刁光成

(山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 運(yùn)城 044004)

0 引言

本文利用Excel繪出XY散點(diǎn)圖，建立回歸模型[4,5]；然后進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得出回歸分析的結(jié)果，再與規(guī)定參考值進(jìn)行對(duì)比，判定選用的回歸模型的合理性，模型擬合效果，給出數(shù)據(jù)的可信度.

1 模型建立

設(shè)藍(lán)色顏色值R為x1,綠色顏色值G為x2,紅色顏色值B為x3,物質(zhì)濃度為y.下面我們討論二氧化硫物質(zhì)在不同濃度下的顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系.

通過對(duì)數(shù)據(jù)分析，整理，同一濃度值的不同顏色值取平均值，做散點(diǎn)圖如圖1.首先對(duì)二氧化硫濃度與顏色值做線性回歸，設(shè)回歸方程為y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+ε，對(duì)待測溶液中二氧化硫濃度和R，G，B三個(gè)顏色值進(jìn)行線性回歸分析，得到回歸結(jié)果如圖1.

由回歸結(jié)果數(shù)據(jù)可知：

Multiple=0.905 867，R Square=0.820 596，SS=13 363.99

殘差平方和=2 921.727，F(xiàn)=4.574 003

臨界值FINV(0.05，3，3)=9.276 628，F(xiàn)值小于臨界值，我們認(rèn)為該線性回歸模型不理想，于是嘗試進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，如圖2.

圖1 二氧化硫散點(diǎn)圖圖2 二次多項(xiàng)式擬合

圖3 樣本殘差圖

建立如下回歸模型

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+

b4x12+b5x22+b6x32+ε

其中，x1，x2，x3稱為回歸變量，參數(shù)b0,b1,b2,b3,b4,b5,b6稱為回歸系數(shù).設(shè)x4=x12,x5=x22,x6=x32,通過變換把二次多項(xiàng)式化為線性問題，對(duì)待測溶液中二氧化硫和顏色值進(jìn)行線性回歸分析，得到回歸結(jié)果和樣本殘差圖.

由圖3可見,殘差點(diǎn)都比較均勻地落在水平區(qū)域中，表明采用的模型相對(duì)符合，條形域幅度較小，表明擬合效果更好.

回歸方程為:

y=-18 118.5+96.586 71x1-40.671 8x2+

161.551 9x3-0.397 94x12+

0.201 235x22-0.448 65x32

2 誤差分析

生活中，總是希望建立的模型能“逼真”地模擬現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，得到問題的最優(yōu)解.事實(shí)上，面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的問題，要想成功建立模型，必須使問題簡化，必須做出一些假設(shè)，這樣就降低了準(zhǔn)確程度，甚至由于不合理的假設(shè)，有可能使建立的模型與實(shí)際背景背道而馳.另外，數(shù)學(xué)模型在實(shí)際使用時(shí)，都不可避免地會(huì)出現(xiàn)一些測量誤差、舍入誤差和截?cái)嗾`差等.下面就二氧化硫溶液建立的顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行誤差分析.

2.1 數(shù)據(jù)測量誤差

同一濃度下幾組顏色值的數(shù)據(jù)，每一次測量可能由于溫度、濕度、環(huán)境影響或人的觀測誤差等，讀出不同的顏色值，對(duì)數(shù)據(jù)的精確性造成影響.

2.2 截?cái)嗾`差[6-9]

模型求解時(shí)，在計(jì)算機(jī)上采用的數(shù)值方法近似求解，往往只進(jìn)行有限次計(jì)算，而對(duì)于極限過程或無窮計(jì)算進(jìn)行截?cái)啵M(jìn)而產(chǎn)生誤差.

2.3 舍入誤差

模型建立前，先求同一濃度下顏色值的平均值，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行四舍五入，從而使計(jì)算過程有誤差.

2.4 模型選擇誤差

建立回歸模型時(shí)，首先選擇比較簡單的多元線性回歸，通過計(jì)算，誤差較大，接著對(duì)模型進(jìn)行二次多項(xiàng)式擬合，通過計(jì)算模型的殘差，分析殘差圖進(jìn)一步評(píng)價(jià)回歸方程對(duì)數(shù)據(jù)的擬合程度，模型的選擇有一定的主觀性，容易產(chǎn)生誤差.

3 模型評(píng)價(jià)

運(yùn)用Excel對(duì)二氧化硫的顏色與濃度進(jìn)行回歸分析，通過散點(diǎn)圖和樣本殘差圖不僅能直觀地呈現(xiàn)模型的擬合程度，也能更準(zhǔn)確地反映顏色與濃度的關(guān)系.