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        構(gòu)造輔助數(shù)列證明不等式

        2018-09-04 10:21:04張建新
        關(guān)鍵詞:變通通項月刊

        張建新

        【內(nèi)容摘要】數(shù)列不等式證明的方法靈活多變,學(xué)生往往無從下手,本文主要探究利用構(gòu)造輔助數(shù)列方法證明數(shù)列不等式的技巧,解題中我們要根據(jù)題情特征,機(jī)智巧妙地選擇證法,靈活變通,巧妙構(gòu)造,達(dá)到出奇制勝的效果。

        【關(guān)鍵詞】構(gòu)造數(shù)列不等式

        構(gòu)造法就是通過類比聯(lián)想,適當(dāng)變形,改造變通等技法,組裝成有利于解決問題的新方法,因此數(shù)學(xué)中的“構(gòu)造”既不神秘,也不是難以捉摸,而是目的性和方向性很強(qiáng),有章可循,有法可依的一種操作性技能技巧。

        本文就“構(gòu)造輔助數(shù)列”證明不等式展開探索研究,歸納總結(jié)出一般規(guī)律,從而消除大家對構(gòu)造的神秘感、陌生感和畏懼感。

        一、神奇類比,巧妙構(gòu)造

        “類比”就是一種“相似”,她是從一種特列到另一種特列的推理。類比不是瞎猜、亂猜,而是以已存儲知識為基礎(chǔ),以直覺為先導(dǎo),以思維為核心地類比,巧妙的構(gòu)造,達(dá)到證明問題的目的。

        例1.已知數(shù)列{an},{bn}的每一項都是正數(shù),a1=4, b1=8,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列 (n∈N*)

        (Ⅰ)求a2,b2;

        (Ⅱ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

        (Ⅲ)證明:對一切正整數(shù)n,都有1a1-1+1a2-1+…1an-1<23.

        分析:

        (Ⅰ)a2=12,b2=18;

        (Ⅱ)an=2n(n+1),bn=2(n+1)2;

        (Ⅲ)1an-1=12n(n+1)-1,由不等式結(jié)構(gòu)可知左邊無法求和,也就不能直接證明不等式,我們只能提取已經(jīng)存儲的基礎(chǔ)知識,展開類比聯(lián)想進(jìn)行探究。

        思路:看到不等式的通項是關(guān)于自然數(shù)n的一個二次式,我們想到在數(shù)列單元課本上有一個數(shù)列{1n(n+1)},其和進(jìn)行放縮可得不等式Sn=1-1n+1<1,這個數(shù)列學(xué)生非常熟悉,應(yīng)用的也比較熟練。因此,引導(dǎo)學(xué)生觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征是左邊和之小于23,于是類比聯(lián)想構(gòu)造數(shù)列{231n(n+1)},只需證得1an-1=12n(n+1)-1≤231n(n+1)成立,就突破了此題的難點。

        證明:要證1an-1=12n(n+1)-1≤231n(n+1)成立,只需證4n(n+1)-2≥3n(n+1),

        只需證n2+n-2≥0,只需證(n-1)(n+2)≥0恒成立。

        所以1an-1=12n(n+1)-1≤231n(n+1)=23(1n-1n+1)

        所以1a1-1+1a2-1+…1an-1≤23(1-12+12-13+…1n-1n+1)=23(1-1n+1)<23

        評注: 通過兩個例題的構(gòu)造法探究,我們得到類比聯(lián)想構(gòu)造離不開扎實的基礎(chǔ)和良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在解決問題時多從自己熟悉的知識入手,大膽嘗試構(gòu)造,只要結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)“二次式”或 “指數(shù)式”,就可展開豐富的類比想象,提取熟悉的數(shù)列知識,巧奪天工的構(gòu)造將會收到神奇的效果。

        二、適當(dāng)變形,和諧構(gòu)造

        任何方法都不是萬能的,當(dāng)類比構(gòu)造法難以奏效時,應(yīng)考慮將不等式進(jìn)行適當(dāng)變形,然后再構(gòu)造輔助數(shù)列。當(dāng)然這種變形不是盲目的無的放矢,而是根據(jù)題情與需要制定出明確的目標(biāo),讓其充分發(fā)揮導(dǎo)航的作用。

        例2.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=(n2+n)·3n

        (Ⅰ)求{an}的通項公式;(Ⅱ)證明:a112+a222+…ann2>3n

        分析:

        (Ⅰ) an=2n(n+2)·3n-1;(Ⅱ)觀察發(fā)現(xiàn)此不等式在n=1,n=2,…時都成立,那么我們可以分別將左右兩邊看為兩個數(shù)列的和,只要得到兩個數(shù)列通項滿足不等關(guān)系,則這兩個數(shù)列的和也就滿足這個不等關(guān)系。由此可以用上述思路構(gòu)造兩個輔助數(shù)列證明。

        證明:設(shè)數(shù)列{bn},{cn}的和分別為Bn,Cn,且Bn=a112+a222+…ann2,Cn=3n

        ∴n=1時,b1=B1=6,c1=C1=3,∴b1>c1;

        當(dāng)n≥2時bn=Bn-Bn-1=ann2=2(n+2)·3n-1n, cn=Cn-Cn-1=2·3n-1

        ∵n+2n>1,∴bn>cn

        綜上所述:(n∈N+),bn>cn,所以Bn>Cn。

        即:a112+a222+…ann2>3n

        以上用“構(gòu)造輔助數(shù)列”證明不等式的兩類方法,上述各法指向性十分明確。面對不同的題情特征,要機(jī)智巧妙地選擇證法,靈活變通,巧妙構(gòu)造,既達(dá)到了知識升華能力提升的要求,也達(dá)到了思想境界的升華的目的。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1] 張毅. 神奇的類比 巧妙地構(gòu)造[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考月刊, 2011(4):33-34.

        [2]黃元華. 構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考月刊, 2011(7):34-35.

        [3]陳云烽. 例說數(shù)列不等式的證明與探索(續(xù))[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考月刊, 2011(12):25-27.

        (作者單位:甘肅省張掖市臨澤縣第一中學(xué))

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