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(太湖高級中學(xué),江蘇 無錫 214125)

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具，是一門邏輯性較強的自然科學(xué).由于高中數(shù)學(xué)知識概念抽象、思維要求高、習(xí)題類型多、解題技巧靈活多變、計算復(fù)雜等原因，導(dǎo)致部分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情不高.為了改變這種狀況，尋找可突破的途徑，筆者做了大膽的嘗試，在課堂教學(xué)中穿插故事情節(jié)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣[1].在觀看電影時，生動的故事情節(jié)往往能使我們產(chǎn)生強烈的好奇心，讓我們?nèi)褙炞?，?dāng)我們回憶的時候，很多情節(jié)都能記憶猶新.如果教師的課堂教學(xué)也有此屬性，那么學(xué)生定能對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿興趣.現(xiàn)以“極大值與極小值”為例撰寫成文，與同行交流.

1 故事情節(jié)構(gòu)思

1)故事的設(shè)想是：在教師的帶領(lǐng)下，全體學(xué)生向新知領(lǐng)域前進，在探索的過程中定會遇到艱難險阻，需細心謹慎，迎難而上，才能突破重重阻礙，到達成功的彼岸.

2)故事的情節(jié)發(fā)展的關(guān)鍵詞：①回首：回首瞭望所走過的路(復(fù)習(xí)舊知)；②撤步：從所熟悉的地方(知識)出發(fā)；③前行：遇見新東西(新知)；④慢步：走慢一些，觀察了解周圍的環(huán)境(感悟新知)；⑤遇水：前行過程中遇到了險阻(困難)；⑥輕舟：為了成功到達彼岸，必須制造渡河工具(求函數(shù)極值的方法)；⑦擊水：有了渡河工具，便可去中流擊水(掌握函數(shù)極值的求法)；⑧逐浪：在擊水過程中，遇到風(fēng)浪當(dāng)迎難而上(掌握“f′(x0)=0”與“f(x0)是函數(shù)的極值”之間的關(guān)系)；⑨破浪：沖破險阻(運用知識解決問題)；⑩弄潮：順利到達成功的彼岸，讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課的收獲.

2 教學(xué)流程簡介

2.1 回首

師：同學(xué)們，上節(jié)課我們利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性問題，請大家回顧一下：用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增區(qū)間的基本步驟是什么？

生1：1)明確函數(shù)的定義域；2)求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)；3)解不等式f′(x)>0；4)由函數(shù)定義域與不等式f′(x)>0解集的交集，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

師：很好！同樣，令導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0，由函數(shù)定義域與不等式f′(x)<0解集的交集，可求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

2.2 撤步

生2：先求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=x2-1，再令f′(x)>0，得x<-1或x>1，因此該函數(shù)的增區(qū)間為(-∞,-1)，(1,+∞)，同理可得該函數(shù)的減區(qū)間為(-1,1).

師：很好！請大家思考，當(dāng)自變量x變化時，函數(shù)值y是怎樣變化的？

(教師通過投影展示學(xué)生所作圖像，如圖1).

生3：當(dāng)x∈(-∞,-1)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x∈(-1,1)時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x∈(1,+∞)時，y隨x的增大而增大.

圖1

師：很好！從函數(shù)單調(diào)性的變化情況來看，自變量x在哪些位置是特殊的？

生4：當(dāng)自變量x=±1時，可能有些特殊.

師：請你說說當(dāng)自變量x=-1時，為什么是特殊的？

生5：函數(shù)f(x)在x=-1的左側(cè)是單調(diào)遞增的，在x=-1的右側(cè)是單調(diào)遞減的，故x=-1是函數(shù)f(x)單調(diào)性的分界點.

師：“分界點”這一詞說得很好.還有其他看法嗎？

生6：它是函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點，在這一點函數(shù)的單調(diào)性出現(xiàn)反轉(zhuǎn)，由遞增變遞減.

師：“轉(zhuǎn)折點”這一詞說得也很好，兩位同學(xué)都是從“形”的角度思考的，能否從“數(shù)”的角度思考呢？

生7：這一點的函數(shù)值比它附近點的函數(shù)值都大.

師：是函數(shù)的最大值嗎？

生8：不是.

師：那是什么呢？這就是我們今天學(xué)習(xí)的新知識——極大值.本節(jié)課我們主要來研究可導(dǎo)函數(shù)的極大值與極小值.

蘇教版《數(shù)學(xué)(選修1-2)》第76頁明確指出：如無特殊說明，本章所涉及的函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù).

2.3 前行

圖2

師：結(jié)合圖2，誰能給出極大值的定義呢？

生9：函數(shù)在點P處從左側(cè)到右側(cè)由“上升”變?yōu)椤跋陆怠保@時在點P附近，點P的位置最高，也就是說f(x1)比它附近點的函數(shù)值都要大，可稱f(x1)為函數(shù)f(x)的一個極大值.

師：誰能給出極小值的定義呢？

生10：函數(shù)在點Q處從左側(cè)到右側(cè)由“下降”變?yōu)椤吧仙?，這時在點Q附近，點Q的位置最低，也就是說f(x2)比它附近點的函數(shù)值都要小，可稱f(x2)為函數(shù)f(x)的一個極小值.

師：函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.

2.4 慢步

圖3

師：如圖3，觀察函數(shù)f(x)的圖像，請你說出圖中的極大值和極小值.

生11：極大值是f(x1)與f(x3)，極小值是f(x2)與f(x4).

師：可見函數(shù)f(x)的極大值(極小值)不一定是唯一的，函數(shù)f(x)的極大值一定大于它的極小值嗎？

生12：不一定，由圖3可知極大值f(x1)小于極小值f(x4).

師：由此可見，一個函數(shù)的極大值與它的極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.這是因為極值是一個局部的概念.

2.5 遇水

師：前面我們研究了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值的正負之間的關(guān)系，現(xiàn)在請大家思考函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)值之間又有什么關(guān)系呢？

生13：由圖3可知，若f(x1)為函數(shù)f(x)的一個極大值，則f′(x1)=0;若f(x2)為函數(shù)f(x)的一個極小值，則f′(x2)=0.

師：為什么呢？

生14：因為x1的左側(cè)函數(shù)遞增，導(dǎo)數(shù)值為正，右側(cè)遞減，導(dǎo)數(shù)值為負，導(dǎo)數(shù)值由正到負，故f′(x1)=0.

師：很好！還有其他的解釋嗎？

生15：因為在x=x1處切線平行于x軸，其斜率為0，故f′(x1)=0.

師：很好！同樣，在x2的左側(cè)函數(shù)遞減，導(dǎo)數(shù)值為負，右側(cè)遞增，導(dǎo)數(shù)值為正，導(dǎo)數(shù)值由負到正，故f′(x2)=0.你能用自己的語言總結(jié)一下函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)值之間的關(guān)系嗎？

生16：如果f′(x0)=0，且在x0的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值為左正右負時，那么f(x0)是函數(shù)的極大值；如果f′(x0)=0，且在x0的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值為左負右正時，那么f(x0)是函數(shù)的極小值.

師：很好，可簡記為口訣：左正右負，函數(shù)取得極大值；左負右正，函數(shù)取得極小值.

2.6 輕舟

師：如何求函數(shù)y=f(x)(其中x∈(a,b))的極值？

生17：1)先求方程f′(x)=0的根x0∈(a,b)；2)再利用口訣求極值.

2.7 擊水

例1求函數(shù)f(x)=x2-x-2的極值.

師：請大家思考例1.

2.8 逐浪

師：由以上可知，若f(x0)是函數(shù)f(x)的極值，則必須滿足兩個條件：1)f′(x0)=0；2)在x0的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值是異號的.問：若f′(x0)=0，則f(x)在x0處一定取得極值嗎？

生20：不一定！如函數(shù)f(x)=x3，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3x2，在x=0處導(dǎo)數(shù)值為0，但其左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值均為正，顯然f(0)不是函數(shù)y=x3的極值.

師：那么“f′(x0)=0”是“f(x0)是函數(shù)f(x)的極值”的什么條件？

生21：必要不充分條件.

師：事實上這樣的函數(shù)太多啦，形如f(x)=ax3(其中a≠0)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3ax2.當(dāng)a>0時，在x=0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值均為正；當(dāng)a<0時，在x=0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值均為負，因此f(0)不是函數(shù)y=ax3的極值.

2.9 破浪

師：請大家思考例3.

例3已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1處有極值為10，求實數(shù)a，b的值.

生22：因為f′(x)=3x2-2ax-b，由題意可得

代入得

從而

a2-a-(3-a)-9=0,

即

a2+a-12=0，

解得a=3或a=-4.因此當(dāng)a=3時，b=-3；當(dāng)a=-4時，b=11.

師：對此結(jié)果大家有何看法？

生23：要檢驗.

師：為什么？

生24：由f′(1)=0不一定能得到函數(shù)在x=1處有極值.

師：很好，因此要增加檢驗環(huán)節(jié).當(dāng)a=3，b=-3時，f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2，在x=1的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值同正，因此在x=1處無極值，舍去；當(dāng)a=-4，b=11時，

f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)，

此時在x=1的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值是異號的，符合題意.

綜上可知：a=-4，b=11.

2.10 弄潮

師：通過本課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀愕氖斋@.

生(眾)：一方面掌握了求函數(shù)的極大值與極小值的方法；另一方面，從“回首→撤步→前行→慢步→遇水→輕舟→擊水→逐浪→破浪→弄潮”這些環(huán)節(jié)感受到了一個故事：當(dāng)一個人在未知領(lǐng)域中探索、前進時，肯定會遇到一些困難，面對困難，我們要迎難而上，尋求解決困難的方法，樹立信心，最終定能取得成功.

師：總結(jié)得很好！

3 教學(xué)體會

新學(xué)期開學(xué)后筆者任教高二文科班的數(shù)學(xué)，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)普遍缺乏信心和興趣，導(dǎo)致學(xué)生成績不夠理想，課堂教學(xué)氛圍比較沉悶.為了激發(fā)學(xué)生的興趣，筆者在課堂教學(xué)中實施穿插故事情節(jié)，通過兩個多月的實踐，課堂教學(xué)面貌發(fā)生較大變化，教學(xué)體會如下：

3.1 穿插故事情節(jié)，能使學(xué)生學(xué)習(xí)興趣更高

為了更好地展現(xiàn)故事情節(jié)，可在每張幻燈片的關(guān)鍵詞旁邊適當(dāng)配置一張緊扣主題的圖片，這樣可讓學(xué)生更有畫面感，使學(xué)生在上課時能感受到故事情節(jié)在一幕幕的推進，從而激發(fā)了學(xué)生的好奇心，使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣，上課時學(xué)生的注意力更集中，目光更有神，坐姿更端正，回答問題的聲音更響亮.每當(dāng)顯示出下一張幻燈片的時候，總能吸引學(xué)生的目光，激發(fā)學(xué)生對問題的思考.

3.2 穿插故事情節(jié)，能使教師教學(xué)效果更好

對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，因?qū)W習(xí)成績不夠理想，從而對自己的能力產(chǎn)生消極的認識，學(xué)習(xí)興趣不足，學(xué)習(xí)的情緒和行為變得消極，成績不夠理想,進入一個惡性循環(huán)的怪圈.在課堂教學(xué)中實施穿插故事情節(jié)以后，正是在這個惡性循環(huán)的怪圈中打開了一個缺口，讓學(xué)生體驗到課堂的樂趣，學(xué)習(xí)的熱情逐漸提高，開始愿意與教師互動，或與自己周圍的學(xué)生交流，學(xué)生的課堂參與度顯著提升，形成良好的課堂氛圍[2].由于故事情節(jié)與教學(xué)內(nèi)容的交織，使教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)清楚,層次分明.關(guān)鍵詞對每一部分知識具有點題的作用，使學(xué)生更容易理解每一部分知識，且便于記憶.通過長期練習(xí)，學(xué)生已經(jīng)知道關(guān)鍵詞可以連成一個故事，只要記住故事情節(jié)就可以記住課堂所學(xué)內(nèi)容，因此當(dāng)學(xué)生回顧課堂所學(xué)內(nèi)容時，學(xué)生已能像講個故事一樣，將本課堂的知識娓娓道來，課堂教學(xué)效果得到顯著提高.

3.3 穿插故事情節(jié)，能使數(shù)學(xué)課堂意境更深

為了讓學(xué)生更能投入課堂，故事情節(jié)的設(shè)置應(yīng)有所選擇[3].人的內(nèi)心都對真理充滿渴望，對真理的尋找是不會停止的.若能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂接受新知的同時，從所穿插的故事中領(lǐng)悟一番人生道理，數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能就能得到充分體現(xiàn).本課設(shè)計的故事包含學(xué)生探索、求知的心路歷程，為了讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)課堂的意境美，可以考慮在每張幻燈片的標(biāo)題欄寫一個具有詩意的關(guān)鍵詞，或者寫一句詩詞，用來給數(shù)學(xué)課堂增添詩情畫意，意義深遠.關(guān)鍵詞“輕舟”出自李白的《早發(fā)白帝城》，“擊水”出自毛澤東的《沁園春·長沙》，“破浪”出自李白的《行路難·其一》等.數(shù)學(xué)源于自然，有自然的美，本身也是詩，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中可以通過“詩化”，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿詩情畫意.