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        拉船中幾個力學問題

        2018-08-31 07:45:58錢樹高
        物理通報 2018年9期

        錢樹高

        (昆明理工大學理學院 云南 昆明 650051)

        夏英齊

        (云南師范大學物理與電子信息學院 云南 昆明 650500)

        在貴刊上一些不同看法的文章[1~3]最初引起我們的注意.我們肯定了文獻[3]的正確性,并指出速度合成與分解的基礎(chǔ)(依據(jù))在于:運動的合成與分解.又,拉船過程中,繩上點做曲線運動,這也是基于運動的合成與分解,它沿繩運動,又繞定滑輪轉(zhuǎn)動.我們還對文獻[1]認為也是不能用速度合成與分解的幾個例子,提出了我們的分析與看法[4].不同的看法、解法、有疑點、有爭論,可以明辨是非,對促進學術(shù)繁榮是十分有益的.

        1 岸上用繩拉湖中船

        一人站在岸上以速度v拉繩(或收繩),或者拉伸跨定滑輪的繩以速度v奔跑,使湖中船靠岸(圖1).求船速V和加速度a.

        圖1 岸上人拉船示意圖

        用多種方法可求得到

        (1)

        若拉繩的加速度為

        (2)

        類似的,拉斜坡上的車(圖2),有同樣的關(guān)系;

        圖2 斜坡拉車情形

        拉球面上的車(圖3)也有

        圖3 球面拉車情形

        還可求得

        (3)

        2 岸邊用繩拉河中船

        岸邊一人用繩拉河中船靠岸,拉繩速度為v1,水流速度為v2(繩與船在同一水平面上),求船速和加速度(圖4).

        圖4 拉河中船靠岸

        船的徑向速度

        船的橫向速度

        徑向加速度

        (4)

        橫向加速度

        (5)

        3 岸邊用二繩拉湖中船

        岸邊二人分別用二繩拉湖中船靠岸,拉繩速度為v1和v2,相應的繩長為l1和l2,二繩夾角為ψ(二繩與船在同一水平面上),求船速度和加速度(圖5).

        圖5 二人分別用二繩拉船

        3.1 船的速度和加速度

        用做功的觀點,可以得到[5]

        (6)

        由式(6),得

        (7)

        于是

        (8)

        用運動合成與分解的方法,也可求解:從O1(或O2)來看,船的運動可以視為沿繩方向的運動(v1或v2),和繞O1(或O2)的轉(zhuǎn)動,因此有

        和上面做功法的結(jié)果相同.

        對船的加速度也可類似的求解,有

        其中沿繩的徑向加速度

        (9)

        (10)

        由此即可定出a和θ′.

        若勻速拉繩a1=0,a2=0, 此時可求得

        tanθ′=

        (11)

        (12)

        可以證明,在二繩拉船中,船繞O1轉(zhuǎn)動的角速度ω和角加速度β為

        (13)

        +(l1v1-l2v2)2cosφ1]=

        (v2cosψ-v1)[l1v1+l2v2-(l1v2+l2v1)cosψ]}=

        (14)

        例如,l1=l2(=l),v1=v2(=v),即對稱拉船,可求得

        與高h的湖岸上拉船一樣,這是很顯然的.

        另一方面,由式(13)、(14)、(4)及(5),也可求得上述結(jié)果.

        又如

        用二法都可求得

        湖船的加速度

        而河船的

        二者并不相同,應該注意,拉繩或收繩速度不同于河水的作用速度.

        3.2 與岸上拉繩之聯(lián)系

        設(shè)船約束在圓周上運動(l1=R,v1=0),如圖6所示,這里ψ=∠O1PO2.

        圖6 船被約束在圓周上

        可見

        可得

        (15)

        (16)

        還可從另一觀點來看,船做圓周運動的向心加速度和切向加速度為

        (17)

        其中角加速度可由式(14)令v1=0而得

        (18)

        (19)

        如果令R→∞(圖6),則球面上圓周變成平面(斜坡或湖面)上一條直線,求得的結(jié)果和式(2)是完全一致的.這樣,岸上拉船的問題就作為一種特殊情況和二繩拉船完全統(tǒng)一起來了.

        可以指出,有些文獻說是在“河岸”上“拉河中小船”可能是筆誤疏忽[6,7],也許不是,因此我們還是來照題分析思考一下在河中船的運動,“船向岸靠攏的速度”, 向原點O或岸邊靠近的速率是否仍然與湖中小船靠岸的速率相同,讀者可自行討論.

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