肖 玲，張小寧，王 華

（同濟大學 經(jīng)濟與管理學院，上海 200092）

隨著城市機動車保有量的快速增加，國內許多大城市甚至中小城市停車難的問題日益突出，嚴重影響居民的出行，阻礙了城市的發(fā)展。如何解決這一問題顯得極為迫切。為緩解停車問題，各大城市紛紛推出治理策略。上海、南京、杭州等城市在城市外圍區(qū)域修建換乘停車場，試圖將部分出行向公共交通導流。與此同時，以廣州、蘇州為首的城市，也開始探索新的停車管理模式，通過推進停車市場化，放開停車位定價權，提升停車場利用率。這些舉措給停車管理帶來了新的挑戰(zhàn)與機遇。在市場經(jīng)濟的背景下，換乘停車場與原有的中心停車場之間可能會催生合作或競爭的市場行為。

停車場的經(jīng)營策略（定價策略或競爭合作策略），會影響出行者的方式選擇、路徑選擇以及停車設施的選擇行為，更直接決定了停車運營者的利潤[1-3]。李志純等[4]研究了公交最優(yōu)定價模型，分析了壟斷市場、寡頭競爭和社會最優(yōu)3類市場制度對公交票價結構的影響，并對其市場效率進行評價，結論指出市場制度對公交票價方案有顯著影響。范文博等[5]建立了基于用戶均衡條件下的路外停車、路內停車和停車換乘等3類設施的收費定價模型來模擬停車場運營商之間的競爭以及出行者的反饋行為，出行者的選擇包括出行方式的選擇、路徑的選擇以及停車設施的選擇。在此基礎上，范文博等[6]考慮了壟斷市場、寡頭最優(yōu)和社會最優(yōu)3類運營機制背景下，兩類停車設施的定價問題。鄭士源等[7]建立了規(guī)制經(jīng)營和競爭經(jīng)營兩種管理模式下的停車費和規(guī)模優(yōu)化模型，對信息不完全情況下公共停車場的費率和規(guī)模進行規(guī)劃。盧曉珊等[8-9]考慮了從生活區(qū)與工作區(qū)的早晚高峰出行鏈，基于瓶頸理論，建立Logit模型，討論了工作區(qū)停車場與換乘停車場并存時，在政府和公司經(jīng)營構成的4種組合經(jīng)營機制下地鐵票價與停車收費策略。上述研究大多以彈性需求或固定需求為假設，并未考慮現(xiàn)實中的需求不確定性問題。

在現(xiàn)實生活中，交通網(wǎng)絡具有不確定性，體現(xiàn)為出行時間、出行需求均具有一定的隨機性。林徐勛等[11]考慮組合出行中的時間不確定性，建立了停車換乘方式下準動態(tài)形成時間可靠性模型。在出行需求的不確定性方面，Chen等[12]以均值方差模型框架和基于模擬的多目標遺傳算法為基礎，對BOT道路在不同運營條件下的容量選擇和定價策略進行了分析。陸化普等[13-14]研究了OD 需求不確定的離散交通網(wǎng)絡設計問題。交通網(wǎng)絡的需求的不確定性特征將會影響交通管理策略。需求不確定時，決策者將面臨一定的風險。因此，為了降低停車場定價對不確定性的敏感程度，需要研究需求特征對定價決策的影響機制。

本文研究了不確定需求時的停車場定價問題?？紤]停車場的競爭或合作經(jīng)營策略，建立了雙層規(guī)劃。針對出行者對出行方式、出行路徑以及停車設施的選擇行為，建立了隨機交通分配模型，并將其轉化為等價變分不等式，作為雙層規(guī)劃的下層規(guī)劃。而上層為停車運營商競爭或合作下的收費水平?jīng)Q策。使用蒙特卡洛仿真來模擬需求的不確定性，并利用對角化算法來求解該模型。

1 模型建立

考慮全程自駕、停車換乘和軌道交通3種交通出行方式。出行者綜合考慮3種出行方式的出行時間成本、地鐵票價、停車費用和用車固定費用等，來選擇相應的出行方式以及停車場。出行者的出行路徑選擇結果形成交通出行均衡。而停車場在出行者路徑選擇的基礎上，從各自利潤最大化的角度，制定定價決策。

顯然，停車定價問題（見圖1）可以被視為一個雙層規(guī)劃問題，在上層，停車運營商根據(jù)出行者對停車價格的反應而做出價格決策；而下層出行者根據(jù)運營商實際給出的停車價格作出相應的出行選擇，上層運營商的策略與下層出行者的策略相互影響。

圖1 停車定價問題框架

將出行網(wǎng)絡表示為G=（N，L），N為所有出行節(jié)點集合，L為連接節(jié)點的弧集。G包含小汽車出行子網(wǎng)絡Ga=（N a，La）和地鐵子網(wǎng)絡Gb=（N b，Lb），以及換乘路段和步行路段。R為出行的起始點集合，r∈R。S為目的地集合，s∈S。網(wǎng)絡中有k個停車場，k∈K。停車場分為位于CBD 的中心停車場k1與位于軌道交通附近的換乘停車場k2兩類，其集合分別用K1、K2表示，k1∈K1，k2∈K2。

出行者從起始點（家）出發(fā)到達目的地（工作地）有全程小汽車、全程地鐵和停車換乘3種出行模式，分別為m∈M=｛a，b，c｝。全程小汽車的出行者在終點處停車，使用中心停車場，而停車換乘出行者將使用換乘停車場。為第m種出行方式出行的路徑集合，為從r出發(fā)前往中心停車場k1的出行路徑集合為從r出發(fā)前往換乘停車場k2的出行路徑集合為場景j中出行OD（r，s）間以方式m出行的路徑p的流量，Qrs為出行OD（r，s）間的需求。為處理不確定性需求，假定出行需求量服從一個給定的分布。采用蒙特卡羅方法模擬，生成需求樣本J。j∈J，j為樣本中的任意一個需求量，Pr j為每個隨機樣本點的概率。

1.1 3種交通方式的廣義出行費用

通常，小汽車出行者在選擇路線或交通方式時會權衡旅行時間，停車位與終點之間的距離，尋找泊位的時間，停車費等各項成本。全程小汽車出行者的廣義出行費用為，表達式為

小汽車出行者在路徑p上的旅行時間T rk，p為路徑p上路段時間的總和，即

小汽車出行路段行駛時間表示為BPR 函數(shù)，即

根據(jù)文獻[15]中的研究，尋找停車泊位時間，可用下式計算：

若出行者使用地鐵出行，則其出行成本可概括為5個部分，從出發(fā)地r到地鐵站以及從地鐵站到終點的步行時間、地鐵等待時間、地鐵旅行時間以及地鐵票價，表達式為

式中：f l為地鐵發(fā)車頻率；γ為一個與乘客到達分布和地鐵車頭時距相關的參數(shù)，通常取γ=0.5。

選擇停車換乘的出行者，從起點駕駛小汽車到達換乘點停車后，在地鐵車站換乘地鐵，到目的地。因此其出行成本為

換乘成本為

1.2 下層多方式交通網(wǎng)絡均衡模型

結合現(xiàn)實情況，出行者對路網(wǎng)中各路段的廣義費用的估計不可能完全正確，因此，采用隨機選擇模型來描述這種方式選擇和路徑選擇的隨機性。令表示出行者在OD 對之間的第p條路徑出行的理解出行成本，則

式中：假設ξ是獨立同分布、均值為0的Gumbel變量；參數(shù)θ反映了乘客對于各個交通方式及各條路徑的出行成本的了解程度。

根據(jù)Gumbel分布的性質，出行選擇概率為

由于每一個需求場景j均滿足出行路徑選擇條件，故針對每一個需求場景j構造與均衡條件（式（11）～（16））等價的變分不等式模型（M1）為：

其中，式（13）為交通需求總量守恒約束，式（14）為路徑流量守恒約束，式（15）、（16）表示路徑流量與路段流量的關系。

建立了多方式交通均衡的變分不等式模型后，可以通過研究變分不等式解的唯一性，來研究交通方式劃分。根據(jù)文獻[17]，顯然，變分不等式模型與交通網(wǎng)絡均衡條件等價，且有唯一解。

1.3 上層停車位定價模型

停車場的利潤函數(shù)為π，其為收入與停車場的建設成本、運營成本之差。由于停車場的容量設為固定值，故其建設運營成本為固定值，其大小對于停車定價的影響為線性。不失一般性，假設停車場建設運營成本為0，則中心停車場與換乘停車場的期望利潤函數(shù)及利潤函數(shù)的標準差分別為：

在競爭經(jīng)營模式下，對于每個停車場所有者而言，其目的在于設置停車價格使得自身利益最大化。每個停車場的定價決策都是基于對對方定價策略的反應，其結果構成Nash均衡。

為了獲得最大利潤，停車場可能會采取合作行為，此時停車場點經(jīng)營者的目的是通過設置停車費使共同利益最大化，則其定價行為滿足模型（M3）：

合作能夠穩(wěn)定的基礎是，雙方在合作時獲得的利潤均大于競爭時各自的利潤。而在某些情況下，合作可能會使得一方利益受損。此時，獲利的一方對利益受損的一方進行利潤補貼，合作才能達成。

2 求解方法

上述競爭與合作情形下的定價模型均為雙層規(guī)劃模型，下層是一個SUE 交通分配模型，而上層是定價模型?？紤]到該問題是一個非凸非線性的問題，難以運用全局優(yōu)化算法求解。因此，采用如下對角化算法求解。

（3）對于每一個運營商k分別求解在已知對方價格策略時的最優(yōu)價格。設置k=1。

①固定其他停車場運營商的決策變量τk-；

②對每個樣本j，運用MSA 算法執(zhí)行隨機網(wǎng)絡配流，獲得均衡流量f n；

③計算E[πk（τk）]，D[πk（τk）]，計算目標函數(shù)hk（τk|τk-）；

⑤令k=k+1，如果k＜K，則返回①，對下一個運營商的最優(yōu)票價進行計算；否則，進入（4）。

（5）收斂性判斷。若收斂準則

則停止，獲得均衡價格。其中∈為迭代精度；否則，n←n+1，轉（3）。

3 算 例

圖2 交通網(wǎng)絡示意圖

接下來用圖2中的路網(wǎng)來驗證模型，該模型包含4個節(jié)點，2個OD 對，6條路徑。實線表示小汽車路網(wǎng)，虛線表示軌道出行與步行路網(wǎng)。其中，地鐵行駛路徑為路徑1 與路徑6，全程小汽車路徑為2-＞4，3-＞4，換乘路徑為2＞5，3-＞5。兩個節(jié)點的總需求量為隨機變量。假定OD 需求服從截尾正態(tài)分布，

其他參數(shù)中，權重系數(shù)為：α1=1.0，α2=0.4，α3=0.1，α4=1.8；β1=1.8，β2=2.0，β3=1.0，β4=1.8，β5=1.8；ρ1=1.0，ρ2=2.0，ρ3=1.0；κ1=0.7，κ2=0.1，κ3=0.9，κ4=0.9；μ=0.3。時間價值轉換系數(shù)η=20。路段長度為：l1=22，l2=2，l3=5，l4=20，l5=20，l6=25；路 段2、3、4容量分別為600、600 和800。兩個停車場容量為:=1 000，=1 000。停車場空閑時的尋找泊位時間為=0.1=0.05。換乘步行時間=0.05；地鐵出行步行時間；地鐵票和燃油費均價設為距離的函數(shù)，即=3+0.15l，τf=0.2l。

首先分析不同的樣本容量對求解結果的影響。以競爭策略為例，采用逆變換法，生成服從截尾正態(tài)分布的10組隨機需求樣本集合，每個樣本包含的隨機需求數(shù)為J。由于蒙特卡羅方法滿足大數(shù)定律，顯然，各需求情景的發(fā)生概率Pr j=1/J。根據(jù)上述基本參數(shù)，對于每一組隨機需求，計算停車場收費，停車場的車位占用量。圖3（a）、（b）所示分別為停車場的最小、最大值占用量以及平均數(shù)隨樣本容量的變化趨勢。由圖3可以看出，當樣本容量J≥100時，停車場P1的占用量的最大值趨近1 015，最小值趨近于465，均值趨近于788，停車場P2的占用量的最大值趨近于490，最小值趨近于178，均值趨近于346。

圖4（a）、（b）分別為停車場的利潤隨樣本容量變化的變化趨勢。由圖4可見，當樣本容量J≥100時，兩個停車場利潤最大、最小值和平均值將會收斂。即在出行需求不確定的情況下，停車場做出最優(yōu)的定價決策，只需要觀測有限天數(shù)的出行需求。

圖3 不同樣本容量的蒙特卡洛仿真結果

圖4 不同樣本容量的蒙特卡洛仿真結果

為了研究需求的波動性對于停車場定價的影響，本文引入變異系數(shù)，υc=σ[Q（rs）]/E[Q（rs）]。變異系數(shù)反映的是需求的波動性。設定樣本容量為1 000，φ=0.5，調整變異系數(shù)分別為0、0.1和0.5。變異系數(shù)為0時表示需求量為常數(shù)的情景。仿真結果如表1所示。顯然，出行需求隨機程度影響停車場定價，進而影響停車場利潤。隨著變異系數(shù)的增加，即隨著需求波動性的增加，此時為了應對需求波動的風險，停車場的收費降低，小汽車出行比率略有降低，而停車換乘出行比率略有增加，兩個停車場的平均利潤降低。

表1 變異系數(shù)變化

以φ=0.5為例，對合作和競爭策略進行比較。可見，當兩個停車場合作時，中心停車場與換乘停車場的定價為18.5元和14.6元，顯然要高于競爭時的定價策略（17.02元～10.00元）。從停車場經(jīng)營者的角度，合作之后，兩個停車場的總利潤增加了1.57%，即265 元，顯然，合作可以創(chuàng)造共同利潤。但是停車場P1的收益增加，而停車場P2的收益減少。此時，合作達成的條件在于停車場P1 需要給予停車場P2 一定的補貼。換一個視角，合作經(jīng)營時的小汽車交通分擔量由34.67%降低至33.42%，而地鐵的交通分擔量由50.07%上升至56.68%，停車換乘的分擔量減少5.3%，換乘出行的功能削弱，更多的出行壓力轉移到了地鐵上。此外，系統(tǒng)的總出行成本為15 498.4元，高于競爭時的總出行成本15 375.3元。從出行成本的角度，政府應該避免停車場的壟斷行為。

為了研究均值方差權重系數(shù)φ的變化，對停車場定價的影響，設計如下算例。設定樣本容量為1 000，變異系數(shù)為0.5，調整權重φ在[0，1]之間變化。當φ=1時，目標函數(shù)表示最大化期望利潤；而當φ=0時，目標函數(shù)表示最小化利潤的標準差。結果如圖5所示。隨著風險偏好的增加，停車定價增加。這一行為的直接結果就是地鐵的出行量增加，而小汽車與停車換乘時的出行量減少，如圖6所示。結果說明，決策者的風險偏好對停車場的定價策略具有顯著影響，定價策略取決于均值-方差之間的權衡。同時，停車場合作時的定價策略均高于停車場競爭時的定價策略。此外，停車場之間是選擇合作還是競爭，取決于停車場運營商的風險態(tài)度。由圖7可以看出，當φ＜0.5時，合作的總利潤高于競爭的總利潤；而當φ≥0.5時，競爭獲得的總利潤更高。以φ=0.4為例，此時競爭的總利潤為16 348.3元，而合作的總利潤為17 113.9元。同時，可以看出，對于停車場P1所有者而言，合作的利潤總是高于競爭的利潤，其決策總是趨向于合作。而對于停車場P2所有者而言，當φ≥0.3時，競爭的利潤總是高于合作的利潤。即決策者的風險偏好會影響停車場的合作競爭決策。當φ＜0.3時，停車場P1與停車場P2決策趨向于合作。而0.3≤φ≤0.5時，停車場P1期望合作，而停車場P2期望競爭。因此，合作達成的條件在于停車場P1需要給予停車場P2 一定的補貼。當φ＞0.5時，兩個停車場趨向于競爭。

圖5 均值方差權重系數(shù)φ變化對停車費用的影響

圖6 均值方差權重系數(shù)φ對利潤的影響

圖7 均值方差權重系數(shù)φ對交通方式分擔比例的影響

4 結 語

本文提出了需求不確定情形下停車場票價優(yōu)化模型，上層為停車場運營商的競爭或合作下的定價模型，下層為出行者對出行方式、出行路徑和停車設施的選擇模型。使用蒙特卡洛仿真來模擬需求的不確定性，并利用對角化算法和相繼平均法對模型進行求解。通過算例發(fā)現(xiàn)：①研究了樣本數(shù)變化對于停車場定價策略的影響。在出行需求不確定的情況下，停車場做出定價決策，只需要觀測有限天數(shù)的出行需求。②研究了變異系數(shù)對停車定價策略的影響。指出出行需求的隨機程度影響停車場定價，進而影響停車場利潤。隨著變異系數(shù)的增加，停車場的收費降低，兩個停車場的利潤降低。③研究了均值方差權重系數(shù)對停車定價策略及合作競爭經(jīng)營策略的影響。隨著風險偏好的增加，停車定價增加，且停車場合作時的定價策略均高于停車場競爭時的定價策略。并指出對停車場運營商而言，合作和競爭策略的利潤大小關系取決于運營商的風險偏好。由于本文的模型中引入了隨機變量，導致其收斂性證明比較困難，故并未在文中給予證明。但是通過大量的試算，發(fā)現(xiàn)該算法是收斂的。