吳鑫育 ，李心丹，馬超群

（1.南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，南京 210093；2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；3.湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082）

“波動(dòng)率聚集”是指金融資產(chǎn)價(jià)格的變化往往大的波動(dòng)后緊跟著大的波動(dòng)（高波動(dòng)率的聚集），小的波動(dòng)后緊跟著小的波動(dòng)（低波動(dòng)率的聚集）。波動(dòng)率聚集是金融資產(chǎn)收益率序列中的一個(gè)重要特征，它反映了波動(dòng)率的正相關(guān)性（即后一期的波動(dòng)率與前一期的波動(dòng)率的相關(guān)性為正）。事實(shí)上，波動(dòng)率的相關(guān)性是波動(dòng)率建模和預(yù)測(cè)的前提和依據(jù)，而波動(dòng)率是資產(chǎn)組合配置、風(fēng)險(xiǎn)管理及期權(quán)定價(jià)中的一個(gè)重要變量。因此，準(zhǔn)確描述波動(dòng)率動(dòng)態(tài)特征，考察波動(dòng)率的相關(guān)性結(jié)構(gòu)（波動(dòng)率線性、非線性相關(guān)性及高、低波動(dòng)率的非對(duì)稱(chēng)相關(guān)性等），對(duì)波動(dòng)率聚集性進(jìn)行建模具有重要的意義，有助于加深對(duì)金融市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)的了解，為投資者和風(fēng)險(xiǎn)管理者提供信息和決策參考。

傳統(tǒng)上，學(xué)者們主要采用（G）ARCH模型和隨機(jī)波動(dòng)率（SV）模型來(lái)捕獲波動(dòng)率聚集性[1-3]。然而，這些模型并不能用于測(cè)度和解釋波動(dòng)率聚集性。近年來(lái)，學(xué)者們提出了新的模型對(duì)波動(dòng)率聚集性進(jìn)行了考察。文獻(xiàn)[4-6]中提出基于Agent的模型來(lái)考察波動(dòng)率聚集性；Jiang等[7]基于無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)金融市場(chǎng)的聚集行為進(jìn)行了考察；Tseng等[8]提出一個(gè)量化方法來(lái)測(cè)度波動(dòng)率聚集性；Xue等[9]提出了一個(gè)離散時(shí)間多階段的市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)模型來(lái)考察波動(dòng)率聚集性；Stádník[10]探討了波動(dòng)率聚集的金融學(xué)解釋?zhuān)籏umar[11]考察了波動(dòng)率聚集對(duì)期權(quán)效用無(wú)差別定價(jià)的影響。

綜上所述，已有研究主要考察的是正常市場(chǎng)條件下線性、對(duì)稱(chēng)的波動(dòng)率聚集性，但對(duì)極端市場(chǎng)條件下的波動(dòng)率聚集性及其可能存在的尾部非線性、非對(duì)稱(chēng)以及動(dòng)態(tài)特征的考察還非常少見(jiàn)[12]，但是，文獻(xiàn)[12]中沒(méi)有考慮波動(dòng)率聚集的動(dòng)態(tài)性。鑒于此，本文采用Copula方法來(lái)捕獲和測(cè)度中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)率聚集性。Copula方法是金融市場(chǎng)變量相關(guān)性結(jié)構(gòu)研究中的一種重要方法，它能靈活且有效地捕獲金融市場(chǎng)變量間復(fù)雜的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，如非線性相關(guān)性、極端市場(chǎng)條件下的尾部相關(guān)性、非對(duì)稱(chēng)相關(guān)性以及動(dòng)態(tài)相關(guān)性等。此外，Copula允許對(duì)金融市場(chǎng)變量的邊際分布與相關(guān)性結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行建模，通過(guò)選擇不同的邊際分布和Copula來(lái)構(gòu)造復(fù)雜的非正態(tài)聯(lián)合分布，這使得建模的靈活性增加，有助于充分刻畫(huà)金融市場(chǎng)變量（如波動(dòng)率）的“偏斜”“尖峰厚尾”等非正態(tài)特征。因此，Copula在金融學(xué)文獻(xiàn)中引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[13-14]。

傳統(tǒng)靜態(tài)Copula模型假定相關(guān)性參數(shù)是常數(shù)，不能捕獲變量間的動(dòng)態(tài)相關(guān)性結(jié)構(gòu)。為了克服該問(wèn)題，近年來(lái)，學(xué)者們提出了許多動(dòng)態(tài)Copula模型，例如時(shí)變Copula模型[15-16]、半?yún)?shù)動(dòng)態(tài)Copula模型[17]、隨機(jī)Copula模型[18]以及Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型[19-21]。Manner等[22]對(duì)這些動(dòng)態(tài)時(shí)變Copula模型進(jìn)行了綜述，研究表明，Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型相比其他動(dòng)態(tài)Copula模型具有更為優(yōu)越的數(shù)據(jù)擬合效果，且模型較為簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。

鑒于Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型在理論與實(shí)踐中的優(yōu)越性，以及為了彌補(bǔ)目前國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)率聚集性研究的不足，本文通過(guò)考察極端市場(chǎng)條件下我國(guó)股票市場(chǎng)波動(dòng)率的尾部相關(guān)性結(jié)構(gòu)，選擇合適的Copula函數(shù)，構(gòu)建相應(yīng)的Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型，對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)率聚集性進(jìn)行研究，考察波動(dòng)率聚集可能存在的尾部非對(duì)稱(chēng)、動(dòng)態(tài)特征。

1 Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copu1a模型

1.1 模型構(gòu)建

這部分構(gòu)建Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型來(lái)描述波動(dòng)率聚集性（波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)）。令x t為股票收益率的波動(dòng)率，波動(dòng)率聚集性即由t和t-1時(shí)刻的連續(xù)波動(dòng)率變量x t和x t-1的聯(lián)合分布函數(shù)H（x t，x t-1）刻 畫(huà)。根 據(jù)Sklar定 理，存 在 一 個(gè)CopulaC（·，·）：[0，1]2→[0，1]，使得

式中：u1=F（x t），u2=F（x t-1），分別為x t和x t-1的邊際分布函數(shù)；θ為Copula的參數(shù)向量?？梢?jiàn)，Copula是由均勻分布在區(qū)間[0，1]上的邊際分布u1=F（x t）和u2=F（x t-1）構(gòu)造的一個(gè)聯(lián)合分布函數(shù)，它充分捕獲了連續(xù)波動(dòng)率變量x t與x t-1的相關(guān)性（波動(dòng)率聚集性）。

基于Copula可以方便地測(cè)度兩變量在極端市場(chǎng)情形下的尾部相關(guān)性，即兩變量同時(shí)處于下（左）尾或上（右）尾的概率。連續(xù)波動(dòng)率變量x t和x t-1的下尾和上尾相關(guān)系數(shù)分別為：

式中，λL，λU∈[0，1]。如果λL（λU）∈（0，1]，則x t和x t-1存在下（上）尾相關(guān)性；如果λL（λU）=0，則x t和x t-1不存在下（上）尾相關(guān)性。通過(guò)選擇不同的Copula函數(shù)可以刻畫(huà)不同的尾部相關(guān)性結(jié)構(gòu)。實(shí)際中，常用的Copula函數(shù)及其各Copula函數(shù)的尾部相關(guān)性表達(dá)式如下所示：

可見(jiàn)，Gaussian Copula不能描述尾部相關(guān)性，Student-tCopula能夠描述對(duì)稱(chēng)的尾部相關(guān)性，Gumbel Copula和Survival Clayton Copula能夠描述上尾相關(guān)性，但不能描述下尾相關(guān)性，Survival Gumbel Copula和Clayton Copula能夠描述下尾相關(guān)性，但不能描述上尾相關(guān)性。

考慮到連續(xù)波動(dòng)率變量可能同時(shí)存在下尾和上尾相關(guān)性，且呈現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)特征，因此，引入能同時(shí)捕獲下尾和上尾相關(guān)性的SJC（Symmetrized Joe Clayton）Copula。SJC Copula[15]通 過(guò) 對(duì)“BB7”Copula（也稱(chēng)為Joe-Clayton Copula）[23]進(jìn)行修正后得到。SJC Copula允許非對(duì)稱(chēng)的下尾與上尾相關(guān)性，且包含對(duì)稱(chēng)的尾部相關(guān)性為一個(gè)特例。因此，它是一個(gè)非常靈活的Copula。SJC Copula的表達(dá)式為

當(dāng)λL=λU時(shí)，SJC Copula是對(duì)稱(chēng)的。

另一種能同時(shí)捕獲下尾和上尾相關(guān)性的Copula是混合Copula。構(gòu)建如下兩種混合Copula——Gumbel混 合Copula和Clayton混 合Copula：

式中：θ=（ω，α1，α2）′；CGum、CSG、CClay和CSC分別表示Gumbel Copula、Survival Gumbel Copula、Clayton Copula和Survival Clayton Copula函數(shù)；ω反映了具有下尾相關(guān)性的Copula（Survival Gumbel Copula和Clayton Copula）在混合Copula中的相對(duì)重要程度。對(duì)于Gumbel混合Copula，下尾和上尾相關(guān)性分別為：

對(duì)于Clayton混合Copula，下尾和上尾相關(guān)性分別為：

上述傳統(tǒng)靜態(tài)Copula假設(shè)相關(guān)性參數(shù)不隨時(shí)間變化，不能捕獲連續(xù)波動(dòng)率變量間可能存在的尾部動(dòng)態(tài)相關(guān)性，因此，需要將靜態(tài)Copula模型擴(kuò)展為動(dòng)態(tài)Copula模型。本文采用動(dòng)態(tài)Copula模型中的Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型展開(kāi)研究。在Copula函數(shù)中引入狀態(tài)變量st，假設(shè)st=｛0，1｝服從一個(gè)一階兩狀態(tài)的Markov過(guò)程，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

設(shè)

由此，Copula參數(shù)隨狀態(tài)變量st的變化而變化，可以捕獲波動(dòng)率聚集的尾部動(dòng)態(tài)性。

1.2 模型參數(shù)估計(jì)

本文采用半?yún)?shù)的兩階段估計(jì)法，即IFM（Inference Function for Margins）方法[23]來(lái)估計(jì)Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型。第1階段，對(duì)股票收益率的波動(dòng)率的邊際分布進(jìn)行非參數(shù)估計(jì)；第2階段，將估計(jì)的邊際分布代入Copula函數(shù)中，估計(jì)出Copula參數(shù)。根據(jù)已有研究[23-24]，兩階段法是非常有效的估計(jì)方法，且在計(jì)算上容易處理。此外，半?yún)?shù)估計(jì)可以使邊際分布免于設(shè)定誤差，獲得穩(wěn)健的Copula參數(shù)估計(jì)結(jié)果[25-26]。

為了能夠充分刻畫(huà)股票收益率的波動(dòng)率的“偏斜”“尖峰厚尾”等經(jīng)驗(yàn)特征事實(shí)，本文采用非參數(shù)方法來(lái)估計(jì)邊際分布函數(shù)F（x）。具體地，根據(jù)重標(biāo)度的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)估計(jì)得到邊際分布函數(shù)：

式中，1｛·｝為示性函數(shù)。經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)重標(biāo)度是為了確保Copula對(duì)數(shù)似然函數(shù)的一階條件對(duì)所有有窮的T有定義。根據(jù)Glivenko-Cantelli定理，一致收斂于真實(shí)的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)F（x）。

在Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型中，待估計(jì)的參數(shù)向量給定波動(dòng)率的經(jīng)驗(yàn)累積分布函數(shù)的非參數(shù)估計(jì)，運(yùn)用極大似然方法獲得Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型參數(shù)的估計(jì)為

式中：⊙為Hadamard乘積；初始值設(shè)為無(wú)條件概率（遍歷概率），即

2 實(shí)證研究

本文采用上證綜合（SSE）指數(shù)和深證成份（SZSE）指數(shù)日內(nèi)5 min高頻交易價(jià)格數(shù)據(jù)作為研究樣本。數(shù)據(jù)抽樣的時(shí)間跨度為2010-01-04～2015-12-31，兩指數(shù)均有69 600個(gè)日內(nèi)觀測(cè)值。所有數(shù)據(jù)均來(lái)源于天軟數(shù)據(jù)庫(kù)。

眾所周知，波動(dòng)率不能從金融市場(chǎng)中直接觀測(cè)得到?；诖耍疚牟捎萌諆?nèi)高頻交易數(shù)據(jù)構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率作為隱波動(dòng)率的代理變量。第t交易日已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率定義為

式中：n為日內(nèi)收益率總數(shù)目；rt，i=100（lnPt，ilnP t，i-1）為t交易日的第i個(gè)日內(nèi)（對(duì)數(shù)）收益率。研究表明[27]，在理想的市場(chǎng)條件下（不存在市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲、資產(chǎn)可連續(xù)交易以及資產(chǎn)價(jià)格不存在跳躍），已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RV依概率收斂于積分波動(dòng)率（Integrated Volatility，IV），即

式中，σ2（t）為波動(dòng)率過(guò)程。

式（18）計(jì)算的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RV忽略了重要的隔夜信息，實(shí)際應(yīng)用中往往低估真實(shí)波動(dòng)率。為了克服該問(wèn)題，Hansen等[28]引入“隔夜效應(yīng)”，構(gòu)建了如下修正的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率：

式中，rt，0=100（lnPt-1，n-lnPt，0）為隔夜收益率，

μ0、μ1和μ2分別為（r2t，0+RV t）、r2t，0和RV t的均值。研究表明[28]，修正的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RV*是真實(shí)波動(dòng)率的一個(gè)非常有效的代理指標(biāo)。鑒于此，本文運(yùn)用式（20）來(lái)構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，并以此作為隱波動(dòng)率的代理變量。

圖1為SSE和SZSE指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列。

圖1 SSE和SZSE指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列圖

表1給出兩指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的描述性統(tǒng)計(jì)量。由表1可見(jiàn)，兩指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率均呈現(xiàn)正偏（偏度＞0），且存在尖峰、厚尾特征（峰度＞3），也都拒絕正態(tài)分布的假定（Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量顯著）。

根據(jù)式（11）計(jì)算得到已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的邊際分布，進(jìn)而采用極大似然方法得到各Copula的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，如表2所示。由表2可見(jiàn)，所有Copula的相關(guān)性參數(shù)估計(jì)值均在統(tǒng)計(jì)上顯著，表明滬深股市波動(dòng)率聚集存在線性或非線性相關(guān)性。由Gaussian Copula和Student-tCopula的估計(jì)結(jié)果可見(jiàn)，滬市波動(dòng)率聚集（線性）相關(guān)性約為0.75，深市波動(dòng)率聚集（線性）相關(guān)性約為0.7，滬市相比深市呈現(xiàn)更為明顯的波動(dòng)率聚集性特征。比較Gaussian Copula和Student-tCopula的估計(jì)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)Student-tCopula具有更大的對(duì)數(shù)似然值和更小的AIC值，表明能描述尾部相關(guān)性的Student-tCopula具有更好的擬合效果以及滬深股市波動(dòng)率聚集尾部相關(guān)性的存在。基于AIC信息準(zhǔn)則，能同時(shí)描述下尾和上尾相關(guān)性，且允許非對(duì)稱(chēng)的下尾和上尾相關(guān)性的SJC Copula在所有Copula中具有最好的擬合效果。由SJC Copula的估計(jì)結(jié)果可見(jiàn)，上尾相關(guān)性參數(shù)估計(jì)值相比下尾相關(guān)性參數(shù)估計(jì)值明顯更大，表明高波動(dòng)率的聚集相比低波動(dòng)率的聚集發(fā)生概率要更高，滬深股市波動(dòng)率聚集具有尾部非對(duì)稱(chēng)特征。

表1 描述性統(tǒng)計(jì)量

表2 Copu1a參數(shù)估計(jì)結(jié)果

對(duì)波動(dòng)率聚集非對(duì)稱(chēng)性的一種解釋是信息到達(dá)率[29]，即波動(dòng)率聚集來(lái)源于信息到達(dá)在時(shí)間上的聚集。在金融市場(chǎng)中，極端的與平穩(wěn)的時(shí)期在時(shí)間上是聚集的。在極端的金融市場(chǎng)危機(jī)時(shí)期，股票市場(chǎng)波動(dòng)率較高，信息到達(dá)速度快、頻率高，從而導(dǎo)致更高的高波動(dòng)率聚集的可能性。而在平穩(wěn)時(shí)期，股票市場(chǎng)波動(dòng)率較低，信息到達(dá)速度慢、頻率低，從而導(dǎo)致更低的低波動(dòng)率聚集的可能性。

為了捕獲滬深股市波動(dòng)率聚集可能存在的尾部動(dòng)態(tài)特征，選擇Copula為具有最優(yōu)擬合效果的SJC Copula，構(gòu)建相應(yīng)的Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型進(jìn)行分析。運(yùn)用極大似然參數(shù)估計(jì)方法，得到模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，如表3所示。由表3可見(jiàn)，基于AIC信息準(zhǔn)則，引入機(jī)制轉(zhuǎn)換后，SJC Copula模型的擬合能力有較大提高。在st=0下，滬深股市波動(dòng)率聚集的下尾相關(guān)性分別為0.215 8和0.148 0，上尾相關(guān)性分別為0.760 9和0.634 0；在st=1下，滬深股市波動(dòng)率聚集的下尾相關(guān)性分別為0.496 7和0.653 8，上尾相關(guān)性分別為0.537 5和0.470 0。無(wú)論是st=0或st=1，滬市上尾相關(guān)性均明顯大于下尾相關(guān)性。深市在st=0下，上尾相關(guān)性明顯大于下尾相關(guān)性；但在st=1下，下尾相關(guān)性明顯大于上尾相關(guān)性。采用Hamilton[30]算法，計(jì)算得到滬深股市波動(dòng)率聚集濾過(guò)的下尾和上尾部動(dòng)態(tài)過(guò)程：

如圖2、3所示。由圖2、3可見(jiàn)，滬深股市波動(dòng)率聚集確實(shí)呈現(xiàn)明顯的尾部動(dòng)態(tài)特征。

表3 Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換SJC Copu1a模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖2 SSE指數(shù)波動(dòng)率聚集的下、上尾部動(dòng)態(tài)相關(guān)性

圖3 SZSE指數(shù)波動(dòng)率聚集的下、上尾部動(dòng)態(tài)相關(guān)性

3 結(jié)語(yǔ)

波動(dòng)率聚集性是金融資產(chǎn)收益率序列中的一個(gè)重要特征，也是金融領(lǐng)域關(guān)注的重要問(wèn)題。通過(guò)對(duì)波動(dòng)率聚集性的研究有助于加深對(duì)金融市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)的了解，對(duì)資產(chǎn)組合配置、風(fēng)險(xiǎn)管理及期權(quán)定價(jià)都具有重要意義。本文構(gòu)建了Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換Copula模型來(lái)研究中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)率聚集性（波動(dòng)率相關(guān)性結(jié)構(gòu)）。采用上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)，構(gòu)造已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率作為隱波動(dòng)率的代理變量，對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)進(jìn)行了實(shí)證分析。結(jié)果表明，SJC Copula函數(shù)相比其他Copula函數(shù)能更好地刻畫(huà)中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)率聚集性，波動(dòng)率聚集具有明顯的尾部非對(duì)稱(chēng)特征，高波動(dòng)率的聚集相比低波動(dòng)率的聚集發(fā)生概率要更高。波動(dòng)率聚集非對(duì)稱(chēng)性表明，股票市場(chǎng)中壞時(shí)刻的聚集相比好時(shí)刻的聚集更頻繁，金融市場(chǎng)動(dòng)蕩相比平穩(wěn)具有更高的可能性。另外，基于Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換SJC Copula模型的研究表明，中國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)率聚集還展現(xiàn)出明顯的尾部動(dòng)態(tài)特征。