孫莉

摘 要：秦九韶（1202—1260）是中國古代數(shù)學(xué)家，所著《數(shù)書九章》是繼《九章算術(shù)》后我國最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典?！稊?shù)書九章》載算題81道，分九章，約27萬字，接觸面很廣，在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了重要影響。秦九韶在代數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)主要表現(xiàn)在線性方程組、數(shù)值解多項(xiàng)式方程以及一次同余式三個(gè)方面。

關(guān)鍵詞：秦九韶；代數(shù)學(xué)；主要貢獻(xiàn)

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）27-0182-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.27.111

一、線性方程組

在《九章算術(shù)》的方程章節(jié)中，有關(guān)于線性方程組解法論述中的計(jì)算程序基本上與今天所講的矩陣初等變換相當(dāng)。即從題給增廣矩陣開始，系數(shù)矩陣經(jīng)過變換之后成為三角矩陣，再進(jìn)行回代，最后將答案得出?！毒耪滤阈g(shù)》之后的《數(shù)書九章》對該傳統(tǒng)予以繼承和發(fā)揚(yáng)，具體而言就是在“推求物價(jià)”和“均貨攤本”的習(xí)題中將《九章算術(shù)》所采用的“遍乘直除”創(chuàng)新為“互乘相消”，之后將系數(shù)矩陣進(jìn)行變換，直至單位矩陣。其題后的草文中，即將我國13世紀(jì)時(shí)的線性方程組的解答全過程予以真實(shí)記錄，而“均貨攤本”題則與以下方程組相當(dāng)：

58w+52x=106000，1670y+15x=106000，264z+800y=106000，200w+40z=106000.

可以說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“高斯消去法”與該解法完全一致，我國在解線性方程組方面所取得的先見遠(yuǎn)早于西方。

二、數(shù)值解多項(xiàng)式方程

公元1261年，楊輝在其所著的《詳解九章算法·纂類》中對北宋數(shù)學(xué)家賈憲所提出的增乘方法做了詳細(xì)記述，綜合前人在開平方、開立方方面所取得的算法成果提出了數(shù)值解正系數(shù)三次方程的新方法，具有極為深遠(yuǎn)的意義和影響。該種方法與之前的算法相比極為簡便，可以避免之前需要記憶新舊方程系數(shù)關(guān)系的繁瑣，能夠按部就班，直接得出結(jié)果。此后，秦九韶又將增乘方法進(jìn)行推廣，將其擴(kuò)展為正負(fù)開方，以便于解答算題中的26個(gè)多項(xiàng)式方程。具體到正負(fù)開方，即數(shù)值解一般多項(xiàng)式方程：

a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0

在該方面，秦九韶所取得的成果主要表現(xiàn)在以下四點(diǎn)：第一點(diǎn)，除a0≠0，an<0之外，對方程系數(shù)不做正數(shù)的限制；第二點(diǎn)，n不限于3，例如，在《數(shù)書九章》的“遙度圓城”中，n=10；第三點(diǎn)，擴(kuò)（縮）根、估根、減根有完整算法程序，在運(yùn)算中，秦九韶通常先采用擴(kuò)（縮）根，使新方程的根x的整數(shù)部分[x]是個(gè)位數(shù)，然后估計(jì)這個(gè)[x]，再根據(jù)y=x-[x]做減根變換……多次運(yùn)算，直至達(dá)到所需要的精度；第四點(diǎn)，x1經(jīng)過擴(kuò)根之后變換為x1=10x，其方程則設(shè)為：

秦九韶認(rèn)為所求方程的根是：

x≈[x]+

當(dāng)然，中亞細(xì)亞學(xué)者阿爾·卡西（？—1436年）在其著作《算鑰》中也提出了與我國增方法程序步驟大致相同的開任意次方的算法，但在時(shí)間上比賈憲推遲了近四個(gè)世紀(jì)，比秦九韶也將近晚了200年。歐洲關(guān)于數(shù)值解多項(xiàng)式方程的系統(tǒng)研究則始于19世紀(jì)初期，且以霍納（W.G.Horner，1789—1837年）這位英國學(xué)者最負(fù)盛譽(yù)，但他無擴(kuò)（縮）根步驟，在算法程序和數(shù)據(jù)處理方面也比較紊亂。

三、一次同余式（組）

《孫子算經(jīng)》（約400年時(shí)成書）卷下第26題提出了解同余組：x≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7）的問題，《數(shù)書九章》卷1、卷2共9題以及卷3第3題（“治歷演紀(jì)”）都要解一次同余組。在解答這10道題時(shí)，秦九韶基于“大衍數(shù)術(shù)”提出了具體解法并將詳細(xì)計(jì)算過程記錄于題后的草文之中。“大衍總數(shù)術(shù)”，全文855字，共涵蓋了15組數(shù)學(xué)命題，同時(shí)綜合考慮了10道算題，辭簡意賅，其中重要成果可以歸結(jié)為以下三項(xiàng)：

第一點(diǎn)，《孫子算經(jīng)》解題方案僅限于數(shù)值例子，大衍總數(shù)術(shù)則對于一般同余組提出了完整的解題程序。即，對于同余組： x≡ri （modmi） ①

1≤i

先解 MiFI ≡1（modmi）

其中Mi=M/mi，而M=mi，則①的解是： x=MiFI ri（modM）。

此即，著名的中國剩余定理。

第二點(diǎn)，《孫子算經(jīng)》中所設(shè)想的同余組①中的模數(shù)都兩兩互素。在我國古代歷法的實(shí)際計(jì)算中，經(jīng)常出現(xiàn)模數(shù)不兩兩互素的情況，在沒有素?cái)?shù)概念的條件下，大衍總數(shù)術(shù)設(shè)計(jì)了“化不兩兩互素的模為兩兩互素、且與題設(shè)同余組等價(jià)”的計(jì)算程序。用現(xiàn)代語言表述該程序則為，對同余組①，如（mi，mj）=d>1，從關(guān)系式：

{mi，mj}=mi，mj/（mi，mj）

把mi一一變換為μi，使同時(shí)滿足：

μi| mi，（μi，μj）=1，μi={m1，m2，…，mn}，

于是新同余組： x≡ri （modμi） ②與①等價(jià)。

第三點(diǎn)，對同余式

ax ≡ 1（modb） ③

其中（a，b）=1，提出了一般解法，秦九韶將之稱為“大衍求一術(shù)”。倘若a，b的數(shù)值比較小的話，則可以在b的完全剩余類中猜測得出所求數(shù)x的解。然而，a和b在實(shí)際運(yùn)算中卻通常成千上萬，以我國古代歷法計(jì)算為例即是如此，只有將“大衍求一術(shù)”予以引入才能順利解決問題。對該理論進(jìn)行現(xiàn)代闡釋即為：采用歐幾里得算法對a，b兩數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，分別記錄其所得的商和對應(yīng)的余數(shù)如下：

q1，q2，…qn，r1，r2，…，rn=1，rn+1=0

如果n是單數(shù)，我們記，ji=qi ji-1+ji-2并且j0=0，ji=1，那么x=jn就是③的解。

毫無疑問，秦九韶于13世紀(jì)所作出的一次同余論領(lǐng)域的創(chuàng)造發(fā)明具有里程碑式的意義。此外，日本古典數(shù)學(xué)中的和算也向來將中算作為自己的“老師”。例如，晚于秦九韶四個(gè)世紀(jì)之久的日本著作學(xué)者直至關(guān)孝和在其著作《括要算法》中詳細(xì)記載了秦九韶的相關(guān)研究成果。就一次同余理論而言，西歐的歐拉、拉格朗日和高斯等多位代數(shù)學(xué)家經(jīng)過長達(dá)半個(gè)世紀(jì)之久所取得的成就才與秦九韶大體相當(dāng)，且最早是在19世紀(jì)初（1801年）才有關(guān)于同余理論的全面論述。

參考文獻(xiàn)：

[1] 查有梁.秦九韶在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006（3）.

[2] 沈康身.秦九韶對數(shù)學(xué)的杰出貢獻(xiàn)[J].自然雜志，1989（1）