王 蕾

(太原師范學院 數(shù)學系，山西 晉中 030619)

0 引言

可積系統(tǒng)作為孤立子理論的重要內(nèi)容，在數(shù)學、物理、生物、通信等自然領域也得到了廣泛深入的研究和應用.雖然孤立波的首次觀察已經(jīng)超過一個半世紀，但可積系統(tǒng)的研究僅僅是在反散射方法建立以后才真正引起科學家的重視.

目前在眾多學者的努力下，已經(jīng)得到了很多可積系統(tǒng)，如TD族、TA族、AKNS族、KN族、WKI族、BPT族及TB族等[1]，而且進一步得到了某些可積系統(tǒng)的多可積耦合系統(tǒng)，如可積耦合系統(tǒng)、雙可積耦合及三可積耦合系統(tǒng).

本文將利用半直和李代數(shù)的方法，選取一種不同的塊矩陣來研究AKNS孤子族的雙可積耦合系統(tǒng).

1 AKNS孤子族

考慮如下等譜問題[1]：

(1)

其中λ是譜參數(shù)，p，q是兩個獨立變量.令

(2)

由靜態(tài)零曲率方程

Vx=[U，V],

(3)

得

(4)

故由相容性條件

Utm-Vx[m]+[U，V[m]]=0，m≥0.

(5)

其中

φtm=Vx[m]φ，V[m]=(λmV)+，m≥0.

可導出AKNS族的孤子方程：

(6)

2 AKNS族的雙可積耦合系統(tǒng)

為了建立雙可積耦合系統(tǒng)[2]，需選擇擴大的譜矩陣，常見的有：

其中α，β是給定的任意常數(shù).

文獻[3]用塊矩陣Class1得到AKNS族的雙可積耦合系統(tǒng)，而本文將利用塊矩陣Class2[4]來構(gòu)造其雙可積耦合系統(tǒng).

令擴大的譜矩陣為

(7)

其中

(8)

同上，為了解擴大的零曲率方程

(9)

令

(10)

其中V為式(2)，且

(11)

(12)

則由(9)可得

即

相對應的遞推關(guān)系為方程(4)及

(13)

(14)

其中i≥0.

對任意整數(shù)m≥0,令擴大的Lax矩陣為

(15)

(16)

可化為

及(5)的AKNS系統(tǒng).故可得其補充系統(tǒng)為

(17)

其中

由此得到AKNS族的雙可積耦合系統(tǒng)為

(18)

顯然，當r=s=v=w=0時，該系統(tǒng)為AKNS族(6).

3 小結(jié)

本文主要利用半直和李代數(shù)的方法，選取一種不同的三角塊矩陣來研究AKNS孤子族的雙可積耦合系統(tǒng).在之后的研究中將研究其三可積耦合系統(tǒng)及與它們相對應的Hamiltonian結(jié)構(gòu)，并可運用此方法研究其他孤子族，如KdV族、TB族、TC族、KN族等的多可積耦合系統(tǒng).