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(湖州中學,浙江 湖州 313000)

教學質量是學校教育的生命線.好的教學質量需要優(yōu)質的生源，同時離不開優(yōu)秀的教師，教師專業(yè)的發(fā)展不僅關系到教師個人的成長，也關系到學校未來的發(fā)展.現(xiàn)階段，全國各地的相關部門或機構針對教師的培養(yǎng)采取了各種各樣的有效措施.就高中數(shù)學教師而言，筆者認為“研題”是專業(yè)發(fā)展的一件行之有效的法寶.

1 研題的定義

研題，就字面而言，即“研究題目”，它是在正確解題的基礎上，對題目進行反思，挖掘出題目的內涵與潛在的價值，因此研題包含“解題”和“反思”兩個環(huán)節(jié).

解題，目錄學中常用的一個術語，中文釋義：求解問題[1].本文中的“解題”特指“做題”，即對所提問題作出解答.解題在數(shù)學學習過程中的重要性不言而喻，中國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說過：“學數(shù)學不做題目，等于入寶山而空返.”學習數(shù)學離不開“解題”.

反思，意為自我反省，即思考過去的事情，從中總結經(jīng)驗或教訓，字數(shù)可以不多，但一定要深刻.中國古代教育家孔子說：“學而不思則罔.”在“解題”后，若缺少了“反思”，就接觸不到題目的真諦.

2 內容與方法

研題的內容沒有固定的范圍，它可以是單一的數(shù)學題目，如：某個高考真題，或某次聯(lián)考的一個考題，或是日常課堂教學中的一個例題等；它也可以是一類數(shù)學問題串，如：與某個知識點相關的題型歸類，或幾個相似問題的統(tǒng)一解法總結，或不同條件下問題的不同處理方法等.

當然，研題的方法也沒有既定格式，可以是研究一個點，以題目結構為角度，研究題目的已知條件、文字組織、設問方式等；也可以是研究一個面，從題目的題意、解法、背景、變化、價值等方面進行全面深入的研究.

筆者以一個試題的研究為例，對研題的內容與方法進行如下說明：

1)an

(2017年9月浙江省麗水、衢州、湖州三地市教學質量檢測試題第22題)

2.1 解題環(huán)節(jié)

解題是數(shù)學學習的一種重要方式，解題環(huán)節(jié)可分成兩個部分：研究題意和研究解法.流暢的解題環(huán)節(jié)需要研題者準確理解題意，并以合理的方法得到正確的答案，而解題能力更是評價一名數(shù)學教師業(yè)務能力的一個重要指標.

2.1.1 研究題意

題意的理解一定要精準地抓住問題本質，閱讀題目時必須找出解題的關鍵要素.

3)本題考查內容涉及數(shù)列的函數(shù)本質、數(shù)列不等式的放縮、數(shù)學歸納法、等比數(shù)列求和等知識，難點在于拆項和放縮的技巧，對學生分析問題和解決問題的能力有較高的要求.

準確理解題意是獲得正確解答和多樣解法的前提，離開了題意的理解，題目的解法就會顯得生硬且難以接受.

2.1.2 研究解法

根據(jù)題意，可作如下分析：

思路1直接構造函數(shù)f(x)=ex-1-x，其中x∈(0,1).

思路2兩邊取以自然對數(shù)底數(shù)e為底的對數(shù)，構造函數(shù)f(x)=lnx-x+1，其中x∈(0,1).

說明兩種思路實質均考慮到了“切線放縮”，即y=ex在點(0,1)處的切線為y=x+1，從而當x∈(0,1)時，ex>x+1；y=lnx在點(1,0)處的切線為y=x-1，從而當x∈(0,1)時，lnx

(1)

思路1這是“n項之和”與“一項”的大小比較，可以將ln(n+1)對應地拆成n項，如：

ln(n+1)= [ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+

…+[ln 2-ln 1]，

思路2式(1)是關于正整數(shù)n的不等式，因此可考慮用數(shù)學歸納法處理.

說明思路2與思路1考慮問題的角度不同，但要解決的核心問題一樣，均離不開不等式ln(x+1)

3)思路1由第1)小題知

(ea1-1)t+(ea2-1)t+…+(ean-1)t=

故

方法的多樣性不能停留在簡單的變形，而應體現(xiàn)研題者對題意理解的到位和思維的活躍，不同的方法之間應有較為明顯的不同思考角度，如：將第1)小題思路1中“構造函數(shù)f(x)=ex-1-x，其中x∈(0,1)”改為“構造函數(shù)f(x)=ex-ex，其中x∈(0,1)”，像這樣的改變，因為其僅僅停留在不等式的簡單變形，所以不屬于我們所定義的不同方法.

2.2 反思環(huán)節(jié)

反思是數(shù)學學習過程中對已學知識的一種復習方式，也是一種自我提升的有效途徑.研題中的反思環(huán)節(jié)是研題者對題目進行全面認識的過程，它需要教師具有深厚的知識儲備和專業(yè)修為，這是研題的關鍵一環(huán)，直接決定研題的精彩與黯淡、成功與失敗.

2.2.1 反思背景

2)思路3如圖1，S小矩形之和>S陰影，即

ln(n+1),

圖1 圖2

3)思路2如圖2，S小矩形之和

說明從思路2可以看出題目條件t≥3是多余的(思路1中此條件卻必不可少).

背景的挖掘，便于研題者了解出題人設計思路的起點與命題的初衷，從而找出最優(yōu)解法.

2.2.2 反思變化

了解了出題人的設計起點與命題初衷后，就可以在原題的基礎上對題設條件或設問方式進行適當?shù)淖冃?，進一步挖掘題目的內涵與價值.

變化1精簡條件，美化題目.

從第3)小題思路2的解答過程看，不難發(fā)現(xiàn)條件t≥3是多余的，因此可以將該條件去掉，重新解答此題，得到：

②當t=2時，

不等式成立.

③當t≥3時，同思路1.

變化2拓展思考，完備結論.

例1第2)小題僅展現(xiàn)了不等式的一邊，適當挖掘可得到不等式的另一邊.

圖3

思路2數(shù)學歸納法.

思路3構造定積分，如圖3,S小矩形之和

1+lnn,

當且僅當n=1時，等號成立，從而

變化3適當放縮，加強命題.

由條件知an∈(0,1)且n≤t，從而

分析由第3)小題的證明過程可知

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*，

說明1)變式2為例1第3)小題的一個加強命題，證明過程因借助了第3)小題而使其看似簡單，實際難度更大.

2.2.3 反思價值

題目價值的反思是研題者對之前研究成果的宏觀總結，也是研題者在課堂講題前的一種微觀思考,即為什么要講解此題.

從題目的結構看，該題題意清晰，題型完整.數(shù)列和的不等式問題主要包括“控制”和“有界”兩種類型，第2)小題為控制型，第3)小題為有界型.

從解題方法看，該題融入了現(xiàn)階段較為熱門的切線放縮、裂項等處理方法，整個過程涵蓋轉化與化歸、函數(shù)、數(shù)形結合等多種數(shù)學思想，拓展開來有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.

從教學角度看，該題作為上課的例題進行教學，有利于學生弄清楚數(shù)列和不等式中“控制”和“有界”兩個最常見的概念，命題的變形與加強有利于開拓學生的視野，體現(xiàn)了很好地教學功能.

從考查角度看，該題解法眾多，蘊含思想豐富，充分體現(xiàn)了對學生邏輯推理、數(shù)學分析、數(shù)學建模、直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)的考查.

一切的反思都是為了在課堂中的精彩呈現(xiàn)，反思至關重要，它是研題者挖掘題目內涵、提煉題目價值的必要環(huán)節(jié)，也是研題者思考題目本源、找出最優(yōu)解法、在課堂中講解好題目的前提條件和核心步驟.

3 研題的意義

研題一定要有收獲，沒有收獲的研題是無用的.在上述研題例子中，我們不僅得到了多解、變形和命題的加強等淺層次的收獲，更重要的是教師得到了專業(yè)發(fā)展這一深層次的成果.

3.1 能編好題

根據(jù)上述的研題例子，筆者創(chuàng)編了如下的一道題目：

(2)

即

從而

……

于是

當且僅當n=1時,等號成立，故式(2)成立，進而

2)(見下文“3.2能上好課”部分.)

設計說明對照原題，本題改編之處主要體現(xiàn)在3個方面：

1)將原題中t≥3這一條件舍去，簡化了條件;

雖然每一次的改動看似變化都不大，但實際上對整個解題的思想方法產生了深刻的影響，其中涵蓋了放縮、二項式定理、數(shù)學歸納法等重要的數(shù)學研究手段和知識(這也是證明第2)小題的難點)，很好地考查了學生思維的發(fā)散性.

3.2 能上好課

借助研題，對題目有了深刻的了解，研題者就能夠順利地將講題過程自然融入課堂.

以下是筆者經(jīng)過“研題”后，實踐的一堂試卷講評課的片段：

師：從前面的解答過程可以看出，第3)小題的解答十分依賴于第2)小題的結論.而事實上，因為an∈(0,1)且n≤t，所以

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*.

(3)

對這個式子的證明，同學們有什么看法？

生2：這是正整數(shù)問題，可考慮用數(shù)學歸納法.

師：很好，那我們請生2上臺來板演一下解題過程.

生2上臺板書如下：

當n=1時，左邊=11<(1+1)1=右邊，式(3)成立；

假設當n=k，其中k∈N*時，式(3)成立，即

1k+2k+3k+…+kk<(k+1)k，

則當n=k+1時，

左邊= 1k+1+2k+1+3k+1+…+kk+1+(k+1)k+1≤

k(1k+2k+3k+…+kk)+(k+1)k+1<

k(k+1)k+(k+1)k+1=

(2k+1)(k+1)k,

……

(下面生2寫不下去了，問題出在不會比較(2k+1)(k+1)k與(k+2)k+1的大小.)

師：根據(jù)數(shù)學歸納法的結構，生2遇到的主要困難是證明：當k∈N*時，(2k+1)(k+1)k<(k+2)k+1.有沒有同學能幫上忙？

(一下子，全班安靜下來，陷入沉思……)

生3：老師，好像可以用二項式定理證明.

師(露出笑容)：那請你上黑板前來書寫一下.

生3板書如下：

當k∈N*時，

(k+2)k+1= [(k+1)+1]k+1>

2(k+1)k+1=(2k+2)(k+1)k>

(2k+1)(k+1)k.

(臺下頓時響起了掌聲，并不時發(fā)出贊嘆聲：妙！)

筆者向生3豎了下大拇指，并將生2的答題過程進行了如下補充：

(2k+1)(k+1)k<(k+2)k+1=右邊，

故式(3)成立.

綜合1)，2)可得：對n∈N*，式(3)成立，即

1n+2n+3n+…+nn<(n+1)n，其中n∈N*.

數(shù)列不等式問題常作為數(shù)學試卷的壓軸題，有一定難度.在上述教學片斷中，筆者用放縮的手段(數(shù)據(jù)分析)引導學生重新建立新的不等關系(數(shù)學建模)，在給學生牽線搭橋(邏輯推理)的過程中，讓學生來發(fā)現(xiàn)證明式(3)的方法，不僅得到了例1第3)小題的思路2，而且加強了原命題，更重要的是在課堂中有效推動了學生的六大數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

3.3 獲得成長

研題的過程，就內容來看，從解題環(huán)節(jié)到反思環(huán)節(jié)，題目的內涵與外延都得到了深入的挖掘與拓展，實現(xiàn)了將題目的解答從一般的解題技能上升到一定的理論高度.就研題者而言，無疑是自身數(shù)學教育的理論功底、數(shù)學知識的掌握程度、數(shù)學方法的理解能力及數(shù)學教學的理念的一次展現(xiàn)[2]，研題者在對題目題意、解法、背景、變化、價值等的研究過程中，實現(xiàn)了對題目的了解從感性認識到理性認識的升華，其解題水平、編題水平、講題水平都取得了一定程度的提高，有效促進了自身專業(yè)素養(yǎng)的發(fā)展，使自己更好地服務于課堂教學.

4 結束語

“解題”作為數(shù)學學習的一種方式，它就題論題、浮于表面，動作相對機械，不能代替“研題”去揭示題目的本真.而“研題”是一種有感而發(fā)、深度探究的行為，不能一蹴而就，需要深思熟慮，需要潛心研究.

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》首次提出了數(shù)學區(qū)別于其他學科的六大核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析[3].一線教師在日常的教學工作中，務必在課前對例題進行適當?shù)难芯?，挖掘出題目的內涵與外延，從而在課堂中實現(xiàn)例題教學價值的最大化，最終有效提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的水平！