻厚250 mm,墻體軸力設(shè)計(jì)值為2 457.8 kN/m2,如圖2所示。

圖2 一層樓梯平面布置圖Fig.2 First floor plan of stairs

采用《高規(guī)》附錄D計(jì)算該剪力墻的穩(wěn)定性。當(dāng)不考慮梯段斜板對墻體的支撐作用時(shí),剪力墻無支撐高度為全樓通高,不滿足規(guī)范要求。當(dāng)考慮梯段斜板對墻體的支撐作用時(shí),剪力墻無支撐高度為2.8 m,qcr2=7 175 kN/m2>2 457.8 kN/m2滿足規(guī)范要求。

表1《高規(guī)》的墻體穩(wěn)定性驗(yàn)算結(jié)果

Table 1Wall stability check results in Technical Specification for Concrete Structures of Tall Building

3 墻體的簡化模型分析

將該樓梯間簡化為四邊簡支板:

1) 簡化模型一:墻高146.75 m;

2) 簡化模型二:墻高2.8 m。

模型一和模型二:寬度為7.6 mn,墻厚250 mm,混凝土C60,E=36×109N/m2,邊界條件為四邊簡支。

首先根據(jù)彈性薄板穩(wěn)定性理論公式求解。

(4)

(5)

(6)

(7)

式中:b為板的寬度;k為屈曲系數(shù);D為單位寬度板的彎曲剛度;m為半波數(shù)(屈曲形狀)。

理論公式計(jì)算結(jié)果:

1) 模型一:k=4,m=17,Ncr=32 040 kN/m;

2) 模型二:k=9.949,m=1,Ncr=76 015 kN/m。

在求解過程中可以發(fā)現(xiàn):對于四邊簡支板,當(dāng)墻高大于墻寬時(shí),失穩(wěn)臨界荷載與墻高無關(guān),與墻寬有關(guān),即146.75 m高的墻與7.6 m高的墻計(jì)算結(jié)果是相同的。原因是,對于四邊簡支板來說,除有上下水平位移約束外,還有左右水平位移約束,當(dāng)墻體的高度與寬度比值較小時(shí),左右水平支座對板的約束較小,隨著高度與寬度比值不斷加大,左右水平支座對板的約束不斷加大,屈曲系數(shù)k不斷減小。當(dāng)高度與寬度相等時(shí),屈曲系數(shù)k到達(dá)最小值4。當(dāng)高度比寬度大時(shí),屈曲系數(shù)約等于4不再減小,如圖3所示。

圖3 屈曲系數(shù)k隨h/b變化規(guī)律Fig.3 Variation of k with h/b

采用特征值屈曲方法和考慮初始缺陷的非線性屈曲方法對模型一和模型二進(jìn)行數(shù)值求解。

采用大型通用有限元分析軟件ABAQUS進(jìn)行建模和計(jì)算。使用ABAQUS中的Lanczos特征值求解器進(jìn)行特征值屈曲分析,使用ABAQUS/ Standard模塊進(jìn)行非線性屈曲分析。墻體采用殼單元S4R進(jìn)行模擬。材料本構(gòu)為彈性。

進(jìn)行非線性屈曲分析時(shí),需要先進(jìn)行特征值屈曲分析,得到第一階屈曲模態(tài),再將第一階屈曲模態(tài)做為非線性屈曲分析模型的初始缺陷,通過ABAQUS自帶的非線性屈曲算法(Riks法)進(jìn)行求解計(jì)算。

從屈曲模態(tài)可以看出:當(dāng)墻高大于墻寬時(shí),四邊簡支板由于左右兩邊支座的約束作用,屈曲模態(tài)是多個(gè)半波組成,如圖4所示;當(dāng)墻高小于墻寬時(shí)屈曲模態(tài)為一個(gè)半波,如圖5所示。

解析解與數(shù)值解求解結(jié)果如表2和表3所示。

圖4 簡化模型一的一階屈曲模態(tài)Fig.4 Frist order buckling mode of simplified model Ⅰ

圖5 簡化模型二的一階屈曲模態(tài)Fig.5 Frist order buckling mode of simplified model Ⅱ

表2解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果對比

Table 2Comparison of analytical solution and numerical solution

表3簡化模型計(jì)算結(jié)果匯總

Table 3Results of simplified model

注:數(shù)值解一采用特征值屈曲方法,數(shù)值解二采用非線性屈曲方法

由表2可以看出:解析解與數(shù)值解(特征值屈曲方法)結(jié)果基本一致,誤差都在2%以內(nèi)。說明數(shù)值解法是精確可靠的。

由表3可以看出:當(dāng)考慮了梯段斜板的有利作用時(shí)(簡化模型二)比不考慮梯段斜板的有利作用(簡化模型一)的失穩(wěn)臨界荷載提高了大約2.3倍。

4 墻體的精細(xì)模型分析

墻體的精細(xì)模型同樣采用ABAQUS軟件進(jìn)行建模和計(jì)算,墻體采用殼單元S4R進(jìn)行模擬,材料本構(gòu)為彈性。

按實(shí)際情況建立有限元模型:①模型一,沒有梯段斜板的模型;②模型二,有梯段斜板的模型,如圖6、圖7所示。

圖6 模型一(沒有梯段斜板)Fig.6 Model Ⅰ without ladder board

圖7 模型二(有梯段斜板)Fig.7 Model Ⅱ with ladder board

可以發(fā)現(xiàn)在彈性分析中,模型二比模型一穩(wěn)定性承載力提高了1倍左右,如表4所示。說明梯段斜板對墻體起到了支持作用,有效減小墻體的無支撐高度。

所以,計(jì)算剪力墻穩(wěn)定性時(shí),可以將梯段斜板看作墻體的支撐點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算。

圖8 模型一的一階屈曲模態(tài)Fig.8 Frist order buckling mode of model Ⅰ

圖9 模型二的一階屈曲模態(tài)Fig.9 Frist order buckling mode of model Ⅱ

圖10 模型一的非線性屈曲分析結(jié)果Fig.10 Nonlinear buckling analysis results for model Ⅰ

雖然樓梯間頂層無樓梯板,剪力墻無支撐長度會大于層高,對穩(wěn)定性墻體穩(wěn)定性不利,但頂層剪力墻軸力很小,一般能滿足《高規(guī)》附錄D的墻體穩(wěn)定性要求。

圖11 模型一的非線性屈曲分析結(jié)果Fig.11 Nonlinear buckling analysis results for model Ⅱ

表4有限元法的墻體穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果

Table 4Finite element method results of wall stability

此外,通過有限元分析結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),該墻體并不是簡單無側(cè)邊支撐剪力墻,墻體兩邊的深連梁對于剪力墻有一定的約束作用,這樣對于墻體穩(wěn)定性是有利的。再者,中間休息平臺與墻體連接,對墻體也產(chǎn)生了一定的約束作用,對墻體穩(wěn)定性也是有利的。而采用《高規(guī)》附錄D的穩(wěn)定性驗(yàn)算公式中,均未考慮這些有利影響。

對比簡化模型的計(jì)算結(jié)果(表3)和精細(xì)化模型的計(jì)算結(jié)果(表4)可以發(fā)現(xiàn),表3和表4中模型一的計(jì)算結(jié)果差3倍,模型二的計(jì)算結(jié)果差2.5倍。分析原因,可以發(fā)現(xiàn)簡化模型和精細(xì)化模型在邊界約束條件上是不同的。簡化模型的邊界條件為四邊簡支,而精細(xì)化模型由于墻體左右兩邊開洞,如圖2所示,只是洞口上面的連梁部分對其進(jìn)行約束,約束作用較弱。即在建立精細(xì)化模型時(shí)該片墻體上下邊采用簡支,墻體左右邊是由連梁對其進(jìn)行約束的。相比理想簡支邊界條件,連梁對墻體的約束要小很多,約束條件越弱計(jì)算結(jié)果越小。

5 采用彈塑性有限元模型驗(yàn)證墻體穩(wěn)定性

將模型一和模型二的混凝土和鋼筋材料設(shè)為彈塑性本構(gòu)模型進(jìn)行有限元分析,驗(yàn)證該片墻體穩(wěn)定性。

墻體的彈塑性模型采用ABAQUS軟件進(jìn)行建模和計(jì)算,墻體采用殼單元S4R進(jìn)行模擬,鋼筋采用ABAQUS殼單元自帶的鋼筋層進(jìn)行輸入,在該方法中鋼筋以殼元中積分點(diǎn)形式存在的?；炷帘緲?gòu)和鋼筋本構(gòu)均為彈塑性本構(gòu)。

混凝土采用混凝土損傷塑性本構(gòu)(Concrete Damaged Plasticity),本構(gòu)模型的參數(shù)采用《混規(guī)》C60的相關(guān)參數(shù),如圖12、圖13所示。鋼筋采用理想彈塑性模型,屈服強(qiáng)度360 MPa。剪力墻水平和豎向分布筋均為10@130。

圖12 混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.12 Stress-strain curve of concrete under compression

圖13 混凝土受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.13 Stress-strain curve of concrete under tension

模型初始幾何缺陷采用5%一階屈曲模態(tài),如圖14、圖15所示,進(jìn)行幾何非線性分析。一階屈曲模態(tài)由前面的特征值屈曲分析得到。

由計(jì)算結(jié)果可知,模型一和模型二在墻體軸力2 457.8 kN/m (墻體實(shí)際受到的軸力)作用下并沒有發(fā)生失穩(wěn)。繼續(xù)加載到12 000 kN/m左右時(shí),混凝土已經(jīng)被壓潰,從而喪失承載能力,此時(shí)并沒有發(fā)生失穩(wěn)破壞。此時(shí)的軸力12 000 kN/m遠(yuǎn)大于按《高規(guī)》計(jì)算的考慮梯板支撐作用剪力墻穩(wěn)定性承載力7 175 kN/m。

圖14 模型一的初始幾何缺陷Fig.14 Initial geometric imperfection of modal Ⅰ

圖15 模型二的初始幾何缺陷Fig.15 Initial geometric imperfection of modal Ⅱ

圖16非線性屈曲分析(彈塑性)分析結(jié)果Fig.16 Nonlinear buckling (elasto-plastic) analysis results

表5有限元法的墻體穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果

Table 5Finite element method results of wall stability

6 針對墻體穩(wěn)定性采取的加強(qiáng)措施

為了保證樓梯梯板對剪力墻起到有效的側(cè)向支撐作用,墻體穩(wěn)定性采取的加強(qiáng)措施:

(1) 平臺板和斜梯板均增到150 mm厚;

(2) 斜梯板的分布鋼筋為φ12@150錨入剪力墻中;

(3) 梯段斜板按照深梁進(jìn)行配筋加強(qiáng),如圖17所示。

圖17 梯段斜板的加強(qiáng)措施Fig.17 Strengthening measures of ladder board

7 結(jié) 論

通過前面的分析可以得到:

(1) 當(dāng)墻體為四邊支承時(shí),墻高大于墻寬時(shí),失穩(wěn)臨界荷載與墻高無關(guān),由于左右兩邊支承的約束作用,屈曲模態(tài)是多個(gè)半波組成。

(2) 計(jì)算剪力墻穩(wěn)定性時(shí),可以將與墻體可靠連接的梯段斜板看作墻體的支撐點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算。

(3) 通過非線性穩(wěn)定性分析(彈塑性)可知,結(jié)構(gòu)先發(fā)生強(qiáng)度破壞,而并未發(fā)生失穩(wěn),此時(shí)的軸力遠(yuǎn)大于規(guī)范穩(wěn)定性計(jì)算限值。

(4) 實(shí)際工程中對于因墻體高度較高而又無法增設(shè)側(cè)向支撐的情況,除了增加墻厚的措施外,還可以通過本文分析方法驗(yàn)算其墻體穩(wěn)定性。