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        AKNS族的雙可積耦合的一種計算

        2018-08-17 12:21:50
        關(guān)鍵詞:孤子曲率代數(shù)

        王 蕾

        (太原師范學院 數(shù)學系,山西 晉中 030619)

        0 引言

        可積系統(tǒng)作為孤立子理論的重要內(nèi)容,在數(shù)學、物理、生物、通信等自然領域也得到了廣泛深入的研究和應用.雖然孤立波的首次觀察已經(jīng)超過一個半世紀,但可積系統(tǒng)的研究僅僅是在反散射方法建立以后才真正引起科學家的重視.

        目前在眾多學者的努力下,已經(jīng)得到了很多可積系統(tǒng),如TD族、TA族、AKNS族、KN族、WKI族、BPT族及TB族等[1],而且進一步得到了某些可積系統(tǒng)的多可積耦合系統(tǒng),如可積耦合系統(tǒng)、雙可積耦合及三可積耦合系統(tǒng).

        本文將利用半直和李代數(shù)的方法,選取一種不同的塊矩陣來研究AKNS孤子族的雙可積耦合系統(tǒng).

        1 AKNS孤子族

        考慮如下等譜問題[1]:

        (1)

        其中λ是譜參數(shù),p,q是兩個獨立變量.令

        (2)

        由靜態(tài)零曲率方程

        Vx=[U,V],

        (3)

        (4)

        故由相容性條件

        Utm-Vx[m]+[U,V[m]]=0,m≥0.

        (5)

        其中

        φtm=Vx[m]φ,V[m]=(λmV)+,m≥0.

        可導出AKNS族的孤子方程:

        (6)

        2 AKNS族的雙可積耦合系統(tǒng)

        為了建立雙可積耦合系統(tǒng)[2],需選擇擴大的譜矩陣,常見的有:

        其中α,β是給定的任意常數(shù).

        文獻[3]用塊矩陣Class1得到AKNS族的雙可積耦合系統(tǒng),而本文將利用塊矩陣Class2[4]來構(gòu)造其雙可積耦合系統(tǒng).

        令擴大的譜矩陣為

        (7)

        其中

        (8)

        同上,為了解擴大的零曲率方程

        (9)

        (10)

        其中V為式(2),且

        (11)

        (12)

        則由(9)可得

        相對應的遞推關(guān)系為方程(4)及

        (13)

        (14)

        其中i≥0.

        對任意整數(shù)m≥0,令擴大的Lax矩陣為

        (15)

        (16)

        可化為

        及(5)的AKNS系統(tǒng).故可得其補充系統(tǒng)為

        (17)

        其中

        由此得到AKNS族的雙可積耦合系統(tǒng)為

        (18)

        顯然,當r=s=v=w=0時,該系統(tǒng)為AKNS族(6).

        3 小結(jié)

        本文主要利用半直和李代數(shù)的方法,選取一種不同的三角塊矩陣來研究AKNS孤子族的雙可積耦合系統(tǒng).在之后的研究中將研究其三可積耦合系統(tǒng)及與它們相對應的Hamiltonian結(jié)構(gòu),并可運用此方法研究其他孤子族,如KdV族、TB族、TC族、KN族等的多可積耦合系統(tǒng).

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