李昌成 楊軍

(1.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002；2.新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 830054)

1 問題的提出

2017全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷文科第21題第(Ⅱ)問(例1)是一道求參數(shù)取值范圍問題：

例1設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.當(dāng)x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

求解例1的方法之一是“分離參數(shù)法”，但分離參數(shù)后求對應(yīng)函數(shù)的最值時，運算非常復(fù)雜(有興趣的讀者可嘗試之).而該高考試題所附參考答案的解法，不易理解掌握.同時所見一些解法仍未能體現(xiàn)其源流，故本文以2017全國高考數(shù)學(xué)Ⅱ卷文科第21題和2016年四川高考數(shù)學(xué)理科第21題第(Ⅱ)問為例，擬深入分析“當(dāng)x∈(m,n)時，f(x)≤ax+b恒成立，求a的取值范圍”這類試題的本質(zhì)，并據(jù)此給出適于高中生認(rèn)知水平的初等解法.

2 試題的本質(zhì)分析

從幾何意義看，要使x∈[0,+∞)，f(x)≤ax+1成立，只需當(dāng)x∈[0,+∞)時，射線y=ax+1始終在函數(shù)f(x)=(1-x2)ex圖象的上方(僅在端點x=0處重合，如圖1).進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，直線y=ax+1位于曲線f(x)的切線位置是f(x)≤ax+1成立的極限情形：即若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時，均有f(x)≤ax+1；若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置下方時，f(x)≤ax+1不恒成立(圖2).

之所以如此，關(guān)鍵原因是f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù)(即曲線是凸的).如若不然，則不能保證“當(dāng)射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時，均有f(x)≤ax+1”.例如圖3中的反例.

圖1

圖2

圖3

至此，揭示了試題的本質(zhì)：因為f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù)，故條件“x≥0時，f(x)≤ax+1”等價于“射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于曲線f(x)=(1-x2)ex在點x=0處的切線位置或其上方”.

一般地，若函數(shù)f(x)在x∈[m,n]上是凸函數(shù)，并且函數(shù)y=f(x)與y=ax+b在區(qū)間[m,n]左(或右)端點處的函數(shù)值相等，則“當(dāng)x∈[m,n]時，f(x)≤ax+b成立”等價于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲線y=f(x)在端點處的切線位置或其上方”(圖4).

同理，若函數(shù)f(x)在x∈[m,n]上是凹函數(shù)，并且函數(shù)y=f(x)與y=ax+b在區(qū)間[m,n]左(或右)端點處的函數(shù)值相等，則“當(dāng)x∈[m,n]時，f(x)≥ax+b成立”等價于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲線y=f(x)在端點處的切線位置或其下方”(圖5).

圖4

圖5

從而，要求參數(shù)a的取值范圍，只需判斷函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間上的凹凸性，并求出曲線y=f(x)在區(qū)間端點處的切線方程，進(jìn)而根據(jù)“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲線y=f(x)在端點處的切線位置或其上(下)方”即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍.從而表明，此類試題是基于函數(shù)的凹凸性命制的.

3 基于函數(shù)凹凸性的高觀點解法

根據(jù)以上分析，下面給出例1基于函數(shù)凹凸性的高觀點解法.其中用到高等數(shù)學(xué)中判斷函數(shù)凹凸性的方法如下[2]：

?x∈I，若二階導(dǎo)數(shù)f″(x)<0，則函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)；若二階導(dǎo)數(shù)f″(x)>0，則函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凹函數(shù).

解由f′(x)=(-x2-2x+1)ex知，曲線f(x)在點x=0處的切線方程為y=x+1.

令f″(x)=(-x2-4x-1)ex=0，

f″(x)<0，此時函數(shù)f(x)為凸函數(shù)；

f″(x)>0，此時函數(shù)f(x)為凹函數(shù).

故f(x)在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù)，所以當(dāng)x∈[0,+∞)時，曲線弧f(x)始終位于其在在點x=0處的切線y=x+1下方(僅在切點處重合).從而當(dāng)x∈[0,+∞)時，f(x)≤x+1恒成立.從而要使x∈[0,+∞)時，f(x)≤ax+1成立，當(dāng)且僅當(dāng)a≥1.

4 適于高中生認(rèn)知水平的初等解法

上述基于函數(shù)凹凸性的高觀點解法，揭示了這一類問題的本質(zhì)，但對高中生而言，因為沒有學(xué)習(xí)函數(shù)凹凸性的定義及其判斷方法，故仍難以理解.那么，如何基于函數(shù)凹凸性的本質(zhì)找到適合高中生認(rèn)知水平的初等解法呢？

通過觀察圖6與圖7發(fā)現(xiàn)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,n]上為凸(凹)函數(shù).并且曲線f(x)在區(qū)間[m,n]左端點處的切線為y=kx+l，則有向線段AB=f(x)-(kx+l)在區(qū)間[m,n]上一定是減(增)函數(shù).

圖6

圖5

由此得到適于高中生認(rèn)知水平的初等解法：求出曲線f(x)在區(qū)間[m,n]端點處的切線方程y=kx+l，構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-(kx+l)，進(jìn)而判斷函數(shù)h(x)在區(qū)間[m,n]上的單調(diào)性，從而最終求出參數(shù)的取值范圍.下面利用上述方法再解例1.

解由f′(x)=(-x2-2x+1)ex知，曲線f(x)在點x=0處的切線方程為y=x+1.

構(gòu)造函數(shù)h(x)=(1-x2)ex-(x+1)，

則h′(x)=(-x2-2x+1)ex-1，

h″(x)=(-x2-4x-1)ex.

當(dāng)x≥0時，顯然h″(x)<0，故h′(x)在區(qū)間x∈[0,+∞)上是減函數(shù)，從而h′(x)≤h′(0).又h′(0)=0，故h′(x)≤0(僅在區(qū)間左端點處取等)，由此得函數(shù)h(x)=(1-x2)ex-(x+1)在區(qū)間x∈[0,+∞)上是減函數(shù).

故當(dāng)x∈[0,+∞)時，h(x)≤h(0)恒成立，即(1-x2)ex≤x+1恒成立.從而要使x∈[0,+∞)，f(x)=(1-x2)ex≤ax+1成立，只需x+1≤ax+1，此時a≥1.

下面證明，當(dāng)a<1時，對x≥0，f(x)≤ax+1不恒成立.

同理，構(gòu)造函數(shù)g(x)=(1-x2)ex-(ax+1)，則g′(x)=(-x2-2x+1)ex-a，g″(x)=(-x2-4x-1)ex，顯然g″(x)<0，從而g′(x)在區(qū)間x∈[0,+∞)上是減函數(shù).

又g′(0)=1-a>0，當(dāng)x→+∞時，g′(x)→-∞.故必存在充分大的正數(shù)m，使得g′(m)<0.由零點存在定理可知，存在唯一的x0∈(0,m)，使g′(x0)=0.從而根據(jù)g′(x)為減函數(shù)可知：當(dāng)x∈(0,x0)時，g′(x)>g′(x0)=0，即g(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)是增函數(shù).從而g(x)>g(0)，即f(x)>ax+1成立.從而表明，當(dāng)a<1時，對x≥0，f(x)≤ax+1不恒成立.

綜上，可知a的取值范圍為[1,+∞).

t′(x)=e1-x-2a.

函數(shù)s(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，故s(x)>s(1).又s(1)=0，即s(x)>0，故m(x)>2ax-2a-1對x∈(1,+∞)恒成立(圖8).

同理，函數(shù)t(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是減函數(shù)，故t(x)

圖8

圖9

(2)?x∈(1,+∞)，若s′(x)<0,t′(x)>0，只需a≤0，此時

函數(shù)s(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是減函數(shù)，故s(x)

同理，函數(shù)t(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，故t(x)>t(1)=0，即n(x)>2ax-2a-1對x∈(1,+∞)恒成立(圖9).

從而，由不等式傳遞性知m(x)

令t′(x)>0，解得x∈(1,1-ln2a).故函數(shù)t(x)在區(qū)間(1,1-ln2a)內(nèi)是增函數(shù)，故t(x)>t(1)=0，即n(x)>2ax-2a-1對x∈(1,1-ln2a)恒成立.

5 結(jié)束語

本文通過探究形如“當(dāng)x∈(m,n)時，f(x)≤ax+b恒成立，求a的取值范圍”這一類高考試題,揭示出其本質(zhì)是函數(shù)的凹凸性.據(jù)此通過構(gòu)造一類函數(shù)，給出了基于高中生認(rèn)知水平的初等解法，從而表明深入才能淺出，高屋方可建瓴.