唐圣學(xué)，付滔，張雪輝

(河北工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院，天津 300130)

0 引 言

非穩(wěn)態(tài)信號中細(xì)節(jié)部分蘊(yùn)含著大量有用信息，在進(jìn)行降噪處理時(shí)希望保留這部分有用的細(xì)節(jié)信息。傅里葉變換降噪方法不能很好地刻畫非線性信號的局部細(xì)節(jié)信息，不適合處理非線性非平穩(wěn)信號降噪；小波變換在時(shí)頻域內(nèi)都有較強(qiáng)的信號局部特征表征能力，但閾值及閾值函數(shù)選取會影響降噪效果。

近年來，基于模態(tài)分解的非線性非平穩(wěn)信號降噪方法得到了快速發(fā)展，如經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)EMD降噪、局部均值LMD降噪以及其改進(jìn)方法降噪等。EMD[1-2]分解方法能將信號按局部時(shí)間的特征尺度自適應(yīng)地將信號從高頻到低頻順序分解成一組尺度不同的固有模態(tài)函數(shù)，用于降噪時(shí)通常采用舍棄EMD分解的高頻IMF分量、由低頻IMF分量重構(gòu)達(dá)到降噪效果，但可能會失去高頻IMF分量含有的有用信息。LMD分解降噪原理與EMD類似，且對噪聲敏感[3-5]。為了提高EMD降噪效果，文獻(xiàn)[6]提出了基于Savitaky-Golay濾波器的一種改進(jìn)的EMD-SG降噪方法。

2013年，Dragomiretskiy[1]等人提出了變分模式分解(Variational Mode Decomposition，VMD)[2-3]的自適應(yīng)分解方法，解決了EMD 和LMD在遞歸模式分解過程中的模態(tài)混疊、對頻率相近的分量無法正確分離、受采樣頻率影響等缺點(diǎn)。由于VMD解決了EMD和LMD在遞歸模式分解過程中的模態(tài)混疊、對頻率相近的分量無法正確分離、受采樣頻率影響等缺點(diǎn)。

提出一種基于VMD和自適應(yīng)小波閾值函數(shù)降噪方法，該方法結(jié)合了小波自適應(yīng)閾值技術(shù)和VMD分解技術(shù)，能對多類信號進(jìn)行有效的降噪。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：該方法對非平穩(wěn)降噪具有良好的降噪效果，且適應(yīng)性廣。

1 變分模式分解

1.1 VMD基本原理

與EMD分解相同，VMD算法也將信號分解為本征模態(tài)IMF分量；不同之處在于VMD在分解過程中避免了EMD的循環(huán)篩分剝離獲取IMF分量的處理方式，而是將信號分解獲取IMF過程轉(zhuǎn)化為變分求解過程，即分解問題轉(zhuǎn)移變分框架內(nèi)處理，通過搜尋約束變分模型最優(yōu)解實(shí)現(xiàn)信號自適應(yīng)分解獲取IMF分量[7-10]。VMD原理簡述如下：

假設(shè)原始信號f分解成k個(gè)IMF分量，則對應(yīng)的約束變分模型為：

(1)

式中uk為第k個(gè)模態(tài)分量；ωk為模態(tài)分量的中心頻率，k=1,2,3…,K。為了求解上述約束變分問題的最優(yōu)解，將約束性變分問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉羌s束性變分問題。引入二次懲罰因子α和Lagrange乘法算子λ(t)，得到增廣的Lagrange表達(dá)式為：

(2)

VMD分解算法具體過程如圖1所示。

圖1 VMD的具體實(shí)現(xiàn)[4]Fig.1 Concrete implementation of VMD algorithm

利用交替方向乘子法(ADMM)迭代搜索上述擴(kuò)展的拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)，即式約束變分模型的最優(yōu)解，所有模態(tài)分量uk為：

(3)

(4)

1.2 VMD分解實(shí)例

含噪聲的多頻信號x(t)如下：

(5)

式中η代表噪聲信號，設(shè)信噪比SNR=5 dB，信號時(shí)間為1 s，采樣頻率1 kHz。圖2給出多頻信號x(t)及其分解結(jié)果。

圖2 多頻信號分解Fig.2 Decomposition of multi-frequency signal

由圖2可見，VMD分解后IMF分量按照頻率由低向高依次遞增，IMF分量頻率單一，分解效果好；同時(shí)，高頻IMF分量中噪聲含量大，VMD分解后噪聲主要集中在高頻段。對各個(gè)分量進(jìn)行FFT變換，得到如圖3所示的IMF分量頻譜。由圖3可見，u3分量頻譜帶寬內(nèi)集中了信號的大部分噪聲能量。

圖3 VMD各分量邊際譜Fig.3 VMD marginal spectrum of each component

2 基于VMD與自適應(yīng)小波閾值函數(shù)降噪原理

如果能降低高頻IMF分量中噪聲，在通過與低頻分量重構(gòu)，就可以減低原始信號噪聲，這即是文中的降噪原理。小波變換具有表征信號的時(shí)頻特性，能很好降低信號噪聲。文中選用小波變換降低高頻IMF分量中的噪聲。

小波降噪過程分為三步[11]：(1)對含噪聲的信號進(jìn)行小波變換；(2)保留最大尺度下的低通濾波分量，對其他尺度分量進(jìn)行降噪處理，即根據(jù)設(shè)定閾值函數(shù)和閾值對其進(jìn)行自適應(yīng)處理；(3)對處理后的小波系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，獲得降噪后的估計(jì)信號。

小波降噪效果好壞的關(guān)鍵是選擇合適的閾值函數(shù)與最佳閾值[12]。目前，硬閾值和軟閾值是常見的兩種閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)因在閾值處函數(shù)不連續(xù)，容易造成缺乏像原始信號的光滑性；軟閾值函數(shù)雖連續(xù)性較好，但存在恒定的偏差。文中采用文獻(xiàn)[13]提出的一種自適應(yīng)閾值函數(shù)，既能降低噪聲又保留了信號原有的奇異性，選用的自適應(yīng)閾值函數(shù)為：

(6)

式中th為閾值；m為可調(diào)參數(shù)，可取大于1的連續(xù)實(shí)數(shù)。m決定了函數(shù)η(·)形狀、性質(zhì)。當(dāng)m接近于1時(shí)，類似于軟閾值函數(shù)；當(dāng)m>10時(shí)，類似于硬閾值函數(shù)。

在閾值獲取方面，該文獻(xiàn)提出的方法存在一些問題，文中閾值基于數(shù)據(jù)SURE無偏估計(jì)自適應(yīng)獲得。

基于自適應(yīng)小波閾值的VMD降噪方法如圖4所示。先對原始信號進(jìn)行VMD分解得到模態(tài)分量，然后對含噪聲分量大的高頻模態(tài)分量進(jìn)行小波自適應(yīng)閾值濾波，最后將濾波后高頻模態(tài)分量和低頻模態(tài)分量重構(gòu)即得降噪后的信號。需要指出的是：對于高頻分量是否需要降噪處理，可由各模態(tài)歸一化自相關(guān)函數(shù)判斷。

圖4 文中降噪流程Fig.4 De-noising process in this paper

3 仿真實(shí)例

為了說明所提出方法的降噪效果，下面選用3個(gè)典型的含噪聲信號進(jìn)行降噪數(shù)值仿真，3個(gè)信號分別為多成分信號、Doppler信號和調(diào)制信號，降噪效果評價(jià)指標(biāo)為信噪比(SNR)、和均方根誤差(RMSE)。

3.1 多頻信號

針對式的含噪聲的多頻信號，圖5給出了降噪后的重構(gòu)波形，同時(shí)還給出了采用傳統(tǒng)EMD方法降噪波形、EMD-SG方法降噪波形、EMD-WT方法降噪波形、小波方法和文獻(xiàn)方法波形。降噪性能指標(biāo)如表1所示。上述其他5種降噪方法中，EMD方法采用舍棄部分高頻IMF分量的傳統(tǒng)EMD去噪方法；EMD-SG方法過程可參考文獻(xiàn)[6]和EMD_WT方法可參考文獻(xiàn)[7]；小波方法采用symN小波系，分解層數(shù)為5，閾值選取基于MinMax極大極小值規(guī)則處理。

圖5 含噪聲的多頻信號降噪波形Fig.5 De-noising waveform of multi-frequency signal with noise

表1 多頻信號降噪效果Tab.1 De-noising effect of multi-frequency signals

3.2 Doppler信號

圖6給出了Doppler信號和含噪聲的Doppler信號，含噪聲信號SNR為5 dB，信號采樣點(diǎn)數(shù)為1 000。圖7給出了6種方法降噪后的波形圖，表2給出了降噪性能指標(biāo)。

圖6 Doppler信號Fig.6 Doppler signal

圖7 含噪聲的多頻信號降噪波形Fig.7 De-noising waveform of multi-frequency signal with noise

由圖7可見，EMD-SG方法和小波方法與文中方法降噪效果差不多；由表2可見，對于Doppler信號降噪，文中方法降噪性能指標(biāo)略優(yōu)于EMD-SG方法和小波方法。說明文中方法能有效降低Doppler信號中的噪聲。

表2 Doppler信號降噪效果Tab.2 De-noising effect of Doppler signals

3.3 調(diào)制信號

為了進(jìn)一步EMD-SG方法和小波方法與文中方法降噪效果，對如下調(diào)制信號進(jìn)行降噪處理，調(diào)制信號為：

y(t)=0.45[1+25sin(30πt)]sin(160πt)+η

信號采樣頻率為1 kHz，信號時(shí)間為1 s，信噪比SNR為5。表3給出了EMD-SG方法和小波方法、文中方法以及其他3種方法的降噪性能指標(biāo)值。由表3可見，對于含噪聲調(diào)制信號降噪，文中方法明顯優(yōu)于EMD-SG方法和小波方法。說明文中方法可適用于更多信號的降噪，適應(yīng)性廣。

表3 調(diào)制信號降噪效果Tab.3 De-noising effect of modulated signals

4 結(jié)束語

提出一種基于小波自適應(yīng)閾值的VMD降噪方法。該方法結(jié)合了小波自適應(yīng)閾值技術(shù)和VMD分解技術(shù)，能對多類信號進(jìn)行有效的降噪。通過對多頻信號、Doppler信號、多成分信號和調(diào)制信號進(jìn)行降噪數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：該方法對非平穩(wěn)降噪具有良好的降噪效果，且適應(yīng)性廣。。