王祥兵

（貴州工程應用技術學院 經(jīng)濟與管理學院，貴州 畢節(jié) 551700）

蒙代爾-弗萊明模型是討論經(jīng)濟開放條件下財政政策和貨幣政策對宏觀經(jīng)濟影響的標準工具，是Fleming[1]和Mundell[2]在封閉經(jīng)濟系統(tǒng)IS-LM模型中，引入了資本流動和國際貿(mào)易等開放經(jīng)濟因素提出的。蒙代爾-弗萊明模型將IS-LM模型所分析的由產(chǎn)品市場、貨幣市場組成的內(nèi)部均衡拓展至由國際市場、產(chǎn)品市場和貨幣市場組成的開放經(jīng)濟系統(tǒng)的一般均衡分析，并為分析開放經(jīng)濟系統(tǒng)的一般均衡提供簡潔的理論框架工具?，F(xiàn)實開放經(jīng)濟系統(tǒng)中各種經(jīng)濟變量總是隨時間變化不斷地進行調(diào)整，如利率、匯率、價格、稅率、總需求、總供給、政府支出、凈出口、投資和消費等變量隨時間而發(fā)生變化。各種經(jīng)濟變量調(diào)整和變動都會對開放經(jīng)濟系統(tǒng)的動態(tài)演化產(chǎn)生深刻影響，導致開放經(jīng)濟系統(tǒng)呈現(xiàn)出不斷地波動、非均衡狀態(tài)和經(jīng)濟失衡。為了熨平經(jīng)濟波動與失衡對經(jīng)濟發(fā)展的負面影響，政府必須依據(jù)宏觀經(jīng)濟發(fā)展態(tài)勢來設計相應的財政政策和貨幣政策，以期有效調(diào)整與控制經(jīng)濟系統(tǒng)演化狀態(tài)，這就為本文研究提供了切入點。

控制理論和方法主要用于解決工程領域問題[3]，近年來，用控制理論和方法研究經(jīng)濟與管理問題也逐漸增多，取得了豐富的成果。Hochschulassistent等[4]對連續(xù)的宏觀經(jīng)濟動態(tài)系統(tǒng)可控性進行研究，研究表明，許多動力系統(tǒng)可以在任意給定的時間路徑通過脈沖控制實現(xiàn)引導目標。Phillip等[5]對基于閉環(huán)最優(yōu)控制的變結(jié)構控制方法進行研究，研究表明，如果系統(tǒng)參數(shù)存在錯誤，則傳統(tǒng)的閉環(huán)優(yōu)化控制解決方案就會變得不穩(wěn)定，而變結(jié)構控制方法卻存在穩(wěn)定解。雷勇[6]弱化了非均衡微觀市場干擾條件，對非均衡蛛網(wǎng)模型的市場價格調(diào)節(jié)與控制策略進行研究。熊焰等[7]構建修正的乘數(shù)-加速數(shù)模型，對模型的穩(wěn)定性、能控性和能觀性進行分析，并利用我國統(tǒng)計數(shù)據(jù)對該經(jīng)濟系統(tǒng)進行仿真分析。焦紅兵等[8]研究了一類以CES生產(chǎn)函數(shù)為反饋的定常經(jīng)濟模型的穩(wěn)定性，并證明非定常經(jīng)濟模型的解析解是全局漸進穩(wěn)定的。孫劍飛等[9]認為，采用比較靜態(tài)分析的總需求-總供給模型，沒有有效考慮動態(tài)經(jīng)濟因素對經(jīng)濟系統(tǒng)的影響。把動態(tài)經(jīng)濟因素引入總需求-總供給模型，建立了總需求-總供給模型的無模型控制，進而得到總需求-總供給模型的無模型控制律。龔德恩[10]利用動態(tài)經(jīng)濟理論構建動態(tài)IS-LM模型系統(tǒng)，對封閉經(jīng)濟系統(tǒng)中的財政政策和貨幣政策的優(yōu)化與設計問題進行了分析。甄子洋等[11]利用信息融合最優(yōu)估計方法針對未來干擾無預見和期望輸出的線性系統(tǒng)最優(yōu)跟蹤問題進行研究，得到該問題的近似最優(yōu)融合控制律，并以一類宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)為例進行仿真研究。Anisimov等[12]對人力資源變量波動條件下基于混合約束的一部門經(jīng)濟增長模型的最優(yōu)控制問題進行分析和仿真研究。

綜合上述分析，現(xiàn)有成果主要是針對封閉經(jīng)濟系統(tǒng)進行研究，而實際經(jīng)濟系統(tǒng)必然受到外部（國際）經(jīng)濟的影響，是動態(tài)開放的系統(tǒng)。因此，必須對現(xiàn)有封閉經(jīng)濟模型進行拓展，將國際市場引入，以更符合經(jīng)濟發(fā)展實際。同時，現(xiàn)有研究中投資函數(shù)僅考慮消費增長作為拉動經(jīng)濟增長的基本因素，沒有考慮消費與凈出口增長同時作為拉動經(jīng)濟增長的情形。基于此，本文同時考慮消費與凈出口增長作為拉動經(jīng)濟增長的因素，探討由國際市場、商品市場以及貨幣市場構成的復雜開放經(jīng)濟系統(tǒng)可控制性問題。由于開放經(jīng)濟蒙代爾-弗萊明模型系統(tǒng)與封閉經(jīng)濟LS-LM模型系統(tǒng)相比，其控制變量、狀態(tài)變量和干擾變量發(fā)生了變化，具有許多與封閉經(jīng)濟LSLM模型系統(tǒng)不同的特性，故開放經(jīng)濟蒙代爾-弗萊明模型系統(tǒng)的政策控制難度加大，其控制策略與政策設計也有很大差異。為此，本文首先構建動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型，再對動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型的能達性、能觀性和能控性進行分析；然后對動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型的純增益反饋控制律進行求解，并對其解析解的政策意涵進行分析和仿真研究。

1 蒙代爾-弗萊明動態(tài)模型建立

通常蒙代爾-弗萊明模型是由供需均衡的國際市場、商品市場和貨幣市場組成的靜態(tài)模型系統(tǒng)，但實際經(jīng)濟系統(tǒng)是動態(tài)演化的，即國際市場、商品市場和貨幣市場均為非均衡的。當國際市場出現(xiàn)非均衡時，實際匯率則會變動以調(diào)節(jié)國際需求；當商品市場出現(xiàn)非均衡時，總供給發(fā)生相應調(diào)整；當貨幣市場出現(xiàn)非均衡時，利率則會變動以調(diào)節(jié)貨幣供求。根據(jù)上述分析，可構造蒙代爾-弗萊明的動態(tài)模型：

（1）商品市場。總需求方程為

式中，Dt、NX t、Gt、Ct、It分別為t期的總需求、凈出口需求、政府支出需求、消費需求和投資需求。

消費函數(shù)為

可支配收入方程為

稅收方程為

式中，τ為邊際稅率。

投資函數(shù)為

式中，k、it分別為投資加速數(shù)和t期的利率。

總供給方程為

式（6）表明，當商品市場供給大于需求（D t＜Y t）時，庫存增加，生產(chǎn)者會減少生產(chǎn)，故下期總供給減少；當商品市場供給小于需求（Dt＞Y t）時，生產(chǎn)者會增加生產(chǎn)，故下期總供給增加。

（2）貨幣市場。貨幣總需求函數(shù)為

式中，分別為自發(fā)性貨幣需求和t期的貨幣需求。

利率調(diào)節(jié)方程為

式（8）表明，當貨幣供給大于貨幣需求（L t＜M t）時，下期利率會下降；反之，當貨幣供給不足（L t＞M t）時，下期將利率會上升。

（3）國際市場。凈出口函數(shù)為

式中：、γ、n均為外生參數(shù)；EP f/P=Et；分別為t期的實際匯率和自發(fā)性凈出口水平。

實際匯率調(diào)節(jié)方程為

式中，F(xiàn)t、BP t分別為凈資本流出和t期國際收支差額。式（10）表明，當國際收支逆差（NX t＜Ft）時，下期實際匯率會下降；反之，當國際收支順差（NX t＞Ft）時，下期實際匯率將會上升。

（4）蒙代爾-弗萊明模型的控制目標和變量。動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)中，政府調(diào)控有3個目標：①希望總產(chǎn)出Y t按照預先給定增長率δ增長，即總產(chǎn)出Y t趨向計劃總供給Y*=Y0（1+δ）t；②希望利率穩(wěn)定在預先給定水平，即利率it趨向預先給定適當?shù)睦蔵*；③實際匯率穩(wěn)定在預先給定水平，即Et趨向預先給定適當?shù)膮R率水平E*，則

根據(jù)純增益反饋控制律的設計要求和動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)的控制目標控制，系統(tǒng)的輸出變量y（t）可以用矢量形式表示，即

凈資本流出Ft、貨幣發(fā)行量Mt、政府支出需求Gt分別為動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)中的匯率政策、貨幣政策和財政政策的代表變量，也是系統(tǒng)的控制輸入變量，其矢量形式u（t）=（Gt，M t，F(xiàn)t）T。

系統(tǒng)的狀態(tài)變量為t期的消費Ct、投資It、總產(chǎn)出Y t、利率it、實際匯率Et，其矢量形式x（t）=（Ct，It，Y t，it，Et）T。

系統(tǒng)的干擾輸入變量為自發(fā)性的消費、投資、貨幣需求、轉(zhuǎn)移支付以及計劃總供給Y*、目標利率i*、目標匯率E*。其矢量形式為

（5）蒙代爾-弗萊明模型的狀態(tài)空間形式。將式（3）、（4）代入式（2），可得

將式（15）、（16）代入式（13），可得

由式（11）、（18）、（16）以及式（12）、（14）構成MF模型的動態(tài)系統(tǒng)：

將式（19）轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間形式：

式（20）中有個方程分別為動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)的裝置方程、輸出誤差方程和外擾模型方程。

式（20）的系數(shù)矩陣分別為：

2 動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型的系統(tǒng)分析

對于實際經(jīng)濟系統(tǒng)而言，決策者總希望通過系統(tǒng)的輸入信號對系統(tǒng)運行狀態(tài)進行完全控制，使系統(tǒng)具有預期的動態(tài)性能。因此，有必要對蒙代爾-弗萊明動態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)的能達性、能控性和能觀性等系統(tǒng)結(jié)構特性進行分析。

2.1 系統(tǒng)能達性和能控性

定理1動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型系統(tǒng)具有能達性與能控性。

證明

設矩陣A、B第1、3列向量以及矩陣B的列向量構成矩陣：

計算矩陣D的行列式，可得：

即動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型系統(tǒng)的能控矩陣Q c的秩為5。因此，動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型系統(tǒng)具有能達性和能控性。

2.2 系統(tǒng)能觀性

定理2動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)具有完全能觀性。

證明設C=[c1c2c3]，其中，c i為矩陣C的行向量，由c1、c2、c3、c1A、c1、A2組成矩陣：

計算矩陣H的行列式可得：

即動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)能觀矩陣Q o的秩為5。因此，動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)具有完全能觀性。

動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)的狀態(tài)x（t）具有能達性、能控性、完全能觀性。根據(jù)現(xiàn)代控制理論，可以任意配置動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型閉環(huán)系統(tǒng)的極點，使系統(tǒng)漸進穩(wěn)定并具有良好的動態(tài)性能。

3 動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)控制律的設計

動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)的外部干擾輸入為w（t），其純增益反饋控制器為u（t），通過配置動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型閉環(huán)系統(tǒng)的極點，使系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，同時達到輸出調(diào)節(jié)，即動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)的輸出趨向于0，即

假設系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律

其中：F x為鎮(zhèn)定矩陣；F w為伺服矩陣。根據(jù)動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)的控制目標，動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型閉環(huán)系統(tǒng)必須漸進穩(wěn)定。因此，設計F x的原則是使A+BF x為漸進穩(wěn)定矩陣，并且系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應過程，即矩陣A+BF x的特征值必須都在復平面的單位圓內(nèi)；設計F w的原則是系統(tǒng)輸出誤差的靜態(tài)值必須為0。根據(jù)系統(tǒng)靜態(tài)誤差的裝置條件[10，13]，可知F w必須滿足

式中，E為5×7階未知矩陣。

3.1 求解Fx

由于動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)的狀態(tài)x（t）具有能達性和完全能控性，可以任意配置動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型的閉環(huán)系統(tǒng)極點，使其閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。根據(jù)設計F x的原則，矩陣A+BF x的特征值必須都在復平面的單位圓內(nèi)。假設任意給定的5個復平面的單位圓內(nèi)極點｛λ1，λ2，λ3，λ4，λ5｝為矩陣A+BF x的特征值。

為使A+BF x漸進穩(wěn)定矩陣并具有良好的動態(tài)響應過程，可取

蒙代爾-弗萊明模型的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為

化簡可得

則

根據(jù)設計鎮(zhèn)定矩陣F x的原則，f13、f24、f35取值分別使

3.2 求解Fw

設F x E-F w=Q，Q為3×7矩陣。由式（21）可得矩陣方程：

對矩陣C、E、D作分塊：

其中：E11、E12、E21、E22為2×4、2×3、3×4、3×3階矩陣；I為單位矩陣，其腳碼是其階數(shù)，零矩陣腳碼也是其階數(shù)。將上述分塊矩陣分別代入CE=D，可得

解式（23）可得：E21=034，E22=-I3。

對矩陣A、B、M、N、Q作分塊：

其 中，A11、A12、A21、A22、B11、B21、N11、N21、Q11、Q12、M22為2×2、2×3、3×2、3×3、2×3、3×3、2×4、3×4、3×4、3×3、3×3階矩陣。將上述分塊矩陣代入AE-EM+BQ=N，可得：

對式（26）第1式求解，可得

將式（28）代入式（26）第2式，可得

將矩陣A、B的分塊矩陣代入式（29），化簡得到Sylvester型方程：

其中，

因此，可得：

其中：

由F x E-F w=Q可知，F(xiàn) w=F x E-Q，將F x、E、Q代 入可得

其中，Π=1+γ+δ/e-f13。

將F x、F w代入u（t）=F x x（t）+F w w（t），可得控制律的解析解：

將式（31）回代到動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)，可得：

根據(jù)前面假設可知，f13、f24、f35取值分別使。因為

的模小于1，所以有：

定理3動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)可通過純增益反饋控制器（式31），使其閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，達到輸出調(diào)節(jié)。

定理3表明，可以通過設計適當控制器，使動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，并使系統(tǒng)具有預期的動態(tài)性能，實現(xiàn)對動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)的控制目標。

對式（31）作變換：

由假設可知：

動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)的反饋控制律u（t）的經(jīng)濟意涵為：式（33）表明，財政政策變量Gt的調(diào)節(jié)機制為：在即期總供給中扣除即期的凈出口需求、投資及消費（Y t-Ct-It-NX t）的基礎上，與即期總供給和計劃總供給之差（Y t-Y*）反向變化，與計劃總供給Y*同向變化。式（34）表明，貨幣政策變量M t的調(diào)節(jié)機制為：在即期貨幣需求的基礎上，與即期利率和計劃利率之差（it-i*）同向變化。式（35）表明，匯率政策變量Ft的調(diào)節(jié)機制為：在即期凈出口需求的基礎上，與即期匯率和計劃匯率之差（Et-E*）同向變化。

4 仿真分析

為驗證所設計的純增益反饋控制律對動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)控制的有效性，利用數(shù)字算例對動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)演化過程控制進行仿真，仿真工具為MATLAB7.11。

4.1 仿真參數(shù)設置與數(shù)據(jù)說明

為充分體現(xiàn)和仿真式（31）所設計的控制律對動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)控制的有效性，對式（19）共涉及22個參變量的設置做如下說明：①參變量所賦的值必須滿足參數(shù)的經(jīng)濟意義和模型要求；②參變量所賦的值必須體現(xiàn)動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)作為刻畫開放經(jīng)濟系統(tǒng)框架工具的一般性，即參數(shù)除了滿足條件①外任意選取也能實現(xiàn)對系統(tǒng)的有效控制；③參變量所賦的值應選取使得動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)產(chǎn)生劇烈波動和失衡狀態(tài)數(shù)值，才能更好地說明式（31）所設計的控制律對動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)控制的有效性以及本文理論分析。因此，參數(shù)設置為：b=0.4，τ=0.18，k=3.7，α=0.2，β=50，h=60，e=0.056，s=0.005，g=0.002，γ=4.17，n=9.8，δ=0.05，λ3=0.6，λ4=0.7，λ5=。其中，的單位為102億元。在上述設置下，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x（t）=（Ct，It，Y t，it，Et）T的初始值為（1，0.7，3，0.02，5）T，其中，消費Ct、投資It、總產(chǎn)出Y t的單位均為102億元，匯率Et的單位為元。系統(tǒng)的干擾輸入變量w（t）的初始值為（1.25，0.7，1，0.6，3，0.005，6）T。而政府調(diào)控目標為：①總產(chǎn)出Y t按照預先給定增長率δ增長，即Y t趨向計劃總供給Y*=3（1+0.05）t；②利率穩(wěn)定在預先給定水平，即利率it趨向給定利率i*=0.005；③實際匯率穩(wěn)定在預先給定水平，即Et趨向給定匯率水平E*=6元。

4.2 仿真結(jié)果分析

在上述參數(shù)設置下，取100個時間單位，對蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)進行仿真，仿真效果如圖1所示。

圖1 無控制條件下蒙代爾-弗萊明模型系統(tǒng)的演化圖

為了熨平經(jīng)濟劇烈波動與失衡對經(jīng)濟發(fā)展的負面影響，政府需根據(jù)經(jīng)濟變量如消費Ct、投資It、總產(chǎn)出Y t、利率it和匯率E t等發(fā)展態(tài)勢來設計相應的財政政策變量Gt、貨幣政策變量Mt和匯率政策變量F t，以期有效調(diào)整與控制經(jīng)濟系統(tǒng)演化狀態(tài)。根據(jù)控制目標和經(jīng)濟變量變化情況，利用式（31）所設計的政策變量控制律對蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)進行控制，加入控制后的仿真曲線如圖2所示。

圖2 加入控制后蒙代爾-弗萊明模型系統(tǒng)的演化圖

Y*=3×（1+0.05）100=394.503 8×102億元

即式（31）所設計的政策變量控制器，可以使系統(tǒng)具有預期的動態(tài)性能，使得動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，實現(xiàn)對系統(tǒng)的控制目標。因此，仿真結(jié)果印證了定理3。上述過程的經(jīng)濟機制在于，通過式（31）所設計的政策變量使利率和匯率均保持在政府合理預期水平內(nèi)。因此，投資和消費均保持相應的平穩(wěn)增長，而不再劇烈波動和振蕩，引致總產(chǎn)出平穩(wěn)增長，從而使整個經(jīng)濟系統(tǒng)不再劇烈波動與失衡。仿真結(jié)果也表明，利用式（31）所設計的政策變量可以使開放經(jīng)濟條件下貨幣市場、產(chǎn)品市場和國際市場的供需水平趨于均衡，有效調(diào)整與控制開放經(jīng)濟系統(tǒng)的演化狀態(tài)。

5 結(jié)語

蒙代爾-弗萊明模型是研究開放經(jīng)濟條件下財政政策和貨幣政策對宏觀經(jīng)濟影響的重要工具。本文利用經(jīng)濟控制論方法建立蒙代爾-弗萊明模型的控制系統(tǒng)，在此基礎上研究蒙代爾-弗萊明模型的動態(tài)結(jié)構特征，以及開放經(jīng)濟系統(tǒng)的控制律設計，得到蒙代爾-弗萊明模型控制系統(tǒng)的純增益反饋控制律的解析解并進行仿真分析。研究表明：動態(tài)蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)具有完全能觀性、能控性和能達性等控制結(jié)構特征；可以任意配置動態(tài)蒙代爾-弗萊明模型閉環(huán)系統(tǒng)的極點，使系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，達到輸出調(diào)節(jié)并具有滿意的動態(tài)性能，仿真結(jié)果進一步驗證了反饋控制律對蒙代爾-弗萊明系統(tǒng)控制的有效性。

本文研究結(jié)果證實，在現(xiàn)代西方經(jīng)濟學標準假設下，開放經(jīng)濟系統(tǒng)——蒙代爾-弗萊明模型具有可控性，即當開放經(jīng)濟系統(tǒng)出現(xiàn)較大波動時，可以采用適當財政政策、貨幣政策和匯率政策熨平經(jīng)濟系統(tǒng)波動，實現(xiàn)經(jīng)濟平穩(wěn)快速發(fā)展。本文也為相關機構及決策者面對開放經(jīng)濟系統(tǒng)波動就宏觀經(jīng)濟政策制定與經(jīng)濟系統(tǒng)分析提供了新的邏輯視角和理論支撐。