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        線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)域分析*

        2018-09-03 09:53:36陳紹榮劉郁林朱行濤
        通信技術(shù) 2018年8期
        關(guān)鍵詞:對(duì)式乘積時(shí)變

        陳紹榮,何 健,劉郁林,朱行濤

        (1.陸軍工程大學(xué) 通信士官學(xué)校,重慶 400035;2.軍委裝備發(fā)展部軍事代表局駐成都地區(qū)軍事代表室,四川 成都 610041;3.重慶市經(jīng)信委,重慶 400015)

        0 引 言

        在國(guó)內(nèi)外《信號(hào)與系統(tǒng)》中[1-2],均提到了連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)可分為線性時(shí)變系統(tǒng)和線性時(shí)不變系統(tǒng)。然而,連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)域分析都局限于介紹線性時(shí)不變系統(tǒng)的分析方法。原因有兩點(diǎn),一是并非所有描述線性時(shí)變系統(tǒng)的線性變系數(shù)微分方程都有解;二是即使描述線性時(shí)變系統(tǒng)的線性變系數(shù)微分方程有解,也難以找出系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式。本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上,研究了一階線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)域分析問(wèn)題,采用降階解法給出了一類(lèi)可解的二階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式,解決了一類(lèi)可解的高階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的時(shí)域求解問(wèn)題。

        1 一階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式

        設(shè)描述一階線性時(shí)變系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f (t)關(guān)系的微分方程為:

        利用乘積求導(dǎo)法則,對(duì)式(2)左邊作逆向改寫(xiě),可得:

        對(duì)式(3)兩邊作不定積分,可得:

        由式(4)可得一階線性時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)的通解公式,即:

        式中,C為任意常數(shù)。

        2 二階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式

        設(shè)描述二階線性時(shí)變系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程為:

        其實(shí),描述二階線性時(shí)變系統(tǒng)的非齊次微分方程式(6)可改寫(xiě)成:

        為了采用降階解法,現(xiàn)定義新變量x(t),即:

        考慮到式(8),則二階線性變系數(shù)非齊次微分方程式(7)降成了一階線性變系數(shù)非齊次微分方程,即:

        考慮到通解式(5),則描述一階線性時(shí)變系統(tǒng)的非齊次微分方程式(9)的通解x(t),可寫(xiě)成:

        式中,C1為任意常數(shù)。

        考慮到通解式(5)和通解式(10),則一階線性變系數(shù)非齊次微分方程式(8)的通解,即式(6)描述的二階線性時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)的通解公式可表示為:

        式中,C1和C2為任意常數(shù)。

        3 線性時(shí)變系統(tǒng)的時(shí)域分析舉例

        3.1 例子1

        例1:設(shè)描述一階線性時(shí)變系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程為:

        若系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)=e-sint-tε(t),系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0_)=2,試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)及全響應(yīng)y(t)。

        3.1.1 方法1

        解:利用通解式(5)直接進(jìn)行求解。由微分方程式(12)知道,λ(t)=-cost??紤]到通解式(5),則有:

        式中,C為任意常數(shù)。

        考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0_)=2,由式(13)可得y(0_)=C=2。于是,系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)為:

        顯然,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)分別為:

        3.1.2 方法2

        采用上限積分法求解。

        將系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)=e-sint-tε(t)代入非齊次微分方程式(12),可得:

        將式(17)兩邊乘以esint,可得:

        利用乘積求導(dǎo)法則,對(duì)式(18)左邊作逆向改寫(xiě),可得:

        由式(19)可得:

        在τ∈[0_,t]區(qū)間上,對(duì)式(20)兩邊積分,可得:

        考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0_)=2,由式(21)可得:

        于是,系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)為:

        顯然,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)分別為:

        3.2 例子2

        例2:設(shè)描述二階線性時(shí)變系統(tǒng)響應(yīng)y(t)與激勵(lì)f(t)關(guān)系的微分方程為:

        若系統(tǒng)的激勵(lì) f(t)=2e-tε (t)-δ(t),系統(tǒng)的初始狀態(tài)y(0_)=2,y'(0_)=0,試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)及全響應(yīng)y(t)。

        3.2.1 方法1

        利用通解式(11)直接進(jìn)行求解。

        其實(shí),描述二階線性時(shí)變系統(tǒng)的非齊次微分方程式(26)可寫(xiě)成:

        將微分方程式(26)與微分方程式(7)比較,可知:

        為了計(jì)算方便,令:

        考慮到式(29)、式(30),則通解式(11)可寫(xiě)成:

        考慮到式(29),由式(31)可得:

        由式(32)可得:

        由式(31)可得:

        將C1=0、C2=2代入式(31),可得系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t),即:

        顯然,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)分別為:

        3.2.2 方法2

        采用上限積分降階法求解。

        將系統(tǒng)的激勵(lì)f(t)=2e-tε(t)-δ(t)代入非齊次微分方程式(27),可得:

        將式(38)兩邊乘以et,可得:

        利用乘積求導(dǎo)法則,對(duì)式(39)左邊作逆向改寫(xiě),可得:

        由式(40)可得:

        在τ ∈[0-,t ]區(qū)間上,對(duì)式(41)兩邊積分,可得:

        考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài) y (0-) = 2, y ′(0-)=0,由式(42)可得:

        即:

        將式(44)兩邊乘以et2,可得:

        利用乘積求導(dǎo)法則,對(duì)式(45)左邊作逆向改寫(xiě),可得:

        由式(46)可得:

        在τ ∈[0-,t ]區(qū)間上,對(duì)式(47)兩邊積分,可得:

        考慮到系統(tǒng)的初始狀態(tài) (0) 2 y-= ,由式(48)可得:

        于是系統(tǒng)的全響應(yīng) ()y t為:

        顯然,系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yx( t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)分別為:

        4 結(jié) 語(yǔ)

        本文基于分離變量的基本思路,巧妙地在微分方程兩邊乘以同一函數(shù),利用乘積求導(dǎo)法則,將方程的左邊逆向改寫(xiě)成乘積求導(dǎo)形式,再對(duì)方程兩邊作不定積分,最后通過(guò)分離變量導(dǎo)出一階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式?;谝浑A線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式,采用降階解法導(dǎo)出了一類(lèi)可解的二階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的通解公式。這不僅揭示了線性變系數(shù)非齊次微分方程的解結(jié)構(gòu),即齊次解加特解,而且解決了一類(lèi)可解的高階線性時(shí)變系統(tǒng)全響應(yīng)的時(shí)域求解問(wèn)題。

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