陳兆林，楊智春,*，王用巖，張新平

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072 2. 航空工業(yè)成都飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所，成都 610091 3. 航空工業(yè)陜西飛機(jī)工業(yè)(集團(tuán))公司設(shè)計(jì)院，漢中 723213

在航空航天等工程領(lǐng)域中，沖擊載荷普遍存在。例如導(dǎo)彈發(fā)射[1]，艦載機(jī)彈射起飛和降落[2]，航天器采用爆炸螺栓進(jìn)行級(jí)間分離[3-4]等，都會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)施加短時(shí)、高幅值的沖擊載荷，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生包含高頻成分在內(nèi)的瞬態(tài)響應(yīng)，造成結(jié)構(gòu)尤其是敏感儀器和電子設(shè)備的故障或損傷，影響航空航天飛行器的正常工作。因此，發(fā)展高效的分析方法以求解結(jié)構(gòu)在高頻沖擊載荷作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，具有明確的工程應(yīng)用背景和意義。

在現(xiàn)有的沖擊響應(yīng)分析方法中，有限元法(Finite Element Method, FEM)最為成熟且應(yīng)用廣泛[5-6]，常見的商業(yè)有限元軟件基本都可以進(jìn)行沖擊響應(yīng)分析。但是對(duì)于高頻沖擊響應(yīng)分析問(wèn)題，F(xiàn)EM卻具有局限性。這是因?yàn)镕EM模型需要滿足一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)至少6個(gè)單元，而在高頻段結(jié)構(gòu)振動(dòng)的波長(zhǎng)很小，F(xiàn)EM模型就需要?jiǎng)澐址浅＜?xì)密的網(wǎng)格，導(dǎo)致模型規(guī)模過(guò)大，計(jì)算成本過(guò)高[7]。

為了進(jìn)行高頻沖擊響應(yīng)分析，Dalton[8-9]將統(tǒng)計(jì)能量(Statistical Energy Analysis, SEA)法和虛擬模態(tài)綜合(Virtual Mode Synthesis and Simulation, VMSS)法相結(jié)合，提出了SEA-VMSS法，并應(yīng)用該方法分析了某裝甲車在沖擊載荷作用下控制艙的高頻響應(yīng)[10]，通過(guò)與試驗(yàn)測(cè)得的加速度沖擊響應(yīng)譜進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的有效性。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)也開展了SEA-VMSS法的相關(guān)研究工作。楊博[2]采用SEA-VMSS法預(yù)測(cè)了艦船在沖擊載荷作用下結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和艙室內(nèi)部的噪聲，發(fā)現(xiàn)沖擊載荷的類型和作用時(shí)間對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)幅值和艙室噪聲都有很大影響。王軍評(píng)等[3]采用SEA-VMSS法對(duì)某航天器的部分艙段在爆炸分離時(shí)的沖擊響應(yīng)進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)上各個(gè)位置的加速度響應(yīng)譜都含有較高的頻率成分，且加速度的幅值隨著與沖擊源距離的增加而減小。彭志剛[4]以某衛(wèi)星平臺(tái)為研究對(duì)象，采用SEA-VMSS法分析了星箭分離時(shí)衛(wèi)星不同部位的沖擊響應(yīng)譜，研究了結(jié)構(gòu)的材料屬性、爆炸分離方式等因素對(duì)沖擊響應(yīng)譜的影響。從上述研究中可以看出，SEA-VMSS法綜合了SEA適用于高頻穩(wěn)態(tài)分析而VMSS適用于瞬態(tài)分析的優(yōu)點(diǎn)，成為高頻沖擊響應(yīng)分析的高效途徑。但是，由于SEA只能獲得一個(gè)子系統(tǒng)的平均響應(yīng)，不能得到響應(yīng)在子系統(tǒng)內(nèi)部的空間變化，導(dǎo)致SEA-VMSS法只能獲得一個(gè)子系統(tǒng)的平均沖擊響應(yīng)，不能分析子系統(tǒng)內(nèi)部某一點(diǎn)的沖擊響應(yīng)。

為了克服SEA-VMSS法的上述缺點(diǎn)，發(fā)展新的高頻沖擊響應(yīng)分析方法是必要的。能量有限元法(Energy Finite Element Method, EFEM)是近年來(lái)發(fā)展的另外一種適用于高頻穩(wěn)態(tài)分析的新方法。EFEM以時(shí)空平均的能量密度為變量，具有模型簡(jiǎn)單、求解迅速的優(yōu)點(diǎn)，而且能夠得到子系統(tǒng)內(nèi)部任一點(diǎn)的響應(yīng)。對(duì)該方法的研究始于20世紀(jì)80年代，Nefske和Sung[11]提出時(shí)間平均能量強(qiáng)度正比于時(shí)間平均能量密度的梯度，并根據(jù)此假設(shè)推導(dǎo)得到類似于熱傳導(dǎo)方程的能量密度控制方程。Wohlever和Bernhard[12-13]從桿的縱向振動(dòng)和梁的橫向振動(dòng)方程出發(fā)，證明了Nefske和Sung[11]的假設(shè)，成功將EFEM應(yīng)用于求解桿、梁模型的高頻振動(dòng)響應(yīng)。Bouthier和Bernhard[14-16]以時(shí)間和空間平均的能量密度為變量，推導(dǎo)得到薄膜、平板結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程并進(jìn)行求解。上述研究中，載荷均為單點(diǎn)簡(jiǎn)諧激勵(lì)，Han等[17-18]計(jì)算了分布載荷作用下梁和板的輸入功率，并發(fā)展了相應(yīng)的EFEM。在考慮熱效應(yīng)的EFEM研究方面，Zhang等[19]建立了受熱梁結(jié)構(gòu)的能量密度控制方程。Wang等[20]將Zhang等[19]的方法推廣到受熱平板模型中，并考慮了非均勻溫度場(chǎng)的影響。經(jīng)過(guò)科研工作者的努力，EFEM在高頻響應(yīng)分析領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。但是，EFEM僅適用于穩(wěn)態(tài)分析，不能進(jìn)行沖擊載荷作用下的高頻瞬態(tài)分析。

為了分析結(jié)構(gòu)在高頻沖擊載荷作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，本文通過(guò)理論推導(dǎo)，將EFEM和VMSS相結(jié)合，提出了EFEM-VMSS法，并通過(guò)算例驗(yàn)證了該方法在高頻沖擊響應(yīng)分析方面的有效性及其相對(duì)于FEM和SEA-VMSS法的優(yōu)點(diǎn)。

1 EFEM-VMSS法的建立

1.1 能量有限元法和頻響函數(shù)

能量有限元法的核心是以能量密度為基本變量，描述系統(tǒng)內(nèi)部的能量分布。下面以一維結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行推導(dǎo)。

處于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的一維結(jié)構(gòu)中，能量由傳播方向相反的2列行波(分別記為左行波和右行波)進(jìn)行傳遞。在左行波中，任取一微元體，存在如圖1所示的能量平衡關(guān)系，該能量平衡關(guān)系的表達(dá)式為[21]

(1)

由于系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，所以一個(gè)周期內(nèi)的平均能量密度為常數(shù)，即?〈e-〉/?t=0，其中符號(hào)〈·〉代表對(duì)變量在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行時(shí)間平均。對(duì)式(1)在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)進(jìn)行時(shí)間平均，得到

(2)

同理，在右行波中也存在類似的能量平衡關(guān)系，如圖2所示。由于右行波和左行波的能量強(qiáng)度方向相反，所以，右行波中的能量平衡關(guān)系為

圖1 左行波能量平衡關(guān)系示意圖Fig.1 Sketch of energy balance relationship in left-traveling wave

圖2 右行波能量平衡關(guān)系示意圖Fig.2 Sketch of energy balance relationship in right-traveling wave

(3)

(4)

式中：η為結(jié)構(gòu)阻尼比；ω為振動(dòng)的圓頻率。

另外，在每一列行波中，能量強(qiáng)度正比于能量密度[11]，即

〈I±〉=cg〈e±〉

(5)

式中：cg為能量傳播的速度，即群速度。

將式(4)和式(5)代入式(2)和式(3)可得

(6)

(7)

將左行波和右行波的能量密度進(jìn)行疊加，可以得到結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的能量密度

〈e〉=〈e+〉+〈e-〉

(8)

由于左行波和右行波的能量強(qiáng)度方向相反，所以結(jié)構(gòu)各點(diǎn)指向x正方向的凈能量強(qiáng)度為

〈I〉=〈I+〉-〈I-〉

(9)

需要說(shuō)明的是，式(8)和式(9)忽略了左行波和右行波之間的干涉作用，如果考慮干涉作用的影響，會(huì)導(dǎo)致能量密度和能量強(qiáng)度的分布出現(xiàn)空間諧波分量，此時(shí)需要對(duì)能量密度和能量強(qiáng)度在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)進(jìn)行空間平均，消除空間諧波分量，式(8)和式(9)才能適用[12-13]。

根據(jù)式(8)和式(9)，用式(7)減式(6)可得

(10)

用式(3)減式(2)，并結(jié)合式(4)和式(10)，可得能量密度控制方程為

(11)

對(duì)式(11)可以采用有限元方法進(jìn)行離散求解。采用伽遼金法，根據(jù)格林第二公式，可得每個(gè)單元內(nèi)的能量有限元方程為

Κeee=Qe

(12)

式中：Κe為單元系數(shù)矩陣；ee為單元節(jié)點(diǎn)能量密度向量；Qe為進(jìn)入單元的能量強(qiáng)度向量。

(13)

(14)

式中：Φ為單元形函數(shù)矩陣。

將各單元的能量有限元方程進(jìn)行組裝，可以得到結(jié)構(gòu)的總體能量有限元方程，然后進(jìn)行求解，得到結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的能量密度。其中，單元向量Qe組裝成的總體向量Q的表達(dá)式為

Q=[0,…,0,P,0,…,0]T

(15)

式中：P為激勵(lì)點(diǎn)處的輸入功率。

輸入功率P的計(jì)算可以采用阻抗法[11,17-20]，即

(16)

式中：Frms為激勵(lì)力的均方根值；Z為輸入阻抗。在高頻分析中，常用無(wú)限大結(jié)構(gòu)的阻抗來(lái)近似有限大結(jié)構(gòu)的阻抗[17-18]，這樣得到的輸入功率并不是每一個(gè)激勵(lì)頻率下精確的輸入功率，而是輸入功率在每一個(gè)頻段內(nèi)的平均值。

在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)下，經(jīng)過(guò)時(shí)間平均和空間平均后，動(dòng)能密度等于勢(shì)能密度[12-13]。因此，通過(guò)能量有限元法獲得結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的能量密度后，可認(rèn)為動(dòng)能密度是能量密度的1/2，所以可根據(jù)式(17)求得結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的速度均方根值

(17)

式中：ρ為密度；S為截面面積。進(jìn)而可以得到各響應(yīng)點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)之間的速度頻響函數(shù)為

Hv=vrms/Frms

(18)

需要說(shuō)明的是，式(18)所得速度頻響函數(shù)Hv并不是精確的頻響函數(shù)，而是頻響函數(shù)在每一個(gè)頻段內(nèi)的平均值。這是因?yàn)槟芰坑邢拊ǖ耐茖?dǎo)過(guò)程中進(jìn)行了時(shí)間平均、空間平均，而且計(jì)算輸入功率時(shí)采用了無(wú)限大結(jié)構(gòu)的阻抗，所以能量有限元法的解并不是精確解，而是具有統(tǒng)計(jì)意義的結(jié)果，這一點(diǎn)與統(tǒng)計(jì)能量法類似。這種解在低頻段會(huì)產(chǎn)生較大誤差，但隨著分析頻率的升高，誤差會(huì)逐漸減小。同時(shí)，進(jìn)行頻段平均等統(tǒng)計(jì)處理，需要保證頻段內(nèi)有足夠多的模態(tài)數(shù)，才能具有足夠的精度。對(duì)于統(tǒng)計(jì)能量法，要求一個(gè)頻段內(nèi)至少有5階模態(tài)，對(duì)于能量有限元法，目前還沒(méi)有確定的判據(jù)，但一般來(lái)說(shuō)模態(tài)數(shù)越多精度越好。另外，在高頻分析中，精確地分析每一個(gè)頻率點(diǎn)處結(jié)構(gòu)的響應(yīng)會(huì)消耗大量的計(jì)算資源，而采用頻段平均等統(tǒng)計(jì)思想，既可以提高計(jì)算效率，又可以在初步設(shè)計(jì)階段較為準(zhǔn)確地預(yù)示結(jié)構(gòu)的高頻響應(yīng)[1]，因此統(tǒng)計(jì)能量法和能量有限元法在高頻振動(dòng)響應(yīng)分析中獲得了廣泛的應(yīng)用。

1.2 虛擬模態(tài)綜合法和瞬態(tài)響應(yīng)分析

虛擬模態(tài)綜合法的基本思想是通過(guò)已知的頻響函數(shù)頻段平均值，獲得虛擬模態(tài)振型系數(shù)，來(lái)構(gòu)造虛擬模態(tài)綜合系統(tǒng)。

在小阻尼假設(shè)下，結(jié)構(gòu)上i點(diǎn)和j點(diǎn)之間在頻率ω處的速度頻響函數(shù)的幅值可以按照模態(tài)疊加的形式表示為

(19)

式中：pm為第m階模態(tài)頻率；ζm=η/2為第m階模態(tài)阻尼比；Ψim和Ψjm分別為第m階模態(tài)振型向量的第i個(gè)和第j個(gè)元素；n為分析頻帶內(nèi)的模態(tài)數(shù)。

在每個(gè)頻段內(nèi)取足夠多的頻率點(diǎn)，通過(guò)梯形積分，可以得到|Hij|在每個(gè)頻段內(nèi)的平均值為

(20)

式中：Δω為頻段的帶寬；s為該頻段內(nèi)頻率點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

式(20)可以寫成矩陣的形式，即

BΨij=Hij

(21)

式中：Hij為速度頻響函數(shù)頻段平均值向量，可由能量有限元法獲得；Ψij為虛擬模態(tài)振型系數(shù)向量，是各階虛擬模態(tài)振型向量中與響應(yīng)點(diǎn)和激勵(lì)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的元素的乘積，即

(22)

由于頻段數(shù)一般遠(yuǎn)小于模態(tài)數(shù)，所以矩陣B并不是方陣，則需要通過(guò)求矩陣B的廣義逆矩陣的方式來(lái)求解式(21)，得到

(23)

需要說(shuō)明的是，Ψij不是結(jié)構(gòu)精確的模態(tài)振型系數(shù)，而是虛擬模態(tài)振型系數(shù)。這是因?yàn)?，在高頻分析中結(jié)構(gòu)模態(tài)密集，要精確計(jì)算結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)參數(shù)變得困難，但可以計(jì)算結(jié)構(gòu)的模態(tài)密度，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)在每個(gè)頻段內(nèi)的模態(tài)數(shù)，然后認(rèn)為所有模態(tài)在每個(gè)頻段內(nèi)是均布的，從而得到各階虛擬模態(tài)固有頻率。Ψij正是這些虛擬模態(tài)的振型系數(shù)。雖然虛擬模態(tài)不是結(jié)構(gòu)真實(shí)的模態(tài)，但能夠確保虛擬模態(tài)綜合系統(tǒng)的頻響函數(shù)與結(jié)構(gòu)精確的頻響函數(shù)相比具有相同的頻段平均值。因?yàn)樘摂M模態(tài)綜合法采用了這種頻段平均的思想，所以只有在模態(tài)密集的高頻段才能保證足夠的精度。

獲得虛擬模態(tài)振型系數(shù)Ψij后，便可以通過(guò)模態(tài)疊加法得到結(jié)構(gòu)上任意一點(diǎn)i在k個(gè)激勵(lì)下的位移時(shí)域響應(yīng)為

(24)

式中：Rmj為第m階模態(tài)力等于Qj(t)時(shí)第m階模態(tài)位移的時(shí)域響應(yīng)。

(25)

式中：Qj(t)為施加在j點(diǎn)的激勵(lì)力的時(shí)間歷程。

Rmj可以通過(guò)Duhamel積分進(jìn)行計(jì)算，即

(26)

式中：h(·)為第m階模態(tài)的位移脈沖響應(yīng)函數(shù)。

通過(guò)類似式(24)～式(26)的方法，還可以得到結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的速度和加速度響應(yīng)。

1.3 EFEM-VMSS法

能量有限元法可以進(jìn)行高頻穩(wěn)態(tài)分析，得到結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的頻段平均值，但無(wú)法進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析。而虛擬模態(tài)綜合法則能根據(jù)頻響函數(shù)的頻段平均值，進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析。因此本文提出將能量有限元法穩(wěn)態(tài)分析的輸出結(jié)果，作為虛擬模態(tài)綜合法的輸入，從而完成高頻沖擊響應(yīng)分析。如圖3所示，為EFEM-VMSS法的分析流程。

圖3 EFEM-VMSS法分析流程Fig.3 Flow chart of EFEM-VMSS

2 算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文建立的EFEM-VSMM法的正確性，并說(shuō)明該方法的優(yōu)點(diǎn)，下面以一個(gè)兩端簡(jiǎn)支梁模型為研究對(duì)象，進(jìn)行沖擊響應(yīng)分析，并與傳統(tǒng)FEM和SEA-VSMM法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。簡(jiǎn)支梁模型如圖4所示，梁長(zhǎng)度l=4 m，密度ρ=2 700 kg/m3， 彈性模量E=71 GPa，結(jié)構(gòu)阻尼比η=0.02，截面面積S=4×10-4m2，截面慣性矩Ib=1.33×10-10m4。圖4中b1、b2和b3為3個(gè)響應(yīng)點(diǎn)，到梁左端的距離分別為3l/8、l/4和l/8，a1和a2為2個(gè)激勵(lì)點(diǎn)，到梁左端的距離分別為l/2和3l/4。

分析頻帶為891～14 130 Hz。工程中常按照倍頻程、1/3倍頻程或恒定帶寬將分析頻帶劃分為若干頻段，本文按照表1將分析頻帶劃分為12個(gè)1/3倍頻程。雖然第1個(gè)頻段內(nèi)的模態(tài)數(shù)最少，為7個(gè)，但所有頻段均滿足統(tǒng)計(jì)能量法中一個(gè)頻段內(nèi)至少5階模態(tài)的要求。

圖4 簡(jiǎn)支梁示意圖Fig.4 Sketch of a pinned-pinned beam

表1 1/3倍頻程的中心頻率和帶寬

Table 1 Center frequencies and bandwidths of one-thirdoctave bands

頻段號(hào)中心頻率/Hz帶寬/Hz11 000891～1 12221 2501 122～1 41331 6001 413～1 77842 0001 778～2 23952 5002 239～2 81863 1502 818～3 54874 0003 548～4 46785 0004 467～5 62396 3005 623～7 079108 0007 079～8 9131110 0008 913～11 2201212 50011 220～14 130

2.1 穩(wěn)態(tài)分析結(jié)果

圖5所示為激勵(lì)頻率f=10 kHz時(shí)梁上各點(diǎn)的橫向振動(dòng)速度均方根值。從圖5中可以看出，SEA只能得到結(jié)構(gòu)平均的速度均方根值，不能反映速度均方根值在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的空間分布。

由于EFEM的推導(dǎo)過(guò)程中采用了局部空間平均，使得EFEM的結(jié)果并不表征某一點(diǎn)的速度均方根值，而是表征該點(diǎn)附近一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)平均的速度均方根值。因此，從圖5中可以看出，EFEM的結(jié)果相當(dāng)于FEM的結(jié)果在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)進(jìn)行了空間平均，消除了其空間諧波分量，但可以表征速度均方根值在空間的總體變化趨勢(shì)。也正是因?yàn)镋FEM只需要計(jì)算速度均方根值的總體變化趨勢(shì)，不需要計(jì)算空間諧波分量，所以EFEM模型所需的單元數(shù)量很少。

圖6和圖7所示為分析頻帶內(nèi)各響應(yīng)點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)a1之間的速度頻響函數(shù)(FRF)。其中圖6為FEM和EFEM的結(jié)果對(duì)比，圖7為SEA和EFEM的結(jié)果對(duì)比。從圖6中可以看到，EFEM所得速度頻響函數(shù)與FEM所得速度頻響函數(shù)在每一個(gè)頻段內(nèi)的平均值吻合良好，對(duì)于不同位置的響應(yīng)點(diǎn)，EFEM的結(jié)果都可以表征FEM的結(jié)果在頻域的總體變化趨勢(shì)。需要說(shuō)明的是，正如1.1節(jié)中所述，EFEM的結(jié)果是時(shí)間、空間和頻域上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，其求解精度隨著頻率增大而提高，因此，如圖6所示，除個(gè)別頻段外，總體上EFEM結(jié)果與FEM結(jié)果頻段平均值之間的誤差也隨頻率增大而減小。從圖7中EFEM的結(jié)果可以看出，隨著響應(yīng)點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)之間的距離逐漸增大，速度頻響函數(shù)逐漸減小，而SEA無(wú)法反映速度頻響函數(shù)在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的空間變化。

圖5 速度均方根值分布Fig.5 Distribution of RMS of velocity

圖6 EFEM和FEM所得的速度頻響函數(shù)Fig.6 Mobility FRF obtained by EFEM and FEM

圖7 EFEM和SEA所得的速度頻響函數(shù)Fig.7 Mobility FRF obtained by EFEM and SEA

2.2 沖擊響應(yīng)分析

本節(jié)利用2.1節(jié)中穩(wěn)態(tài)分析的結(jié)果和虛擬模態(tài)綜合法，進(jìn)行沖擊響應(yīng)分析，在本節(jié)的分析中，僅在激勵(lì)點(diǎn)a1處施加如圖8所示的三角脈沖激勵(lì)。對(duì)于沖擊響應(yīng)分析的結(jié)果，采用加速度沖擊響應(yīng)譜(SRS)進(jìn)行表達(dá)，加速度沖擊響應(yīng)譜的計(jì)算采用的是遞歸數(shù)字濾波法[23]。

圖9和圖10所示為分析頻帶內(nèi)各響應(yīng)點(diǎn)頻段平均的加速度沖擊響應(yīng)譜。其中圖9對(duì)比了FEM和EFEM-VMSS法的結(jié)果，圖10對(duì)比了SEA-VMSS法和EFEM-VMSS法的結(jié)果。從圖9中可以看出，通過(guò)EFEM-VMSS法得到的各響應(yīng)點(diǎn)的加速度沖擊響應(yīng)譜與FEM的結(jié)果吻合良好，從而說(shuō)明了本文建立的EFEM-VMSS法的正確性。需要說(shuō)明的是，由于EFEM-VMSS法是在EFEM所得頻響函數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行沖擊響應(yīng)分析的，所以EFEM所得頻響函數(shù)的精度總體上決定著EFEM-VMSS法所得沖擊響應(yīng)譜的精度，這一點(diǎn)結(jié)合圖6和圖9即可以看出。例如，8 kHz附近，圖6(a)和圖6(b)中EFEM和FEM所得的頻響函數(shù)頻段平均值誤差很小，所以圖9(a)和圖9(b)中2種方法所得沖擊響應(yīng)譜峰值吻合良好。而圖6(c)中EFEM所得的頻響函數(shù)較大，從而導(dǎo)致圖9(c)中EFEM-VMSS法所得的沖擊響應(yīng)譜峰值較大。

圖8 三角脈沖Fig.8 Triangular pulse

圖9 EFEM-VMSS法和FEM所得沖擊響應(yīng)譜Fig.9 SRS obtained by EFEM-VMSS and FEM

圖10 EFEM-VMSS法和SEA-VMSS法 所得沖擊響應(yīng)譜Fig.10 SRS obtained by EFEM-VMSS and SEA-VMSS

從圖10中EFEM-VMSS法的結(jié)果可以看出隨著響應(yīng)點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)之間的距離逐漸增大，加速度沖擊響應(yīng)譜逐漸減小，而SEA-VMSS法無(wú)法反映結(jié)構(gòu)內(nèi)部各響應(yīng)點(diǎn)沖擊響應(yīng)譜的分布。

2.3 激勵(lì)位置的影響

改變激勵(lì)位置，僅在激勵(lì)點(diǎn)a2處施加如圖8所示的三角脈沖激勵(lì)，通過(guò)EFEM-VMSS法進(jìn)行沖擊響應(yīng)分析，并與激勵(lì)位置為點(diǎn)a1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖11所示?？梢钥闯?，隨著激勵(lì)點(diǎn)位置向右平移，即各響應(yīng)點(diǎn)與激勵(lì)點(diǎn)之間的距離均增大，導(dǎo)致各響應(yīng)點(diǎn)的加速度沖擊響應(yīng)譜均減小。這表明EFEM-VMSS法可以分析不同激勵(lì)位置下結(jié)構(gòu)內(nèi)部各點(diǎn)的沖擊響應(yīng)。而SEA-VMSS法受制于SEA理論，不能考慮激勵(lì)點(diǎn)位置在結(jié)構(gòu)內(nèi)部的變化，在一個(gè)子系統(tǒng)內(nèi)部不同位置進(jìn)行激勵(lì)，SEA-VMSS法所得結(jié)果是不變的。

圖11 不同激勵(lì)位置下EFEM-VMSS法所得沖擊響應(yīng)譜Fig.11 SRS obtained by EFEM-VMSS at different exciting positions

3 結(jié) 論

1) 詳細(xì)推導(dǎo)了能量有限元法和虛擬模態(tài)綜合法的基本方程及其求解過(guò)程，通過(guò)將能量有限元法和虛擬模態(tài)綜合法相結(jié)合，提出了結(jié)構(gòu)高頻沖擊響應(yīng)分析的EFEM-VMSS法。通過(guò)算例分析，將EFEM-VMSS法的分析結(jié)果與FEM、SEA-VMSS法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法能夠分析結(jié)構(gòu)在高頻沖擊載荷作用下的瞬態(tài)響應(yīng)。

2) 與FEM相比，EFEM-VMSS法具有模型簡(jiǎn)單、求解速度快的優(yōu)點(diǎn)。與SEA-VMSS法相比，EFEM-VMSS法能夠分析結(jié)構(gòu)內(nèi)部各點(diǎn)的沖擊響應(yīng)，而且能夠考慮沖擊載荷的作用位置。因此，本文提出的EFEM-VMSS法在高頻沖擊響應(yīng)分析方面具有更好的適用性。