劉文清，王應(yīng)明，藍(lán)以信

（福州大學(xué) 決策科學(xué)研究所，福州 350116）

0 引言

直覺模糊集（IFS）[1]是Atanassov于1983年提出的概念，是對模糊集概念的拓展，由隸屬度、非隸屬度和猶豫度（未知度）三方面組成。因此IFS在表達(dá)模糊性和不確定性等方面具有更優(yōu)秀的靈活性和實用性，直覺模糊多屬性決策也成為當(dāng)前決策領(lǐng)域的一個研究熱點[2]。近年來關(guān)于直覺模糊集在多屬性決策上的方法研究層出不窮，并廣泛地應(yīng)用于專家系統(tǒng)、醫(yī)療診斷、模式識別、決策分析等眾多領(lǐng)域[3]。

在實際決策中，存在著大量屬性值信息不完全的問題，因此針對屬性值信息不完全的直覺模糊多屬性決策問題有著很強(qiáng)的現(xiàn)實意義。由于眾多直覺模糊信息集成的方法都只能應(yīng)用在屬性值信息完全的情況下，因此目前在處理屬性值信息不完全時，一般都是用直覺模糊相似度函數(shù)等方法先將屬性值補全，使之變成信息完全的直覺模糊多屬性決策問題。但是補全信息等于丟失了此類直覺模糊多屬性決策問題中信息不完全這一特性和信息，同時當(dāng)數(shù)據(jù)量較大且缺失數(shù)據(jù)較多時，其計算量會非常大。

證據(jù)推理是對證據(jù)理論的發(fā)展，Wang等[4]提出的ER組合方法解決了證據(jù)理論中Dempster組合規(guī)則融合證據(jù)時造成的證據(jù)沖突問題，在不確定決策和不完全信息多屬性決策上有著廣泛應(yīng)用。張洪濤等[5]用證據(jù)推理方法將屬性值信息不完全的多個專家意見進(jìn)行集結(jié)，并應(yīng)用于汽車企業(yè)自主創(chuàng)新能力的評價中。施海柳等[6]在并購決策中利用證據(jù)推理來集結(jié)有數(shù)據(jù)缺失的多時點投入產(chǎn)出信息。

為此，本文針對目前方法在屬性值信息不完全的直覺模糊多屬性決策問題上的不足，提出了不完全信息下基于證據(jù)推理的直覺模糊多屬性決策方法，利用證據(jù)推理可以處理不完全信息和不確定信息的特點，在集成直覺模糊信息時得到的結(jié)果依然為直覺模糊數(shù)，以免造成信息的丟失，還可以保留信息不完全這一信息，并且省去了補全信息的繁瑣。最后算例分析驗證了本文方法的有效性和可行性。

1 基本理論

1.1 直覺模糊集相關(guān)理論

定義1[7]：設(shè)B為論域E上的一個直覺模糊集，則B定義為如下形式：

其中 μ（x）為元素 x∈E 屬于 B的隸屬度，v（x）為元素x∈E屬于B的非隸屬度，并且滿足以下條件：

顯然，直覺模糊集作為模糊集的一般化，每個傳統(tǒng)模糊集都可以寫成如下形式：

定義2[7]：對任意的 x∈E 有 πB（x）=1-μB（x）-vB（x），稱為元素x為直覺模糊集B的猶豫度或未知度。顯然，對傳統(tǒng)模糊集來說，對任意的x∈E都有πB（x）=0。

E中的元素x屬于B的隸屬度與非隸屬度所組成的有序?qū)?μB（x），vB（x）稱為直覺模糊數(shù)。

1.2 證據(jù)推理基本概念

定義3[8]：H={H1，H2，…，HP} 為證據(jù)的識別框架，H1，H2，…，Hp表示定性值 Y1，Y2，…，Yp對應(yīng)評價等級，HN?H 表示未知信息，（Hk，βk）表示在等級 Hk的置信度為 βk，（HN，βN）表示關(guān)于未知信息 HN的置信度為 βN，則稱 βk為Hk上的等級置信度，βN為HN上的等級置信度，其中

定義 4[9]：H={H1，H2，…，HP} 為識別框架，若集函數(shù)

m∶2H→[0，1] 滿足≤1，稱m為H上的基本可信度分配（BPA）。

2 不完全信息下基于證據(jù)推理的直覺模糊多屬性決策模型

2.1 問題描述

假設(shè)一個直覺模糊多屬性決策問題有l(wèi)個備選方案和n個評價屬性，令S={s1，…，si，…，sl}表示方案集 ，A={A1，…，Aj，…，An} 表示為屬性集，對應(yīng)屬性的權(quán)重為W={ω1，…，ωj，…，ωn} ，滿足

方案 si在屬性 Aj下的直覺模糊評價值為μj（si），vj（si），對應(yīng)的未知度為 πj（si）=1-μj（si）-vj（si），1≤i≤l，1≤j≤n 。則有如下直覺模糊決策矩陣：

2.2 屬性值信息缺失的處理

當(dāng)屬性值缺失為空時，說明此時可獲得信息為零，此屬性值是完全未知的，因此其隸屬度和非隸屬度應(yīng)為0，未知度為1。若將隸屬度和非隸屬度補齊為非零數(shù)字，則未知度π≠1，表明此屬性值信息并不是完全未知，而是可知的，這與屬性值缺失的本身含義不符，因此有如下定義。

定義5：當(dāng)屬性值缺失時，則賦值為 0，0，即隸屬度u=0，非隸屬度v=0，未知度π=1。

采用定義5來處理屬性值缺失不僅簡單，并且可以保留信息缺失這一信息，更加合理。

2.3 直覺模糊信息的處理

證據(jù)推理在融合不確定信息有著廣泛應(yīng)用，但是并不能直接處理直覺模糊信息，因此需要將直覺模糊信息轉(zhuǎn)化為證據(jù)推理可以處理的等級置信度。

通過比較直覺模糊集的定義與定義3可以看出，直覺模糊集與等級置信度有著相似之處，HN表示未知信息，而π表示未知程度，因此有如下定義。

定義6：設(shè) H={H1，H2}為屬性的識別框架，等級H1表示隸屬度，等級H2表示非隸屬度，HN?H表示未知度。則（H1，μ）表示在等級H1的置信度為μ，（H2，ν）表示在等級H2的置信度為 ν，（HN，π）表示關(guān)于未知度HN的置信度為π，簡記為 μ，ν，其中μ+ν+π=1。

按定義6將屬性值的直覺模糊信息看作為等級置信度信息，則可用證據(jù)推理來對直覺模糊信息進(jìn)行集成。

2.4 基于證據(jù)推理的直覺模糊信息集結(jié)

證據(jù)推理在多屬性決策問題中的應(yīng)用是將各屬性看作證據(jù)，屬性值則為證據(jù)的具體值，則基于證據(jù)推理的直覺模糊信息集結(jié)方法如下：

其中 1 ≤i≤l ，1 ≤j≤n ，m1j（si）+m2j（si）+mNj（si）=1 。由上述公式計算可以得到BPA決策矩陣，表示如下：

其中 m1j（si）為方案 si在屬性 Aj關(guān)于等級 H1的BPA，m2j（si）為方案 si在屬性 Aj關(guān)于等級 H2的BPA，mNj（si）為方案si在屬性Aj關(guān)于未知度HN的BPA。

第二步：將BPA決策矩陣用ER方法進(jìn)行集結(jié)，集結(jié)公式如下：

其中 k=1，2，1≤i≤l，1≤j≤n。則可以得到方案 si總的BPA值：m1（si），m2（si），?N（si），mˉN（si）。

第三步：計算方案si總的直覺模糊評價信息。由方案總的BPA計算得到方案總的直覺模糊評價信息，如下：

2.5 直覺模糊數(shù)的排序比較

在現(xiàn)實決策環(huán)境中，對直覺模糊數(shù)的比較和排序是非常重要的一個問題，同時也是決策過程中重要的一步。這里采用了譚吉玉等[3]提出的相對于最大直覺模糊數(shù)的貼近度來進(jìn)行排序，其不僅蘊含了得分函數(shù)和精確函數(shù)的排序原理，而且克服了在排序時得分函數(shù)處于絕對優(yōu)勢地位的不足。相對于最大直覺模糊數(shù)的貼近度計算公式如下：

按照C（si）值的大小對方案進(jìn)行排序 （i= 1 ，2，…，l） ，C值越大，方案越優(yōu)。

3 算例分析

在信息化條件下進(jìn)攻戰(zhàn)斗中，敵方利用其火力打擊我陸軍地面進(jìn)攻部隊，致使我方進(jìn)攻受阻，嚴(yán)重影響了我方作戰(zhàn)計劃的實施。為能爭取戰(zhàn)場主動控制權(quán)，上級命令對該區(qū)域?qū)嵤┗鹆Υ驌?，破壞敵防御系統(tǒng)。我某數(shù)字化師利用先進(jìn)的偵察系統(tǒng)獲取了該地區(qū)的目標(biāo)情報，制定了三種不同的火力打擊行動方案現(xiàn)有5位相關(guān)領(lǐng)域的戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)專家DM1、DM2、DM3、DM4、DM5對這3種方案依據(jù)其評價指標(biāo)做出評價信息，如表1至表5所示：

表1 專家DM1對敵作戰(zhàn)體系毀傷評估

表2 專家DM2對敵作戰(zhàn)體系毀傷評估

表3 專家DM3對敵作戰(zhàn)體系毀傷評估

表4 專家DM4對敵作戰(zhàn)體系毀傷評估

表5 專家DM5對敵作戰(zhàn)體系毀傷評估

屬性權(quán)重則為 ω1=（0.3，0.3，0.4），由于各個專家的重要性相等，因此假設(shè)各專家權(quán)重相等 ω2=（0.2，0.2，0.2，0.2，0.2）。

可以看到評價信息有幾處缺失，是屬性值信息不完全的直覺模糊多屬性決策問題。由于有五位專家分別對三個方案做出評價，同時也是多屬性決策中的群決策問題。

首先將其看作5個多屬性決策子問題，對5個子問題分別用基于證據(jù)推理的直覺模糊信息集結(jié)方法來得到每位專家對3種方案總的評價值，如表6所示：

然后將決策表表6看做一個多屬性決策問題，專家可以看作為屬性，再用基于證據(jù)推理的直覺模糊信息集結(jié)方法得到各方案總的直覺模糊評價值，最后進(jìn)行排序比較，選出最優(yōu)方案。將本文方法結(jié)果與文獻(xiàn)[10]的結(jié)果進(jìn)行比較，見表7：

表6 各專家對3種方案總的評價值

表7 文獻(xiàn)[10]方法與本文方法結(jié)果對比

從表7可以看出本文方法與文獻(xiàn)[10]結(jié)果差別在于方案1與方案3的排序不同，出現(xiàn)這種情況的原因是文獻(xiàn)[10]是用IFWA算子來集結(jié)直覺模糊信息。由于方案?3的評價值中存在極端數(shù)據(jù)即非隸屬度為0的情況，而IFWA算子在遇到非隸屬度為0的直覺模糊數(shù)時其計算得到的直覺模糊數(shù)的非隸屬度必為0。因此通過IFWA算子計算得到方案?3的總的直覺模糊評價值非隸屬度必為0，這樣就導(dǎo)致方案?3的評估不合理。

用基于證據(jù)推理的直覺模糊信息集結(jié)法來計算文獻(xiàn)[10]中補齊后的直覺模糊評估信息，所得結(jié)果為?=〈0.7531，這與本文所得排序結(jié)果相同，說明本文方法在遇到直覺模糊評估信息缺失時所得結(jié)果是合理的，表明本文方法可以有效地解決屬性值信息不完全的直覺模糊多屬性決策問題。

4 結(jié)論

在實際的直覺模糊多屬性決策問題中，由于各種原因會導(dǎo)致屬性值信息的缺失，現(xiàn)有的直覺模糊信息集成方法并不能直接有效地處理這類問題。本文提出了不完全信息下基于證據(jù)推理的直覺模糊多屬性決策方法。該方法定義了如何用直覺模糊數(shù)來表示屬性值的缺失，簡單合理易懂，免去了補齊數(shù)據(jù)這一步驟，同時保留了數(shù)據(jù)缺失這一信息。通過分析直覺模糊集與證據(jù)推理之間的相似性將直覺模糊集中的隸屬度、非隸屬度和未知度轉(zhuǎn)化為證據(jù)推理中的等級置信度，由等級置信度得到BPA后用ER組合方法來集結(jié)信息，最后計算各方案總評估值的貼近度來進(jìn)行方案排序。算例分析驗證了所提方法的有效性和可行性，為屬性值信息不完全的直覺模糊多屬性決策問題提供了新的途徑，具有一定的應(yīng)用意義。