朱宗華

(重慶市黔江中學(xué)校,重慶 409000)

斜面上的力學(xué)問(wèn)題尤其是斜面與粗糙水平地面間有無(wú)靜摩擦力,以及靜摩擦力方向的判斷是力學(xué)中最為典型的一類題目.這類題目不僅是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題,同時(shí)也是學(xué)生望而生畏、不好掌握、得分相對(duì)較低的一類題目．筆者在《例談斜面上的力學(xué)問(wèn)題》一文的啟發(fā)下,結(jié)合平時(shí)教學(xué)的思考,認(rèn)為只要選對(duì)研究對(duì)象,理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì),就能快速解答相關(guān)問(wèn)題．

圖1

問(wèn)題的提出:如圖1所示,質(zhì)量為M的斜面體靜止在粗糙水平面上,斜面的傾角為θ,斜面體和小物塊m之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,在物塊恰好沿斜面體勻速下滑的過(guò)程中,斜面與地面之間靜摩擦力的大小和方向?

在判斷斜面與地面之間有無(wú)靜摩擦力及靜摩擦力的方向時(shí),通常有以下3種思路.

思路1:將m、M整體當(dāng)作一個(gè)研究對(duì)象,因?yàn)檫@個(gè)整體在豎直方向上僅受整體的重力和地面對(duì)整體的支持力而處于平衡狀態(tài),所以地面對(duì)整體(斜面體)的支持力大小(M+m)g;整體在水平方向上不受任何外力作用,所以斜面體與水平地面之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì),故斜面體與水平地面之間沒(méi)有靜摩擦力．

思路2:以物塊m為研究對(duì)象,m在自身重力mg、斜面體M對(duì)m的支持力mgcosθ和滑動(dòng)摩擦力μmgcosθ的共同作用下處于平衡狀態(tài)．

由mgsinθ=μmgcosθ，得μ=tanθ.

因?yàn)閙處于平衡狀態(tài),所以斜面M對(duì)m的作用力(即斜面對(duì)m的支持力和靜摩擦力的合力)大小與m所受重力mg大小相等,方向豎直向上.由牛頓第三定律知:m對(duì)斜面的作用力大小也為mg,方向豎直向下,所以地面對(duì)整體(斜面體)的支持力大小為(m+M)g;m對(duì)斜面的作用力無(wú)水平作用效果,斜面水平方向又無(wú)外力作用,故斜面與水平地面之間沒(méi)有靜摩擦力．

思路3:以斜面體M為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析．

水平方向:因?yàn)閙對(duì)M的壓力mgcosθ的水平分力mgcosθ·sinθ恰好與m對(duì)M的滑動(dòng)摩擦力μmgcosθ=mgsinθ的水平分力mgsinθ·cosθ等大反向,所以斜面體與水平地面之間沒(méi)有靜摩擦力．

由上述求解可知:

在圖1所示前提條件下(m除受重力和與M相互作用外,不受其他外力作用):

如m和M間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ,斜面與水平地面之間沒(méi)有靜摩擦力. 反之也成立:如斜面與水平地面之間沒(méi)有靜摩擦力,則μ=tanθ.

圖2

例1.如圖2所示,斜面小車M靜止在粗糙水平面上,一邊緊貼墻壁．若再在斜面上加一物體m,且小車M、物體m相對(duì)靜止,此時(shí)小車受力個(gè)數(shù)為

(A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6.

解析:由上述講解可知,小車與水平面間無(wú)靜摩擦力,由平衡條件知,墻面對(duì)小車必?zé)o作用力.以小車為研究對(duì)象,它受重力Mg,地面的支持力FN1,物體對(duì)它的壓力FN2和靜摩擦力Ff,選項(xiàng)(B)正確．

圖3

例2.如圖3所示,質(zhì)量為M足夠長(zhǎng)的斜面體始終靜止在水平地面上,有一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊在受到沿斜面向下的力F的作用下,沿斜面勻加速下滑,此過(guò)程中斜面體與地面的摩擦力為0．已知重力加速度為g,則下列說(shuō)法正確的是

(A) 斜面體給小物塊的作用力大小等于mg.

(B) 斜面體對(duì)地面的壓力小于(m+M)g.

(C) 若將力F的方向突然改為豎直向下,小物塊仍做加速運(yùn)動(dòng).

(D) 若將力F撤掉,小物塊將勻速下滑.

解析:因斜面體與地面的摩擦力為0,由以上分析可知:小物塊和斜面體之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ,選項(xiàng)(A)、(D)正確．

圖4

例3.如圖4所示,斜面體A置于水平地面上,滑塊B恰好沿A斜面勻速下滑.在對(duì)B施加一個(gè)豎直平面內(nèi)的外力F后,A仍處于靜止?fàn)顟B(tài),B繼續(xù)沿斜面下滑.則以下說(shuō)法中正確的是

(A) 若外力F豎直向下,則地面對(duì)A有向左的靜摩擦力作用.

(B) 若外力F斜向左下,則地面對(duì)A有向右的靜摩擦力作用.

(C) 若外力F斜向右下,則地面對(duì)A有向右的靜摩擦力作用.

(D) 無(wú)論F沿豎直平面內(nèi)的任何方向,地面對(duì)A均無(wú)靜摩擦力作用.

解析:設(shè)斜面的傾角為θ,因?yàn)榛瑝KB原來(lái)恰好沿斜面勻速下滑,合力為0,由平衡條件得動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ.由思路3可知:當(dāng)加外力F時(shí),無(wú)論F沿豎直平面內(nèi)的任何方向,地面對(duì)A均無(wú)靜摩擦力作用.故(A)、(B)、(C)均錯(cuò)誤,(D)正確.

拓展1:如圖1所示,在m沿靜止斜面M勻加速下滑過(guò)程中,斜面與粗糙地面之間有無(wú)靜摩擦力?如有,方向如何?

解析:以m為研究對(duì)象,沿平行于斜面方向,根據(jù)牛頓第二定律得

mgsinθ-μmgcosθ=ma>0，即

mgsinθ>μmgcosθ.

所以μ

由牛頓第二定律的矢量性可知，由于物體在斜面體上勻加速下滑,所以斜面M對(duì)物體m的作用力(即斜面M對(duì)m的支持力和靜摩擦力的合力)與物體m所受重力的合力平行斜面體向下,可以得出斜面體對(duì)物體的作用力方向偏向豎直方向的左上方．由牛頓第三定律知,物體m對(duì)斜面體M的作用力方向偏向豎直方向的右下方．由于斜面體受到物體m偏向豎直方向的右下方的力的作用,故斜面體有向右運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì),所以斜面受到地面的摩擦力方向向左．

同時(shí)因?yàn)棣?tanθ,m對(duì)M的壓力mgcosθ的水平向右的分力mgcosθ·sinθ大于m對(duì)M的滑動(dòng)摩擦力μmgcosθ的水平向左分力μmgcosθ·cosθ,兩者水平分力的合力水平向右,而斜面體靜止在粗糙水平面上,也能得出斜面受到粗糙地面的靜摩擦力方向水平向左,大小為mgcosθ·sinθ-μmgcosθ·cosθ．

顯然:在圖1所示前提條件下(m除受重力和與M相互作用外,不受其他外力作用):如m和M間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ

反之也成立:如斜面與水平地面之間的靜摩擦力水平向左,則μ

圖5

例4.如圖5所示,斜面體A靜止放置在水平地面上,質(zhì)量為m的物體B在外力F(方向水平向右)的作用下沿斜面向下做勻速運(yùn)動(dòng),此過(guò)程中斜面體始終保持靜止?fàn)顟B(tài),則下列說(shuō)法中正確的是

(A) 若撤去力F,物體B將沿斜面向下做加速運(yùn)動(dòng).

(B) 若撤去力F,A所受地面的摩擦力方向向左.

(C) 若撤去力F,A所受地面的摩擦力可能為零.

(D) 若撤去力F,A所受地面的摩擦力方向可能向右.

解析:施加力F時(shí),對(duì)物體B受力分析,根據(jù)平衡條件:斜面體A對(duì)B的支持力為

FN=Gcosθ+Fsinθ,

平行于斜面方向有

Fcosθ+Ff=Gsinθ,又因?yàn)镕f=μFN，

所以Gsinθ=μGcosθ+F(cosθ+μsinθ)>μGcosθ,

得μ

故若撤去力F,物體B所受合力沿斜面向下,物體將沿斜面向下做加速運(yùn)動(dòng),A所受地面的摩擦力方向向左.選項(xiàng)(A)、(B)正確;

圖6

例5.如圖6所示,質(zhì)量為M的斜面體靜止在粗糙的在水平地面上．一質(zhì)量為m的滑塊沿斜面勻加速下滑,斜面體對(duì)地面的壓力為F1;在滑塊上施加一沿斜面向下的外力F,在物體沿斜面下滑的過(guò)程中,斜面體對(duì)地面的壓力為F2．則

(A)F2>(M+m)g,F2>F1.

(B)F2>(M+m)g,F2=F1.

(C)F2<(M+m)g,F2>F1.

(D)F2<(M+m)g,F2=F1.

新解:因滑塊在未施加外力F前沿斜面勻加速下滑,知M與m之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ

拓展2: 如圖1所示,在m沿靜止斜面M勻減速下滑過(guò)程中斜面與粗糙地面之間有無(wú)靜摩擦力?如有,方向如何?

解析:

以m為研究對(duì)象,沿平行于斜面方向,根據(jù)牛頓第二定律得

μmgcosθ-mgsinθ=ma>0,mgsinθ<μmgcosθ.

所以μ>tanθ.

由牛頓第二定律的矢量性可知:由于物體在斜面體上勻減速下滑,所以斜面M對(duì)物體m的作用力(即斜面M對(duì)m的支持力和靜摩擦力的合力)與物體重力的合力平行斜面體向上,可以得出斜面體對(duì)物體的作用力方向偏向豎直方向的右上方．由牛頓第三定律知,物體m對(duì)斜面體M的作用力方向偏向豎直方向的左下方．由于斜面體受到物體m偏向豎直方向的左下方的力的作用,故斜面體有向左運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì),所以斜面受到地面的摩擦力方向向右．

同時(shí)因?yàn)棣?tanθ,m對(duì)M的壓力mgcosθ的水平向右的分力mgcosθ·sinθ小于m對(duì)M的滑動(dòng)摩擦力μmgcosθ的水平向左分力μmgcosθ·cosθ,兩者水平分力的合力水平向左,也能得出斜面受到地面的靜摩擦力方向水平向右,大小為mgcosθ·sinθ-μmgcosθ·cosθ．

同理可得: 在圖1所示前提條件下(m除受重力和與M相互作用外,不受其他外力作用):如m和M間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ>tanθ,斜面與水平地面之間的靜摩擦力水平向右.

反之也成立:如斜面與水平地面之間的靜摩擦力水平向右,則μ>tanθ.

圖7

例6.如圖7所示,斜面體A靜止放置在水平地面上.質(zhì)量為m的滑塊B在外力F1和F2的共同作用下沿斜面體表面向下運(yùn)動(dòng).當(dāng)F1方向水平向右,F2方向沿斜面體的表面向下時(shí)斜面體受到地面的摩擦力方向向右.則下列說(shuō)法中正確的是

(A) 若同時(shí)撤去F1和F2,在滑塊B仍向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,滑塊B的加速度方向一定沿斜面向上.

(B) 若只撤去F1,在滑塊B仍向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,A所受地面摩擦力的方向可能向左.

(C) 若只撤去F2,在滑塊B仍向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,A所受地面摩擦力的方向一定向右.

(D) 若只撤去F1,在滑塊B仍向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,A所受地面摩擦力不變.

新解:該題的題眼為斜面體受到地面的摩擦力方向向右,說(shuō)明AB之間有滑動(dòng)摩擦力,且動(dòng)摩擦因數(shù)μ>tanθ,B對(duì)A的滑動(dòng)摩擦力的水平分力大于B對(duì)A的壓力的水平分力,只撤去F1,在滑塊B仍向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,A所受地面摩擦力的方向不變,仍然向右．但由于滑動(dòng)摩擦力與彈力的水平分力均減小,合力減小,與之相平衡的靜摩擦力大小減小,選項(xiàng)(A)、(C)正確,(B)、(D)錯(cuò)誤．

雖然解答此類題目的方法較多,但筆者認(rèn)為只有思路3才真正抓住了地面和斜面體之間有無(wú)靜摩擦力的實(shí)質(zhì),無(wú)論m在M上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何,受力情況如何變化,斜面與水平地面之間有無(wú)靜摩擦力均取決于動(dòng)摩擦因數(shù)為μ與tanθ的相對(duì)大小而導(dǎo)致m對(duì)M的壓力的水平分力與m對(duì)M的靜(或滑動(dòng))摩擦力的水平分力的相對(duì)大?。鐑烧呦鄬?duì)大小相等,合力為0,則無(wú)靜摩擦力,反之如兩者合力不為0,則有靜摩擦力．推而廣之,上述3類情型中如因m受力情況發(fā)生變化而引起壓力和滑動(dòng)摩擦力同時(shí)成比例(比例系數(shù)為動(dòng)摩擦因數(shù)μ)變化,但只要?jiǎng)幽Σ烈驍?shù)μ與tanθ的相對(duì)大小一定,兩者水平方向分力的相對(duì)大小不會(huì)變化,地面對(duì)斜面的靜摩擦力的大小可能變化而方向絕不會(huì)變化．如此,相關(guān)題目可快速準(zhǔn)確求解．

圖8

例7.一斜劈A靜止在粗糙的水平面上,在其斜面上放置一滑塊B,若給滑塊B一平行斜面向所下的初速度v0,則B恰好保持勻速下滑,如圖8所示,現(xiàn)在B下滑過(guò)程再加個(gè)一作用力,則以說(shuō)法正確是

(A) 在B上加豎直向的力F1,則B將保持勻速運(yùn)動(dòng),A對(duì)地?zé)o摩擦力作用.

(B) 在B上加一沿斜面向下的力F2,則B將加速運(yùn)動(dòng),A對(duì)地有水平向左的靜摩擦力作用.

(C) 在B上加一水平向右的力F3,則B將減速運(yùn)動(dòng),在B停止前A對(duì)地有向右的靜摩擦力作用.

(D) 無(wú)論在B上加什么方向的力,在B停止前A對(duì)地都無(wú)靜摩擦力作用.

答案:(A)、(D)．

終上可知:在解答斜面與粗糙水平地面間有無(wú)靜摩擦力類問(wèn)題時(shí),如能抓住產(chǎn)生靜摩擦力的實(shí)質(zhì)和影響靜摩擦力大小的原因,就可避免解題時(shí)思維的紊亂和解題過(guò)程中繁鎖的數(shù)學(xué)運(yùn)算,快速準(zhǔn)確地得出結(jié)果,極大的提高解題效率．