錢(qián)志杰

【內(nèi)容摘要】根據(jù)“直角三角形”在幾何計(jì)算及證明中的地位與作用及其教育價(jià)值，通過(guò)“過(guò)程教育”指導(dǎo)下的多次螺旋式加深發(fā)展的教學(xué)探索與反思.初步的理論求證與實(shí)踐驗(yàn)證表明，探索中形成的教學(xué)操作方法對(duì)促進(jìn)學(xué)生全面、和諧發(fā)展有積極的影響。

【關(guān)鍵詞】過(guò)程教育直角三角形方程思想教學(xué)說(shuō)明

一、課例的背景

“過(guò)程教育”是旨在滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要，關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果形成與應(yīng)用的過(guò)程和獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問(wèn)題）之后反思過(guò)程的育人活動(dòng).浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“2.6直角三角形”是認(rèn)識(shí)特殊三角形的繼續(xù).直角三角形是幾何圖形中一個(gè)常見(jiàn)的基本圖形，運(yùn)用直角三角形相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決角與邊的問(wèn)題在后繼學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到；研究直角三角形中方程思想應(yīng)用的方法對(duì)后繼學(xué)習(xí)有指導(dǎo)作用.生成構(gòu)造直角三角形、利用勾股定理解決線段邊長(zhǎng)問(wèn)題的過(guò)程有能力發(fā)展點(diǎn)、個(gè)性和創(chuàng)新精神培養(yǎng)點(diǎn)；其蘊(yùn)含的分類討論思想、方程思想、生成基本圖形的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力有積極的影響.基于“過(guò)程教育”的“直角三角形中方程思想的應(yīng)用”的教學(xué)怎樣操作？筆者在“過(guò)程教育”指導(dǎo)下的多次螺旋式加深發(fā)展的教學(xué)探索與反思的基礎(chǔ)上，將形成的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)整理出來(lái)，供參考。

二、教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷再認(rèn)三角形常規(guī)性問(wèn)題的過(guò)程——體會(huì)用字母代替未知的量。

師：?jiǎn)栴}1：已知三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，求第三邊長(zhǎng)。

生1：條件不足，無(wú)法求出第三邊的具體長(zhǎng)度。

師（追問(wèn)）：具體長(zhǎng)度不能求，那能確定第三邊長(zhǎng)的取值范圍嗎？

生2：可以，利用三角形邊長(zhǎng)性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊，可以算出第三邊大于1小于7。

師：很好，你利用了三角形邊長(zhǎng)的性質(zhì).我們不妨設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，根據(jù)兩邊之和大于第三邊可以得到關(guān)于x的不等式組

3+4>xx+3>4

，

解得1

在已知普通三角形兩邊長(zhǎng)的情況下，我們無(wú)法求出第三邊的具體值，但是可以確定它的取值范圍。

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家繼續(xù)來(lái)解決三角形邊長(zhǎng)問(wèn)題。

問(wèn)題2：已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和4，求第三邊長(zhǎng)。

生3：利用直角三角形勾股定理，解得第三邊長(zhǎng)x=32+42=5。

師：不錯(cuò)，你利用直角三角形特有的勾股定理，把已知兩邊長(zhǎng)看作是兩條直角邊，求出斜邊長(zhǎng)為5，有沒(méi)有同學(xué)補(bǔ)充的？

生4：答案也有可能為7，當(dāng)4為斜邊時(shí)，x=42-32=7。

師：很好，當(dāng)直角三角形兩邊屬性不明時(shí)，需要分類討論：（1）4為直角邊；（2）4為斜邊。分類討論思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要思想，這個(gè)思想在幾何問(wèn)題中經(jīng)常遇到。做題時(shí)，我們不妨簡(jiǎn)單的畫(huà)出兩種情況的直角三角形，結(jié)合圖形更能直觀的得到答案，這種數(shù)形結(jié)合的思想在解決幾何問(wèn)題中也是不可缺少的一種工具。

接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們模仿上述思維活動(dòng)過(guò)程解決下例變式問(wèn)題。

變式：已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為8和15，則斜邊上的中線長(zhǎng)為。

環(huán)節(jié)2：參與嘗試性質(zhì)應(yīng)用的活動(dòng)——體會(huì)用數(shù)學(xué)思想解題的過(guò)程

師：同學(xué)們已經(jīng)會(huì)解決已知兩邊求第三邊的問(wèn)題，下面請(qǐng)大家嘗試下已知一邊求一邊的情況。

問(wèn)題3：已知直角三角形三邊長(zhǎng)為整數(shù)，其中有一條直角邊為11，求斜邊的長(zhǎng)。

師（學(xué)生獨(dú)立思考5分鐘后）：通過(guò)畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)只知道一條直角邊.在求斜邊的過(guò)程中，你遇到了什么困難？

生5：如果能求出另一條直角邊的長(zhǎng)，答案就呼之欲出了。

師（追問(wèn)）：沒(méi)錯(cuò)，但是另一條直角邊也是個(gè)未知的量，通過(guò)剛才兩個(gè)問(wèn)題的解決對(duì)于未知量的處理你們有什么啟發(fā)嗎？

生6：可以假設(shè)另一條直角邊為a，斜邊長(zhǎng)為c，根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于a與c的方程：a2+121=c2。

師：很好，你巧妙的運(yùn)用了方程思想，根據(jù)勾股定理這個(gè)等量關(guān)系得到方程.請(qǐng)其他同學(xué)一同列出這個(gè)方程，并嘗試解出這個(gè)方程的解。

師（學(xué)生絞盡腦汁地解題，5、6分鐘后）：你們能解決這個(gè)方程嗎？

生7：不能，這是個(gè)二元二次方程。

師：的確，那不妨我們嘗試著降次.原方程變形后可得：c2-a2=121，觀察這個(gè)方程，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生8：方程左邊是個(gè)平方差公式，課進(jìn)行因式分解得到（c+a） （c-a）=121。

師（激動(dòng)）：聰明！其中a、c是整數(shù)，你能?chē)L試解出這個(gè)方程嗎？

生9：∵a、c都是整數(shù)

∴c-a和c+a也是整數(shù)

∵c+a=11c-a=11

解得c=11a=0

生10：不對(duì)不對(duì)，應(yīng)該是

c+a=121c-a=1

解得

c=61c=60

師（鼓掌）：在兩位同學(xué)共同的努力下，我們最終得到了正確答案，c=61，即斜邊長(zhǎng)為61.得到上述答案經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？

生11：先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再用字母表示未知的量，最好根據(jù)勾股定理列出方程并解方程。

師：不錯(cuò)，一般地，在直角三角形解決邊長(zhǎng)的問(wèn)題中，我們常常將未知的量用字母代替，并利用勾股定理構(gòu)造方程.在假設(shè)未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，能少則盡可能的少。解方程時(shí)遇到多元化一元，高次降低次。

接下來(lái)，教師提供下列目標(biāo)檢測(cè)題，要求學(xué)生獨(dú)立完成，并請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)在黑板上演示.待學(xué)生完成任務(wù)后，教師組織學(xué)生進(jìn)行交流與評(píng)價(jià)。

1、如圖，RtDABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°將DABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長(zhǎng)為。

2、如圖，一張直角三角形的紙片ABC，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且AC與AE重合，求CD的長(zhǎng).

環(huán)節(jié)3：參與回顧與思考的活動(dòng)——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

首先，教師出示下列“問(wèn)題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問(wèn)題清單”進(jìn)行回顧與思考。

（1）本節(jié)課復(fù)習(xí)了哪些內(nèi)容？我們是怎樣復(fù)習(xí)的？

（2）生成用勾股定理構(gòu)造方程解決直角三角形線段邊長(zhǎng)的問(wèn)題的過(guò)程經(jīng)歷了哪幾個(gè)步驟？你感悟了哪些數(shù)學(xué)思想？

（3）你對(duì)解決直角三角形線段邊長(zhǎng)問(wèn)題有何感觸？你認(rèn)為其他哪些類型的問(wèn)題也可以用此類方法解決？

其次，教師組織學(xué)生合作交流，同時(shí)教師邊傾聽(tīng)、邊評(píng)價(jià)。

第三，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行總結(jié)性講解。

三、教學(xué)說(shuō)明

根據(jù)“直角三角形中方程思想的應(yīng)用”的地位與作用及其教育價(jià)值，落實(shí)其全面、和諧的教學(xué)目標(biāo)，需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷生成由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、方程思想的構(gòu)造的實(shí)質(zhì)性思維過(guò)程.但目前在這節(jié)課的教學(xué)中普遍存在生成思想的認(rèn)知過(guò)程短暫和生成思想及方法后的反思過(guò)程缺失的問(wèn)題.這有悖于“過(guò)程教育”，不能滿足學(xué)生理解方法、感悟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、積淀蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及發(fā)展能力和個(gè)性等的需要.本節(jié)課以有代表性的“題材”為載體，采用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開(kāi)放的方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了完整的認(rèn)知過(guò)程——既有求簡(jiǎn)單的三角形邊長(zhǎng)的取值范圍、觀察直角三角形邊長(zhǎng)屬性不明基礎(chǔ)上進(jìn)行分類討論求第三邊的長(zhǎng)、用方程思想解決典型的直角三角形線段邊長(zhǎng)的認(rèn)知過(guò)程，以生成解決直角三角形線段的方法，也有生成方法之后反思的認(rèn)知過(guò)程，以感悟生成用方程思想解決直角三角形線段的步驟和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想；既有將二元二次方程化歸為一元一次方程組的認(rèn)知過(guò)程，以鞏固一元一次方程（組）和發(fā)展化歸技能，也有化歸之后反思的認(rèn)知過(guò)程，以感悟用方程思想解決直角三角形線段邊長(zhǎng)問(wèn)題的步驟和積淀蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這體現(xiàn)了“過(guò)程教育”，對(duì)落實(shí)全面、和諧的教學(xué)目標(biāo)有積極的影響.教學(xué)實(shí)踐表明，在性質(zhì)教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)知識(shí)、技能、能力、態(tài)度的完美統(tǒng)一，需要教師增強(qiáng)揭示方法及思想所蘊(yùn)含的思維活動(dòng)過(guò)程的自覺(jué)性，而引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維過(guò)程需要教師貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想——以符合“最近發(fā)展區(qū)”理論的題材為載體，運(yùn)用教師價(jià)值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開(kāi)放的方法，能使學(xué)生經(jīng)歷“過(guò)程”中的思維“站點(diǎn)”，從而能促進(jìn)學(xué)生全面、和諧發(fā)展。

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（作者單位：浙江省象山縣定塘中學(xué)）