程江麗
(河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng) 453000)
假設(shè)最優(yōu)化問題的模型是:
minf(x),
s.t.x∈
在求解n維無約束優(yōu)化問題時,用迭代點的梯度和Hesse陣Gk的某個近似矩陣Bk對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行二次函數(shù)近似,然后把二次函數(shù)的極小點作為新的迭代點[1]。
在求解n維非線性問題時,用當(dāng)前點的負(fù)梯度方向與算法的前一個方向的線性組合作為當(dāng)前的搜索方向,在非精確線搜索條件下經(jīng)過有限步終止[2]。
對于小型無約束優(yōu)化問題,比如:
minf(x)=4(x12-x2)2+3(x1-1)2,x∈R2
表1 擬牛頓法的數(shù)值結(jié)果
表2 非線性共軛梯度法的數(shù)值結(jié)果
通過表1和表2可以看出,擬牛頓法的迭代次數(shù)和運(yùn)行時間都少于非線性共軛梯度法的迭代次數(shù)和運(yùn)行時間,而目標(biāo)函數(shù)值方面,擬牛頓法精確度更高一些。
對于大規(guī)模的無約束優(yōu)化問題,比如:
其中,n取1000.同樣選取相同的初始點,編程計算得出擬牛頓法和非線性共軛梯度法的數(shù)值計算結(jié)果,如表3和表4所示:
表3 擬牛頓法的數(shù)值計算結(jié)果
buzy表示計算器繁忙,一直不顯示結(jié)果。
表4 非線性共軛梯度法的數(shù)值結(jié)果
通過上面的結(jié)果比較可以發(fā)現(xiàn),在大規(guī)模無約束優(yōu)化問題中,非線性共軛梯度法的迭代次數(shù)和運(yùn)行時間明顯少于擬牛頓法的迭代次數(shù),并且擬牛頓法中對于某些與精確解較遠(yuǎn)的點無法計算出數(shù)值解,所以,非線性共軛梯度法明顯優(yōu)于擬牛頓法。
在實際科學(xué)計算中,往往遇到的更多的是大規(guī)模計算問題,而此時的非線性共軛梯度法比擬牛頓法的效率更高一些,當(dāng)然,在小規(guī)模的計算問題中,也可以采用擬牛頓法,因為它具有二階收斂速度,收斂性更好。在以后的學(xué)習(xí)和工作中,我們也應(yīng)不斷地觀察發(fā)現(xiàn)新問題,以不斷探索新的知識。