周爾鳳，張廷龍，倪 蕾，方 丹，方 昶

(安徽師范大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

1 引言

根據(jù)Kahneman和Tversky于1991年提出的前景理論，在消費(fèi)者做出購買決策之前，他們對將要購買的產(chǎn)品會(huì)有一個(gè)心理估價(jià)，然后將這個(gè)心理估價(jià)與產(chǎn)品的真實(shí)零售價(jià)進(jìn)行對比—如果心理估價(jià)要大于產(chǎn)品真實(shí)的零售價(jià)，那么消費(fèi)者存在額外的交易效用，并因而更可能做出購買該產(chǎn)品的決策；反之，若產(chǎn)品零售價(jià)要高于該心理估價(jià)，消費(fèi)者更可能放棄購買該產(chǎn)品，導(dǎo)致產(chǎn)品銷量下降。學(xué)者們將這種心理估價(jià)稱為參考價(jià)格，把其對銷量的這種影響稱為參考價(jià)格效應(yīng)。關(guān)于參考價(jià)格的形成因素，Mazumdaret等[3]則認(rèn)為除了價(jià)格之外，廣告投入量、產(chǎn)品的質(zhì)量、服務(wù)水平以及購物環(huán)境等因素也會(huì)影響消費(fèi)者對產(chǎn)品的心理估價(jià)。皮德萍和胡燕娟[10]將參考效應(yīng)引入到閉環(huán)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)機(jī)制研究中，分析了其對兩種不同閉環(huán)供應(yīng)鏈的影響。Zhang Juan等[7]研究了一個(gè)由制造商和零售商構(gòu)成的供應(yīng)鏈系統(tǒng)，探討了參考價(jià)格效應(yīng)對廣告和價(jià)格策略的影響。另外，由于電子商務(wù)的興起，許多制造商通過傳統(tǒng)零售渠道銷售產(chǎn)品的同時(shí)還開辟了網(wǎng)上直銷渠道，此時(shí)兩個(gè)渠道上的價(jià)格互為參考，并對消費(fèi)者決策產(chǎn)生影響，趙禮強(qiáng)和徐家旺[13]和曹曉剛等[8]探討了雙渠道下供應(yīng)鏈的定價(jià)及協(xié)調(diào)決策等。王亮和王應(yīng)明[12]基于前景理論的參考點(diǎn)效應(yīng)，探討了應(yīng)對突發(fā)事件的決策方法?；陬愃频睦碚?，郝晶晶等[9]建立了基于前景理論的多階段隨機(jī)多準(zhǔn)則決策分析框架，并提出了一種基于階段發(fā)展特征的動(dòng)態(tài)參考點(diǎn)設(shè)置方法。另外，與本文相關(guān)的文獻(xiàn)研究還包括：張廷龍和梁樑[14]指出消費(fèi)者購買決策還會(huì)受到諸如廣告等銷售努力行為的影響，他們在考慮零售商銷售努力影響需求的情況下，探討了不同渠道權(quán)力結(jié)構(gòu)和信息結(jié)構(gòu)下供應(yīng)鏈的分散決策；何麗紅等[9]在兩層供應(yīng)鏈中，考慮需求受廣告努力水平和制造商提供的直接價(jià)格折扣的聯(lián)合影響，建立了供應(yīng)鏈成員的合作廣告努力水平與價(jià)格折扣策略模型，并指出當(dāng)制造商給予消費(fèi)者最優(yōu)直接價(jià)格折扣時(shí)，制造商和零售商的廣告努力積極性與價(jià)格彈性正相關(guān)。

從企業(yè)的角度來看，廣告是企業(yè)向消費(fèi)者傳遞信息的一種有效方式，通過溝通產(chǎn)銷信息，從而促進(jìn)產(chǎn)品的銷售。廣告在企業(yè)開拓市場，爭奪份額，創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)效益等方面的作用不可忽視，是企業(yè)競爭戰(zhàn)略中不可或缺的手段。對于廣告投入決策，我們了解到許多企業(yè)會(huì)在財(cái)政年初或新產(chǎn)品投入市場的時(shí)候公布一個(gè)廣告預(yù)算，F(xiàn)airhurst等[1]指出，大概有16%的服務(wù)性企業(yè)都會(huì)公布他們的廣告預(yù)算；Mitchell[5]研究了英國的制造業(yè)，發(fā)現(xiàn)27%的制造商會(huì)在財(cái)政年初或新產(chǎn)品投入市場之初宣布他們的廣告投入量—如佳潔士在其一款新產(chǎn)品投入市場的時(shí)候，就宣布了要為該產(chǎn)品投入的廣告預(yù)算。事實(shí)上，通過公布或承諾其廣告投入，不僅可以讓競爭雙方都會(huì)了解彼此的廣告投入以更好地做出各自的定價(jià)決策，同時(shí)也會(huì)對消費(fèi)者對產(chǎn)品的參考價(jià)格產(chǎn)生影響。

另一方面，隨著產(chǎn)品種類及品牌的日益增加，許多企業(yè)在節(jié)假日會(huì)有促銷活動(dòng)，消費(fèi)者越來越聰明，他們會(huì)結(jié)合產(chǎn)品在不同階段的價(jià)格來決定產(chǎn)品的購買時(shí)機(jī)及購買決策。面對消費(fèi)者的這種戰(zhàn)略行為，我們提出了價(jià)格承諾，即向消費(fèi)者承諾價(jià)格在未來一段時(shí)間內(nèi)或一直保持不變的話，那么在這個(gè)期間需要該產(chǎn)品的顧客就不會(huì)延遲他們的購買計(jì)劃，從而促進(jìn)該時(shí)期的銷量及利潤增長。Su Xuanming和Zhang Fuqiang[6]在供應(yīng)鏈的環(huán)境下研究了價(jià)格承諾與數(shù)量承諾的問題，并指出在一些情況下，價(jià)格承諾會(huì)增加制造商、零售商的利潤，而本文將在一個(gè)相互競爭的環(huán)境下研究價(jià)格承諾對利潤的影響。

本文在競爭的環(huán)境下建立一個(gè)關(guān)于參考價(jià)格的模型，考慮市場上的兩個(gè)企業(yè)是對稱的，并從廣告承諾及價(jià)格承諾的角度，尋求使企業(yè)長期利潤最大化的廣告及定價(jià)策略。我們分析了三種情形：雙方都選擇價(jià)格承諾、一方選擇價(jià)格承諾，而另一方選擇廣告承諾、雙方都選擇廣告承諾。首先分別研究了在這三種策略下參考價(jià)格效應(yīng)對價(jià)格和廣告投入的影響，然后通過數(shù)值分析，研究了各種參數(shù)的變化對利潤的影響情況，并指出在不同情況下應(yīng)該選擇的最優(yōu)策略。

2 模型建立

考慮市場中存在兩個(gè)生產(chǎn)和銷售同類產(chǎn)品的競爭企業(yè)1和2，他們需要在參考價(jià)格效應(yīng)存在的背景下，思考各自的廣告投放和定價(jià)策略決策。其中，為了減少競爭，每個(gè)企業(yè)將在價(jià)格承諾和廣告投承諾等兩個(gè)策略中進(jìn)行選擇。記ui(t)為企業(yè)i在t時(shí)刻的廣告努力水平，pi(t)為企業(yè)i在t時(shí)刻的零售價(jià)格。一旦企業(yè)i選擇價(jià)格承諾，其價(jià)格pi(t)將在整個(gè)銷售季節(jié)保持不變；反之，若企業(yè)i選擇廣告承諾，其廣告投入ui(t)也將是一個(gè)常數(shù)。由于價(jià)格承諾和廣告承諾等兩個(gè)策略是企業(yè)無任何承諾的特殊情形，因此本節(jié)在建模過程中暫時(shí)在一個(gè)更通用的框架下進(jìn)行，即并不假定pi(t)和ui(t)固定不變。

為了描述參考價(jià)格效應(yīng)，和先前文獻(xiàn)Zhang Juan等[7]一樣，本文采用以記憶和刺激相結(jié)合為基礎(chǔ)的參考價(jià)格模型，假設(shè)產(chǎn)品i的參考價(jià)格ri(t)之變化服從以下動(dòng)態(tài)方程:

ri(0)=ri0

(1)

Si(t)=ai0-bipi+γi(ri-pi)+θipj,j≠i

(2)

其中,Si(t)為產(chǎn)品i在t時(shí)刻的銷量，ai0表示產(chǎn)品i的潛在市場，pj(t)為競爭產(chǎn)品j在t時(shí)刻的零售價(jià)格，γi表示消費(fèi)者對i企業(yè)產(chǎn)品參考價(jià)格與零售價(jià)之間差異的敏感性，即參考價(jià)格效應(yīng)對i企業(yè)銷量的影響程度，bi為消費(fèi)者對i企業(yè)產(chǎn)品零售價(jià)格的敏感程度，θi表示j企業(yè)的產(chǎn)品對i企業(yè)產(chǎn)品的替代程度。

至于廣告成本，我們參考Zhang Juan等[7]，假設(shè)廣告成本與廣告努力水平之間成平方關(guān)系，即:

(3)

為了便于計(jì)算，本文進(jìn)行以下假設(shè)：(1)銷售季節(jié)無限長；(2)兩個(gè)企業(yè)實(shí)力相當(dāng)，相關(guān)參數(shù)是對稱的，即αi=α，βi=β，ri0=r0，ai0=a0，γi=γ，bi=b，θi=θ；(3)生產(chǎn)成本為零。

因此，企業(yè)i在時(shí)刻t的利潤為:

πi(t)=pi(t)Si(t)-C(ui(t))

(4)

其決策目標(biāo)為:

(5)

其中，Ji是企業(yè)i利潤在時(shí)刻t=0的凈現(xiàn)值，ρ為貼現(xiàn)率。兩個(gè)企業(yè)需要在滿足式(1)中的約束條件下，最大化各自的利潤凈現(xiàn)值。

3 雙頭壟斷博弈均衡

針對兩個(gè)企業(yè)所有可能的策略組合，我們在本節(jié)分別分析三種不同的策略情形，即：(1)雙方都選擇價(jià)格承諾；(2)一方選擇價(jià)格承諾，而另一方選擇廣告承諾；(3)雙方都選擇廣告承諾。

3.1 雙方都選擇價(jià)格承諾

當(dāng)雙方都做出價(jià)格承諾時(shí)，他們的價(jià)格將不再隨時(shí)間變化。這時(shí)，兩個(gè)企業(yè)的決策順序如下。首先在時(shí)刻t=0, 雙方獨(dú)立地在不知道對方?jīng)Q策的情況下選擇各自的零售價(jià)格p1和p2；然后，兩個(gè)企業(yè)根據(jù)p1，p2和當(dāng)前的市場情況，動(dòng)態(tài)地決定各自在時(shí)刻t的廣告投入。出于方便我們用下標(biāo)“pp”記該情形下的均衡決策。

給定p1和p2,兩個(gè)企業(yè)的決策問題可簡化為：

(6)

ri(0)=ri0

命題3.1給出固定p1和p2時(shí)兩個(gè)企業(yè)動(dòng)態(tài)博弈下的開環(huán)博弈均衡解。

命題3.1：當(dāng)兩企業(yè)都選擇價(jià)格承諾策略且給定p1和p2時(shí)，兩個(gè)企業(yè)的均衡廣告投入為：

ui(t)=Npi,i=1,2

產(chǎn)品i參考價(jià)格隨時(shí)間的變化情況為：

ri(t)=M1i+(ri0-M1i)e-αt

其中N=γβ/(ρ+α),M1i={1+βN/α}pi均為常數(shù)。

命題3.2：在Stackelberg博弈框架及雙方都選擇價(jià)格承諾的情況下，兩企業(yè)均衡的廣告努力水平、零售價(jià)格和利潤如表1所示。

表1 雙方選擇價(jià)格承諾情況下的廣告水平、價(jià)格和利潤

其中N=γβ/(ρ+α)，n1=1+γβ2/(α(ρ+α))，F(xiàn)=(γβ2(1-2α(ρ+α))+2(ρ+α)2(b+γ-γα2))/((ρ+α)2ρ)，為確保pipp>0，則ρF-θ>0要滿足。

對pipp求關(guān)于a0和r0的導(dǎo)數(shù)可得到下面的結(jié)論：?pipp/?a0>0，?pipp/?r0>0，也即初始市場占有量或初始參考價(jià)格越高，產(chǎn)品的零售價(jià)格就越高。

將pipp代入到ri(t)=M1i+(r0-M1i)e-αt中，可得到穩(wěn)定的參考價(jià)格：

rippss=

(7)

對rippss求關(guān)于a0和r0的導(dǎo)數(shù)可得到下面的結(jié)論：?rippss/?a0>0，?rippss/?r0>0，也即初始市場占有量或初始參考價(jià)格越高，穩(wěn)定的參考價(jià)格就越高。另外，通過比較穩(wěn)定的參考價(jià)格和零售價(jià)格，我們發(fā)現(xiàn)rippss恒大于pipp，即穩(wěn)定的參考價(jià)格恒大于承諾的固定價(jià)格，因此我們可以推斷，在某一時(shí)期之后，參考價(jià)格效應(yīng)會(huì)對銷量產(chǎn)生一個(gè)正的促進(jìn)作用。

將pipp代入到命題3.1中，得到：

(8)

對uipp求關(guān)于pipp的導(dǎo)數(shù)即可得到?uipp/?pipp>0，即越高的零售價(jià)格會(huì)刺激企業(yè)投入更多的廣告，來增加產(chǎn)品在消費(fèi)者心中的價(jià)值；對uipp求關(guān)于γ的導(dǎo)數(shù)即可得到 ?uipp/?γ>0，即消費(fèi)者對參考價(jià)格與零售價(jià)格之間的差異越敏感，那么企業(yè)投入的廣告量也會(huì)越高，這主要是因?yàn)閺V告可以通過提高產(chǎn)品在消費(fèi)者心中的價(jià)值，即參考價(jià)格，從而增加銷量。另一方面，γ越大，通過增大廣告投入，銷量增加的程度也越大。

3.2 一方選擇價(jià)格承諾，而另一方選擇廣告承諾

當(dāng)一方選擇價(jià)格承諾，而另一方選擇廣告承諾時(shí)，用1來標(biāo)記選擇價(jià)格承諾的企業(yè)，用2來標(biāo)記選擇廣告承諾的企業(yè)。這時(shí)，企業(yè)1的價(jià)格將不隨時(shí)間變化，企業(yè)2的廣告努力水平將不隨時(shí)間變化。這時(shí)，兩個(gè)企業(yè)的決策順序如下。首先在時(shí)刻t=0, 企業(yè)1和企業(yè)2在不知道對方?jīng)Q策的情況下分別選擇各自的零售價(jià)格p1和廣告努力水平u2；然后，兩個(gè)企業(yè)根據(jù)p1，u2和當(dāng)前的市場情況，動(dòng)態(tài)地決定各自在時(shí)刻t的廣告投入u1和零售價(jià)格p2。出于方便我們用下標(biāo)“pu”記該情形下的均衡決策。

給定p1和u2,兩個(gè)企業(yè)的決策問題可簡化為：

(9)

(10)

命題3.3：當(dāng)企業(yè)1選擇價(jià)格承諾，企業(yè)2選擇廣告承諾的策略下，且給定p1和u2時(shí)，兩個(gè)企業(yè)的均衡廣告努力水平u1和零售價(jià)格p2分別為：

u1(t)=u1ss=Np1

p2(t)=E1eA1t+B1

產(chǎn)品i參考價(jià)格隨時(shí)間的變化情況為：

r1(t)=M2+(r0-M2)e-αt

r2(t)=M3+(r0-M3)eA1t

其中A1,M2,M3,N,B1=p2ss,E1,c,d,g均為常數(shù)。

對p2ss求關(guān)于β，θ及b的導(dǎo)數(shù)可得到：?p2ss/?β>0，?p2ss/?θ>0，?p2ss/?b<0。首先，因?yàn)閺V告對品牌形象有正的促進(jìn)作用，對于同一單位的廣告投入，若β越大(即廣告效率越高)，則消費(fèi)者對產(chǎn)品的參考價(jià)格就提高得越快，同時(shí)也會(huì)帶動(dòng)零售價(jià)格的提高，從而穩(wěn)定的零售價(jià)格也越高。其次，θ越大，即產(chǎn)品之間的替代性越大，促使對方的零售價(jià)格對我方銷量的影響越大，并且對我方銷量是一種正的促進(jìn)作用，因此也會(huì)促進(jìn)穩(wěn)定零售價(jià)格的提高。最后，b反映的是消費(fèi)者對產(chǎn)品零售價(jià)格的敏感程度，b越大，即消費(fèi)者越容易受價(jià)格波動(dòng)的影響，從而導(dǎo)致穩(wěn)定的零售價(jià)格越低。另外，穩(wěn)定的參考價(jià)格恒大于穩(wěn)定的零售價(jià)格。這主要是由于廣告會(huì)對參考價(jià)格有一個(gè)正的促進(jìn)作用。

命題3.4：在Stackelberg博弈框架及企業(yè)1選擇價(jià)格承諾，而企業(yè)2選擇廣告承諾的情況下，兩企業(yè)均衡的廣告努力水平、零售價(jià)格和利潤如表3.2所示。

表2 混合情況下的各變量值

對u1pu,p1pu,u2pu,p2pu求關(guān)于a0和r0的導(dǎo)數(shù)，我們可以發(fā)現(xiàn)a0和r0對企業(yè)1廣告投入和價(jià)格的影響趨勢是相同的，而影響趨勢是正相關(guān)或負(fù)相關(guān)則取決于相關(guān)參數(shù)的大小。另外，當(dāng)消費(fèi)者對參考價(jià)格與零售價(jià)格之間的差異越敏感(即γ越大)或廣告努力對參考價(jià)格的影響程度越大(即β越大)時(shí)，廣告投入水平受價(jià)格的影響也就越大。而當(dāng)價(jià)格差異對參考價(jià)格變化速率的影響越大(即α越大)時(shí)，廣告投入水平受價(jià)格的影響則越小。結(jié)合命題3.3的結(jié)論，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)初始參考價(jià)格低于穩(wěn)定的參考價(jià)格(即r0

3.3 雙方都選擇廣告承諾

當(dāng)雙方都做出廣告承諾時(shí)，他們的廣告努力水平將不再隨時(shí)間變化。這時(shí)，兩個(gè)企業(yè)的決策順序如下。首先在時(shí)刻t=0, 雙方獨(dú)立地在不知道對方?jīng)Q策的情況下選擇各自的廣告投入水平u1和u2；然后，兩個(gè)企業(yè)根據(jù)u1，u2和當(dāng)前的市場情況，動(dòng)態(tài)地決定各自在時(shí)刻t的零售價(jià)格。出于方便我們用下標(biāo)“uu”記該情形下的均衡決策。

給定u1和u2,兩個(gè)企業(yè)的決策問題可簡化為：

(11)

命題3.5：當(dāng)兩企業(yè)都選擇價(jià)格承諾策略且給定u1和u2時(shí)，兩個(gè)企業(yè)的均衡零售價(jià)格為：

pi(t)=E2eA2t+B2

產(chǎn)品i參考價(jià)格隨時(shí)間的變化情況為：

ri(t)=M4i+(r0-M4i)eA2t

其中A2,B2,M4i,E2i,k,l均為常數(shù)。

命題3.6：在Stackelberg博弈框架及兩企業(yè)都選擇廣告承諾的策略下，兩企業(yè)均衡的廣告努力水平、零售價(jià)格和利潤如下表3所示。

表3 雙方選擇廣告承諾情況下的各變量值

因?yàn)锳2piuuss+βui/α，會(huì)導(dǎo)致一個(gè)價(jià)格戰(zhàn)的惡性循環(huán)，當(dāng)一方降低價(jià)格時(shí)，會(huì)引導(dǎo)另一方把零售價(jià)格降得更低，最后，雙方可能發(fā)現(xiàn)，它們可能獲得了相當(dāng)?shù)匿N量，但是以更低的價(jià)格及邊際利潤為代價(jià)的。若ro>piuuss+βui/α，此時(shí)兩企業(yè)采取的均為滲透定價(jià)的策略，當(dāng)企業(yè)2增加其零售價(jià)格時(shí)，同時(shí)會(huì)增加企業(yè)1的銷量，考慮到企業(yè)2零售價(jià)格的影響，企業(yè)1會(huì)更快地增加其零售價(jià)格來適應(yīng)企業(yè)2的策略。

其中：

A2=0.5(ρ-

T=(b+γ-θ)

4 數(shù)值分析

在本節(jié)，我們將采用數(shù)值分析的方法來比較不同情況下企業(yè)1的利潤大小(因?yàn)閮善髽I(yè)是對稱的，所以企業(yè)2的利潤也是相同的)，具體分析參數(shù)γ，θ，b，α及β的變化對利潤的影響。首先，我們定義情形ij，i=1表示企業(yè)2選擇價(jià)格承諾，i=2表示企業(yè)2選擇廣告承諾，j=1表示企業(yè)1選擇價(jià)格承諾，j=2表示企業(yè)1選擇廣告承諾，情形ij則表示在企業(yè)2選擇i決策的時(shí)候，企業(yè)1選擇j決策。本文使用的參數(shù)值分別為：a0=300，r0=10，γ=1，θ=5,b=8,ρ=0.1,α=0.5,β=0.5，通過變動(dòng)γ，θ，b，α及β的值來分析其對利潤的影響情況。

4.1 消費(fèi)者對參考價(jià)格與零售價(jià)格之間差異的敏感程度

如圖1所示，在給定的范圍內(nèi)，J1會(huì)隨著γ的增大而增大，J2而會(huì)隨著γ的增大而降低。這主要是因?yàn)樵陔p方都選擇價(jià)格承諾時(shí)，企業(yè)1的零售價(jià)格是不變的，參考價(jià)格的變化率是固定的，并且在本例給的數(shù)值下是正數(shù)，從而會(huì)刺激銷量增長，因此企業(yè)1的利潤會(huì)隨著γ的增大而增大。而對于J2，在此情況下，企業(yè)1的價(jià)格及銷量均是變動(dòng)的，都會(huì)受到參考價(jià)格效應(yīng)及消費(fèi)者對參考價(jià)格與零售價(jià)格之間差異的敏感程度(γ)的共同影響，其綜合結(jié)果導(dǎo)致企業(yè)1的利潤隨γ的增加而降低。

圖1 情形11及12中γ對利潤的影響

從圖2中可以看到，在企業(yè)2選擇廣告承諾的情況下，企業(yè)1選擇價(jià)格承諾的利潤(J1)變化趨勢與企業(yè)1選擇廣告承諾的利潤(J2)變化趨勢相似，均為先下降后上升。這主要是因?yàn)楫?dāng)γ很小的時(shí)候，與企業(yè)1的參考價(jià)格效應(yīng)相比，由企業(yè)2引起的替代效應(yīng)占主導(dǎo)，并且在γ很小時(shí)，企業(yè)2的價(jià)格會(huì)隨著γ的增大而變化，其綜合結(jié)果導(dǎo)致企業(yè)1的利潤下降。當(dāng)γ超過某一臨界值時(shí)，企業(yè)1的參考價(jià)格效應(yīng)及企業(yè)2的替代效應(yīng)的綜合結(jié)果導(dǎo)致企業(yè)1的利潤隨γ的增大而增大。同時(shí)，從圖4.2中還可以看出，J2的變化速度要高于J1的變化速度。

圖2 情形21及22中γ對利潤的影響

4.2 產(chǎn)品之間的替代程度

如圖3所示，企業(yè)1的利潤在這兩種情況下的變化趨勢是相似的，均以恒定的速率上升，原因很簡單，在競爭對手選擇價(jià)格承諾的情況下，企業(yè)2的價(jià)格是不變的，那么企業(yè)2的價(jià)格對企業(yè)1銷量的影響(θp2)則會(huì)隨著θ的增大而增大，從而導(dǎo)致企業(yè)1的利潤隨θ的增大而增大。所不同的是，在企業(yè)1選擇廣告承諾的情況下利潤的上升速度要高于選擇價(jià)格承諾的情況。

圖3 情形11及12中θ對利潤的影響

從圖4中可以看出，在競爭對手(企業(yè)2)選擇廣告承諾的情況下，企業(yè)1在選擇價(jià)格承諾及廣告承諾下的利潤均呈上升趨勢，且企業(yè)1在選擇廣告承諾下的利潤上升速度要高于選擇價(jià)格承諾的情形。

圖4 情形21及22中θ對利潤的影響

4.3 消費(fèi)者對零售價(jià)格的敏感程度

如圖5所示，在情形11下，J1受b的影響較小。由于在這種情形下，對方及自己的價(jià)格均保持不變，以及b變化較小，所以J1的變化較小。在情形12中，J2隨h的增大而上下波動(dòng)，這主要是因?yàn)槲曳竭x擇了固定廣告的策略，價(jià)格隨時(shí)間變化，利潤同時(shí)受到參考價(jià)格效應(yīng)、零售價(jià)格、替代效應(yīng)的共同影響，從而導(dǎo)致J2隨b的增大而變化較大。并且從圖中可以看出，當(dāng)競爭對手選擇固定價(jià)格策略，且b較小時(shí)，選擇固定廣告是我方最優(yōu)的決策。從圖6可看出，在情形21中，J1會(huì)隨著b的增大而減小，而在情形22中，J2隨b的增大而增大，但增大的幅度較小。

圖5 情形11及12中b對利潤的影響

圖6 情形21及22中b對利潤的影響

4.4 產(chǎn)品過去價(jià)格對參考價(jià)格的影響程度

如圖7所示，在情形11下，企業(yè)1的利潤會(huì)隨著α的增大而下降，而在情形12中，企業(yè)1的利潤先上升后下降。如圖8所示，當(dāng)競爭對手(企業(yè)2)選擇廣告承諾時(shí)，企業(yè)1在價(jià)格承諾及廣告承諾兩種策略下的利潤均呈下降的趨勢。

圖7 情形11及12中α對利潤的影響

圖8 情形21及22中α對利潤的影響

4.5 廣告對參考價(jià)格的影響程度

如圖9所示，J1會(huì)隨著β的增大而增大，而J2隨著β的增大先下降后上升。對于情形11，由于企業(yè)1的廣告投入會(huì)隨著β的增大而增大，從而對參考價(jià)格產(chǎn)生正的影響，刺激銷量，導(dǎo)致企業(yè)1的利潤會(huì)隨著β的增大而增大。而在情形12中，企業(yè)2選擇價(jià)格承諾，β不僅會(huì)對廣告投入量產(chǎn)生影響，同時(shí)也會(huì)對產(chǎn)品零售價(jià)格及參考價(jià)格產(chǎn)生影響，那么這些因素的綜合結(jié)果則導(dǎo)致了圖中J2的變化趨勢。

如圖10所示，在情形21中，利潤的變化趨勢與情形11是類似的，均隨著β的增大而增大。而在情形22 中，企業(yè)1的利潤隨著β的增大先上升后下降，其影響因素與圖9中的類似，只不過在圖10中，競爭對手(企業(yè)2)選擇廣告承諾，那么為了應(yīng)對競爭對手的策略，企業(yè)1的最優(yōu)決策也會(huì)作相應(yīng)的調(diào)整來適應(yīng)對方，以使自己的長期利潤最大化。

圖9 情形11及12中β對利潤的影響

圖10 情形21及22中β對利潤的影響

5 結(jié)語

本文在考慮消費(fèi)者參考價(jià)格效應(yīng)的情況下，提出了兩種策略，即廣告承諾和價(jià)格承諾，同時(shí)考慮了競爭對手的策略對我方最優(yōu)策略選擇的影響。通過最優(yōu)控制的方法，得到了三種不同情況下的均衡解。

本文的研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：首先，穩(wěn)定的參考價(jià)格總是要高于穩(wěn)定的零售價(jià)格，這主要是由于廣告會(huì)對參考價(jià)格產(chǎn)生一個(gè)正的影響；其次，在雙方都固定廣告的情況下，價(jià)格的變化速度要高于一方固定廣告而另一方固定價(jià)格的情形。并且當(dāng)初始的參考價(jià)格很高時(shí)，前一種情況下價(jià)格下降的速度要高于后一種情況，這主要是由于雙方都選擇廣告承諾，而進(jìn)行價(jià)格戰(zhàn)的結(jié)果；當(dāng)初始的參考價(jià)格很低時(shí)，前一種情況下價(jià)格上升的速度要高于后一種情況，這主要是由于競爭產(chǎn)品之間的替代性，競爭對手的價(jià)格會(huì)對我的銷量產(chǎn)生正的影響，在初始的參考價(jià)格很低的情形下，對方采取一種滲透定價(jià)的策略，同時(shí)也會(huì)刺激我方銷量的增長及價(jià)格的快速上升，這主要是考慮(適應(yīng))對方策略的結(jié)果；最后，我們采用了數(shù)值分析的方法，發(fā)現(xiàn)價(jià)格承諾在一些情況下要優(yōu)于廣告承諾，而在另一些情形下，廣告承諾則更優(yōu)。

附錄：

命題3.1的證明

在動(dòng)態(tài)環(huán)境下，兩企業(yè)要確定最優(yōu)的廣告投入水平，我們通過哈密爾頓方程求解最優(yōu)控制問題。首先構(gòu)造企業(yè)i的現(xiàn)值哈密爾頓函數(shù)Hi：

(A.1)

給定價(jià)格，企業(yè)最優(yōu)控制問題的必要條件為：

(A.2)

(A.3)

化簡(A.2)得到

-ui+βλi=0,ui=βλi

(A.4)

對(A.4)等式的兩邊求一階導(dǎo)得到：

(A.5)

將(A.3)代入(A.5)中可得：

(A.6)

求解等式(A.6)的微分方程，可得到企業(yè)i的最優(yōu)廣告投入水平的通解為：

ui(t)=C1e(ρ+α)t+uiss

(A.7)

其中uiss=Npi，N=γβ/(ρ+α)。C1為需要確定的常數(shù)，為求得C1，我們假設(shè)ri(t)=M1i+(r0-M1i)e-m1t，ri(t)對t求一階導(dǎo)得到：

(A.8)

(A.9)

解上面的方程，我們得到兩個(gè)解：

解一：m1=ρ+α，M1i=(1+γβ2/(α(ρ+α)))p1，C1=(ρ+2α)(r0-M1i)/β；解二：m1=-α，M1i=(1+γβ2/(α(ρ+α)))p1，C1=0。

ui(t)=uiss=Npi

(A.10)

命題3.2的證明

將命題3.1的結(jié)果代入式(3.6)，我們得到了企業(yè)i在價(jià)格p1，p2下的利潤函數(shù)，利潤Ji對價(jià)格pi求一階導(dǎo)，并根據(jù)利潤最大化的條件，令?Ji/?pi=0，得到：

(A.11)

命題3.3的證明

在動(dòng)態(tài)環(huán)境下，企業(yè)1為決策最優(yōu)的廣告投入水平，企業(yè)2為決策最優(yōu)的價(jià)格，首先構(gòu)造兩企業(yè)的現(xiàn)值哈密爾頓函數(shù)H1，H2：

(B.1)

(B.2)

對于給定企業(yè)1的價(jià)格和企業(yè)2的廣告投入水平，企業(yè)1最優(yōu)控制問題的必要條件為：

(B.3)

按照命題3.1類似的求解步驟可得到企業(yè)1最優(yōu)的廣告投入水平及參考價(jià)格隨時(shí)間的變化函數(shù)：

(B.4)

r1(t)=M2+(r0-M2)e-αt

(B.5)

對于給定企業(yè)1的價(jià)格和企業(yè)2的廣告投入水平，企業(yè)2最優(yōu)控制問題的必要條件為：

(B.6)

(B.7)

化簡等式(B.6)可得：

(B.8)

化簡得：

(B.9)

首先，在等式(B.9)中求解p2關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)并代入(B.7)中的結(jié)果，然后再對等式的左右兩邊同時(shí)求關(guān)于t的微分并再次代入(B.7)中的結(jié)果得到：

(B.10)

求解等式(B.10)的微分方程可得到企業(yè)2最優(yōu)的價(jià)格：

p2(t)=E0eA0t+E1eA1t+B1

(B.11)

其中E0，E1為需要確定的常數(shù)。類似于命題4.1的證明，我們得到均衡的價(jià)格為：

p2(t)=E1eA1t+B1

(B.12)

另外，為求得E1，我們設(shè)

r2(t)=M3+(r0-M3)e-m2t

(B.13)

r2(t)對時(shí)間t求一階導(dǎo)得到：

(B.14)

α(p2(t)-r2(t))+βu2=α(E1eA1t+B1-M3-(r0-M3)em2t)+βu2

(B.15)

解上述方程得到：

命題3.4的證明

采用逆推法來求出企業(yè)1最優(yōu)的固定價(jià)格，將命題3.3中的結(jié)果代入到利潤函數(shù)(3.9)中，利潤J1對價(jià)格p1求一階導(dǎo)，并根據(jù)利潤最大化的條件，令?J1/?p1=0得到：

(B.16)

其中I,J,K,H均為常數(shù)。

采用類似的方法，我們可以得到命題3.4的結(jié)論。