江蘇省常州市第二十四中學(xué) 殷愛梅

例1、我們在初中學(xué)過，如圖1，在線段AB上，存在一點C，若滿足則稱點C是線段AB的黃金分割點。

圖1

注：從線段的比例中項或者形如一元二次方程x2+x-1=0都可以得到在各類題目中經(jīng)常出現(xiàn)，可直接應(yīng)用，從線段推廣到多邊形，有黃金三角形，黃金矩形，正五邊形等，黃金分割點給人以美感，在正五邊形中，則有更美妙的式子和圖形。

例2、如圖2，在正五邊形中，連接各對角線，得到五角星和黃金三角形，記黃

圖2

同時點F是線段GE的黃金分割點，點G是線段BF的黃金分割點。

有 BE∶BF∶BG∶GF=1∶K∶K2∶K3，在這個美妙的式子背后，包含著多個黃金三角形如銳角三角形AGF和鈍角三角形AFE等。

二、中考中的黃金比問題及拓展

在中考中，出現(xiàn)了一些黃金比的問題，下面從兩個例子來看看。

例 3（2017宿遷中考）、如圖 3，矩形ABOC的頂點O在坐標(biāo)原點，頂點B、C分別在x、y軸的正半軸上，頂點A在反比例函數(shù)y=k（k 為常數(shù)，k＞0，x＞0）的圖像x上，將矩形ABOC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到矩形 AB′O′C′，若點 O 的對應(yīng)點O′恰好落在此反比例函數(shù)圖象上，

圖3

分析：本題中反比例函數(shù)的圖像在第一象限，可由圖像上點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的乘積是定值k入手，再由旋轉(zhuǎn)圖形對應(yīng)線段的不變形，可得出方程，解出即可。

∴CA·AB=CB′·BC′。

∵矩形ABOC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90°得到矩形 AB′O′C′，

∴AB=AB′，CA=AC′，

∴CA·AB′= （CA+AB′）·（AB′-AC）=AB′2-AC2。

注：解出的結(jié)果是黃金比，從而說明矩形ABOC是黃金矩形。本題巧妙之處是反比例函數(shù)與黃金矩形的綜合應(yīng)用?？勺兪饺缦拢?/p>

例 4、（2017宿遷中考）如圖 4-1，已知⊙O的半徑長為1，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC，BO的延長線交AC于點 D，聯(lián)結(jié) OA、OC。

（1）求證：△OAD∽△ABD；

（2）當(dāng)△OCD是直角三角形時，求B、C兩點的距離；

（3）記△AOB、△AOD、△COD 的面積分別為 S1、S2、S3，如果 S2是 S1和 S3的比例中項，求OD的長。

圖4-1

圖4-2

圖4-3

圖4-4

分析：（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由 OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B， 由 ∠ADO=∠ADB， 即 可 證 明△OAD∽△ABD；

解：（1）在△AOB和△AOC 中，

∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=∠B，

∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．

分析：（2）如圖 4-2中，當(dāng)△OCD 是直角三角形時，可以證明△ABC是等邊三角形即可解決問題；

解：（2）如圖4-2中，∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形，

分析：（3）如圖 4-3中，作 OH⊥AC，垂足為點H，設(shè) OD=x，先得出 AD2=AC·CD，這就是線段的比例中項公式，進而得出AD與AC的關(guān)系，再利用相似三角形的性質(zhì)，進行轉(zhuǎn)化即可解決問題；

解 ：（3）∵OA=OC，∴ ∠OAC= ∠C=∠B，

∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．

如圖4-3中，作OH⊥AC，垂足為點H，設(shè) OD=x。

∵S2是S1和S3的比例中項，△AOB≌△AOC，

化簡得 AD2=AC·DC，可得 AD=

注：本題第（1）、（2）小題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，是為第（3）小題鋪墊，第（3）小題是題目的亮點，出現(xiàn)的是面積的比例中項，題目比較新穎，我們以前只學(xué)過線段的比例中項問題，所以解題的關(guān)鍵是運用轉(zhuǎn)化的思想方法，要設(shè)法轉(zhuǎn)化為線段的比例中項問題，從而根據(jù)黃金比，避免了大計算量，這種方法構(gòu)思巧妙。另外，由面積的比例中項，我們可聯(lián)想到體積的比例中項，故可變式如下：

如圖4—4，在直三棱柱A1B1C1-A2B2C2中，D1、D2分別為棱 B1C1、B2C2上的點，且D1D2∥A1A2，棱柱被分成兩部份，記A1B1D1-A2B2D2、A1C1D1-A2C2D2、A1B1C1-A2B2C2的體積分別為V1、V2和V，如果V1是V2和V的比例中項，且B2C2=2，求B2D2的長。

分析：由體積的比例中項先轉(zhuǎn)化為面積的比例中項，再轉(zhuǎn)化為線段的比例中項即可求解。

三、一道偶然的立體幾何題目

在有的立體幾何題目中，由特定的體積關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為線段的比例中項。

例5、如圖5，設(shè)三棱柱有一內(nèi)接三棱臺，且三棱臺的體積等于三棱柱體積的請問：三棱臺上、下底面對應(yīng)邊長的比為多少呢？

圖5

分析：三棱臺的下底面的邊長恰好為三棱柱下底面的邊長，先由二者體積關(guān)系列出方程，從而轉(zhuǎn)化為三棱臺上下底面積的關(guān)系，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，最終求出對應(yīng)邊的比。

解：設(shè)三棱臺的上、下底面其中一條對應(yīng)的邊長分別為a1、a，上、下底面的面積分別為 S1，S2，高為 h。