■祁榮圣

一、教學(xué)內(nèi)容

蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第一章“一元二次方程”。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)根據(jù)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題列出方程，能歸納一元二次方程的概念及一般形式。

2.通過(guò)類比，感知一元二次方程的基本內(nèi)容；初步感知將一元二次方程的求解轉(zhuǎn)化為一元一次方程解決。

3.通過(guò)探索實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，經(jīng)歷由具體問(wèn)題抽象出一元二次方程的過(guò)程，進(jìn)一步感受方程、函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型。

三、教學(xué)重點(diǎn)

經(jīng)歷根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立一元二次方程的過(guò)程，感知研究一元二次方程的基本思路和方法。

四、教學(xué)難點(diǎn)

發(fā)展符號(hào)意識(shí)、方程意識(shí)，培養(yǎng)提出問(wèn)題的能力，滲透轉(zhuǎn)化、類比等基本的思想方法。

五、教學(xué)方法與手段

教學(xué)方法：?jiǎn)栴}引領(lǐng)、類比發(fā)現(xiàn)；教學(xué)手段：框圖板書(shū)、PPT投影。

六、教學(xué)過(guò)程

1.課前展示PPT。

PPT的內(nèi)容：在數(shù)學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比。——拉普拉斯

2.版塊一：從實(shí)際問(wèn)題到方程，歸納一元二次方程的定義。

（1）從實(shí)際問(wèn)題到方程。

問(wèn)題情景1：已知，正方形桌面的面積是2cm2。你能提出與正方形面積有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？正方形的邊長(zhǎng)與面積之間有何數(shù)量關(guān)系？我們可以用什么樣的數(shù)學(xué)式子來(lái)描述它們之間的關(guān)系？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：根據(jù)題干提出問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用方程表示等量關(guān)系的過(guò)程，初步感受方程的作用，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

問(wèn)題情境2：①矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是19m，花圃的面積是24m2。你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？（教師直接點(diǎn)名回答，注意分清兩種設(shè)法。）

②某校圖書(shū)館的藏書(shū)在兩年內(nèi)從5萬(wàn)冊(cè)增加到9.8萬(wàn)冊(cè)。假設(shè)這兩年圖書(shū)館的藏書(shū)平均年增長(zhǎng)率為x。怎么理解平均年增長(zhǎng)率x？怎樣列出關(guān)于x的方程？（小組交流討論年增長(zhǎng)率的含義。）

③長(zhǎng)5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離比梯子的頂端與地面的距離多1m。設(shè)梯子的底端與墻的距離是x m，怎樣用方程來(lái)描述其中的數(shù)量關(guān)系？依據(jù)是什么？（學(xué)生板演。）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：依據(jù)問(wèn)題難度，教師采用不同形式組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一元二次方程與之前所學(xué)的方程的區(qū)別，找出等量關(guān)系并運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題，從而感知方程是解決實(shí)際問(wèn)題的有效模型。

（2）歸納一元二次方程的定義。

問(wèn)題1：你能給它們命名嗎？為什么？（教師列舉一些分式方程的反例，即容易誤認(rèn)為是整式方程的分式方程，突出學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)。）

問(wèn)題2：回憶之前認(rèn)識(shí)的方程，一元二次方程應(yīng)該如何歸類？

問(wèn)題3：類比數(shù)的分類、式的分類，方程如何分類？

問(wèn)題4：回顧一元一次方程定義（一般形式），用語(yǔ)言歸納一元二次方程定義。

問(wèn)題5：類比學(xué)習(xí)一元一次方程的過(guò)程，你覺(jué)得我們應(yīng)該怎樣研究一元二次方程？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：小組交流一元二次方程的特點(diǎn)，類比一元一次方程的定義，嘗試歸納一元二次方程的定義；類比一元一次方程的知識(shí)流程圖，構(gòu)建一元二次方程章節(jié)的流程圖，解決“學(xué)什么”的問(wèn)題，整體感知章節(jié)內(nèi)容，建構(gòu)知識(shí)體系。

3.板塊二：歸納一元二次方程的一般形式，了解相關(guān)概念。

問(wèn)題6：可以類似地用更一般的式子表示一元二次方程嗎？（教師引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程，用字母表示數(shù)，從特殊到一般進(jìn)行思考。）

師生共同歸納一元二次方程一般形式：任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的一般形式。（教師引導(dǎo)學(xué)生注意辨析二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)。）

問(wèn)題7：a≠0可以省略嗎？常數(shù)b、c有限制要求嗎？

問(wèn)題8：板演練習(xí)，寫(xiě)出板塊一的4個(gè)方程中的a、b、c。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：讓學(xué)生類比ax+b=0（a、b是常數(shù)，a≠0）的一般形式，自主探究一元二次方程的一般形式；在ax2+b=0（a、b是常數(shù)，a≠0）處滲透反例，延伸一元二次方程一般形式的發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生在類比學(xué)習(xí)的過(guò)程中，感悟類比時(shí)既要注意相關(guān)事物的相同之處，又要在不同之處辨析，從而訓(xùn)練學(xué)生的思維。

4.板塊三：初步了解方程的解，感知如何解一元二次方程。

PPT投影：你會(huì)解一元二次方程嗎？①x2=2；②x2+4x=0。

問(wèn)題9：方程①如何解？依據(jù)是什么？如何驗(yàn)證方程的解？

問(wèn)題10：你能解方程②嗎?

（教師注意預(yù)設(shè)情形：學(xué)生可能會(huì)看出一個(gè)解是0，或者嘗試用完全平方公式轉(zhuǎn)化，或者借助分式章節(jié)的ab=0的討論聯(lián)想因式分解。）

問(wèn)題11：正方形桌面的面積是2m2，如何求它的邊長(zhǎng)？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：（1）讓學(xué)生經(jīng)歷求解簡(jiǎn)單一元二次方程的過(guò)程，感知一元二次方程解的定義，體會(huì)借助已有知識(shí)儲(chǔ)備如開(kāi)方、平方等，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知一元一次方程的思想；（2）嚴(yán)格控制解方程的難度，不關(guān)注學(xué)生是否能掌握解法，重點(diǎn)讓學(xué)生在“走馬觀花”解方程的過(guò)程中體驗(yàn)方程的解的內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)趣，留下懸念，完善對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決。

問(wèn)題12：歸納利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的思路。

用一元二次方程解決問(wèn)題的流程:

設(shè)計(jì)說(shuō)明：借助問(wèn)題9、11，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，整體關(guān)聯(lián)教學(xué)，初步形成解決問(wèn)題的基本思路。

5.板塊四：運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題。

問(wèn)題情景：一塊石頭從45m高的絕壁上落下，若時(shí)間x（s）分別取0，1，2，2.5 …可以發(fā)現(xiàn)石頭離海面高度h（m）對(duì)應(yīng)值為45，40，25，13.75 …

問(wèn)題13：石頭下落的過(guò)程中，h和x之間是何種關(guān)系？（教師引導(dǎo)學(xué)生注意變量。）

問(wèn)題解決：借助x和h的對(duì)應(yīng)值，溫故函數(shù)基本定義，得到石頭離海面高度h（m）和下落時(shí)間x（s）大致有關(guān)系h=-5x2+45。借助解析式，感知當(dāng)x確定，代入求函數(shù)值h的過(guò)程就是解一元二次方程。

問(wèn)題14：石頭經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間落到海面？

問(wèn)題15：可以換一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述嗎？

（教師注意預(yù)設(shè)情形：實(shí)際就是令h=0，解一元二次方程0=-5x2+45。）

設(shè)計(jì)說(shuō)明：呈現(xiàn)教材章頭圖中的一道實(shí)際問(wèn)題，考慮學(xué)生的認(rèn)知能力，改變問(wèn)題出現(xiàn)的順序，引導(dǎo)學(xué)生初步感知函數(shù)與方程的聯(lián)系與區(qū)別；扣住變量和未知常量，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程的區(qū)別與聯(lián)系，讓學(xué)生感知方程、函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)即“瞻前顧后思關(guān)聯(lián)”，架構(gòu)本章節(jié)所學(xué)內(nèi)容與未知的二次函數(shù)的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步設(shè)疑激趣。

6.板塊五：歸納總結(jié)。

問(wèn)題16：分享交流本節(jié)課令你印象最深的地方。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：讓學(xué)生歸納學(xué)會(huì)的知識(shí)，梳理“會(huì)學(xué)”的方法。

7.板塊六：作業(yè)布置。

必做題：教材第8頁(yè)習(xí)題1；選做題：借鑒八年級(jí)上冊(cè)“一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式”的探究經(jīng)驗(yàn)，嘗試類比解決下列問(wèn)題：已知函數(shù)y=x2-6x+9，求該函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)采用必做題、選做題的形式，分層布置作業(yè)，檢查學(xué)生學(xué)習(xí)效果的同時(shí)，使各個(gè)層次的學(xué)生得到發(fā)展。

七、教后反思

本節(jié)課采用單元教學(xué)課型，借助章頭圖設(shè)計(jì)整體關(guān)聯(lián)教學(xué)。本節(jié)內(nèi)容不僅是教材的第一課時(shí)，而且是全章內(nèi)容的整體建構(gòu)，重在引導(dǎo)學(xué)生為什么要學(xué)、將要學(xué)什么、如何學(xué)。筆者從以下3點(diǎn)入手，設(shè)計(jì)了本節(jié)課的教學(xué)。

1.體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性。列舉生活實(shí)例，讓學(xué)生充分感悟到方程是解決實(shí)際問(wèn)題的一種常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型；類比數(shù)、式的分類，讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)一元二次方程是對(duì)方程學(xué)習(xí)的一次擴(kuò)充以及生產(chǎn)、生活的需要，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)一元二次方程的積極性。

2.類比了解一元二次方程的基本內(nèi)容。本節(jié)課的設(shè)計(jì)立足于“先行組織者”，要讓學(xué)生了解本章知識(shí)的基本框架與結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。教學(xué)中用實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行引領(lǐng)，類比一元一次方程，用“走馬觀花”的方式讓學(xué)生對(duì)一元二次方程的內(nèi)容有一個(gè)整體認(rèn)識(shí)，力爭(zhēng)使學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中能“見(jiàn)木見(jiàn)林”，為學(xué)習(xí)新知識(shí)做好準(zhǔn)備的同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并有效降低學(xué)習(xí)的難度。

3.歸納梳理一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路。讓學(xué)生通過(guò)類比一元二次方程，了解一元二次方程學(xué)習(xí)內(nèi)容：定義→解法→應(yīng)用（解決實(shí)際問(wèn)題），再回歸到課前的實(shí)際問(wèn)題中，歸納梳理用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的思路。