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(侯集高級中學(xué),江蘇 徐州 221121)

2018年3月江蘇省徐州、淮安、宿遷、南通、揚(yáng)州、泰州六市高三學(xué)生進(jìn)行了聯(lián)考.筆者所在學(xué)校(江蘇省首批四星級高中)高三共有學(xué)生905人，其中第14題(填空壓軸題)僅有4人做對.經(jīng)調(diào)查，90%的學(xué)生看完題目略作嘗試就放棄了，可見此題難度較大.該題主要考查函數(shù)的最值問題，在知識的交會處命題，構(gòu)思新穎、設(shè)計(jì)簡潔.筆者給出5種解法，以饗讀者.

1 試題回放

2 不同視角下的解法

恒成立，且能取得等號，于是

225x4-72(a+1)x2+16(a-1)2≥0

恒成立，且能取得等號，其判別式

Δ=722(a+1)2-4×225×16(a-1)2=0，

即

3(a+1)=±5(a-1)，

說明將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過一步步變形，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題，利用判別式進(jìn)行處理，思維量不大，計(jì)算量不小，算出來需要勇氣.

解法2(柯西不等式法)

從而

解法3(導(dǎo)數(shù)法)

依題意得

說明通過導(dǎo)數(shù)研究最值是最保底的方法，在沒有使用導(dǎo)數(shù)之前都不能說已經(jīng)盡力了.事實(shí)上這道題算到最后發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)其實(shí)并不難算，學(xué)生最缺乏的是勇氣！

圖1

另一方面,

解法5(軌跡視角)由于f(x)為奇函數(shù)，現(xiàn)僅考慮當(dāng)x>0，a>1時(shí)的情形：

再令

則

m2+1=an2+a，

即

圖2

此時(shí)Δ=0，即

化簡得

4a2-17a+4=0，

說明將本題的分式函數(shù)中的變量相對集中到分母上，再通過換元轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用規(guī)劃知識求解，不失為一種常規(guī)手段，體現(xiàn)了通性通法.

3 解后反思

此題立足函數(shù)和不等式的基本概念和性質(zhì)，涵蓋知識面廣，難度較大.筆者從不同視角思考，產(chǎn)生了判別式法、不等式法、導(dǎo)數(shù)法、幾何法、解析法等方法，涉及了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸及分類討論等數(shù)學(xué)思想.

多視角解題可以對某一問題從不同方位、不同側(cè)面、不同層次進(jìn)行全面的探討，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.但一題多解不是終點(diǎn)，教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對多種方法進(jìn)行對比分析、適當(dāng)篩選，從中擇優(yōu)，達(dá)到弄通一題而旁通一批，讓學(xué)生有“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”的探索勇氣，達(dá)到舉一反三、事半功倍的教學(xué)效果.