賀 斌 付相兵 孟凡海
(湖北省谷城縣第三中學(xué) 441700)
貴刊文[1]通過一個多版面的篇幅證明了如下命題
并在此基礎(chǔ)上建立了如下置換:
文[1]的證明條理清楚,邏輯嚴(yán)謹(jǐn),但其缺點(diǎn)是不夠直觀.本文(仍沿用文[1]的相關(guān)記號)將給出上述命題的一個幾何解釋,并在此基礎(chǔ)上建立一個可以將涉及三角形邊長、面積及相關(guān)半徑的齊次關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含角的三角函數(shù)的關(guān)系式的置換.
圖1
所以面積為
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,
則r=(p-a)tanα=(p-b)tanβ=(p-c)tanγ,
所以,r3=(p-a)(p-b)(p-c)·tanαtanβtanγ=r2ptanαtanβtanγ,
所以r=ptanαtanβtanγ,
這樣我們便得文[1]命題的幾何解釋.
(相關(guān)字母的意義如前所述)
利用此置換可以將涉及三角形邊長、面積及相關(guān)半徑的齊次關(guān)系式轉(zhuǎn)化為僅含角的三角函數(shù)的關(guān)系式.讀者不妨一試.