新疆烏魯木齊市新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(830054)楊 軍

新疆烏魯木齊市第八中學(xué)(830002)李昌成

1 問題的提出

利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍的試題,是高考數(shù)學(xué)的壓軸題,對考生具有相當?shù)碾y度.通過對試題的分析,發(fā)現(xiàn)其中相當多的一類試題是如下的形式：“當x∈(m,n)時,f(x)≤ax+b(或f(x)≥ax+b)恒成立,求參數(shù)a的取值范圍”.例如：

1.(2017年全國II卷文科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.(I)略;(II)當x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

2.(2008年全國II卷理科第22題)設(shè)函數(shù)f(x)=(I)略;(II)如果對任何x≥0都有f(x)≤ax+,求a的取值范圍.

3.(2014年全國II卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x,(I)略;(II)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x)＞0,當x＞0時,g(x)＞0,求b的最大值.

(已知條件g(x)=f(2x)-4bf(x)＞0可化為e2x-e-2x-4b(ex-e-x)＞(4-8b)x.)

求解上述試題的通法是“分離參數(shù)法”：即分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為恒成立問題,再求對應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值.但是上述試題分離參數(shù)后,求對應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值時,不但需要復(fù)雜的二次求導(dǎo)運算,而且其最大值(最小值)或不易求解或不存在(有興趣的讀者可以用分離參數(shù)法嘗試之).

看了上述高考試題所附參考答案的解法,感覺從天而降,令人費解.同時也注意到部分教師進一步用“洛必達法則”求解對應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值的臨界值[1],但因其未能揭示問題本質(zhì),故還需進一步探究.

本文擬揭示形如“當x∈(m,n)時,f(x)≤ax+b(或f(x)≥ax+b)恒成立,求參數(shù)a的取值范圍”這一類試題的本質(zhì),并給出其基于本質(zhì)的解法,以饗讀者.

2 試題的本質(zhì)揭示

下面以2017年全國高考數(shù)學(xué)II卷文第21題為例進行分析.

例1設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(I)略;

圖1

(II)當x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.

分析利用幾何畫板畫出函數(shù)f(x)=(1-x2)ex和直線y=ax+1的圖形(圖1).由圖知,要使x∈[0,+∞)時,f(x)≤ax+1成立,只需當x∈[0,+∞)時,射線y=ax+1始終在函數(shù)f(x)=(1-x2)ex圖象的上方(僅在端點x=0處重合).

如何保證當x∈(0,+∞)時射線y=ax+1始終在函數(shù)f(x)=(1-x2)ex圖象的上方呢?為此利用幾何畫板動畫功能發(fā)現(xiàn),直線y=ax+1為曲線f(x)的切線位置是f(x)≤ax+1成立的極限情形：即若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時,均有f(x)≤ax+1,若射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置下方時,f(x)≤ax+1不恒成立(圖2).

之所以如此,關(guān)鍵的原因是f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù)(即曲線是凸的).如若不然,則不能保證“當射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于切線位置或其上方時,均有f(x)≤ax+1”.例如圖3中的反例.

圖2

圖3

至此,我們揭示了這道試題的本質(zhì)：因為f(x)=(1-x2)ex在x∈[0,+∞)上是凸函數(shù),故條件“x≥0時,f(x)≤ax+1”等價于“射線y=ax+1(x∈[0,+∞))位于曲線f(x)=(1-x2)ex在點x=0處的切線位置或其上方”.

又f′(x)=ex(-x2-2x+1),故曲線f(x)=(1-x2)ex在點x=0處的切線斜率為f′(0)=1.從而參數(shù)的取值范圍為a≥1.

一般地,若函數(shù)f(x)在x∈[m,n]上是凸函數(shù),并且函數(shù)y=f(x)與y=ax+b在區(qū)間[m,n]左(或右)端點處的函數(shù)值相等,則“當x∈[m,n]時,f(x)≤ax+b成立”等價于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲線y=f(x)在端點處的切線位置或其上方”(圖4).

反之,若函數(shù)f(x)在x∈[m,n]上是凹函數(shù),并且函數(shù)y=f(x)與y=ax+b在區(qū)間[m,n]左(或右)端點處的函數(shù)值相等,則“當x∈[m,n]時,f(x)≥ax+b成立”等價于“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲線y=f(x)在端點處的切線位置或其下方”(圖5).

圖4

圖5

從而,要求參數(shù)a的取值范圍,只需判斷函數(shù)y=f(x)在某一區(qū)間上的凹凸性,并求出曲線y=f(x)在區(qū)間端點處的切線斜率,根據(jù)“y=ax+b(x∈[m,n])位于曲線y=f(x)在端點處的切線位置或其上下方”即可求出目標參數(shù)的取值范圍.從而也表明,此類問題是基于函數(shù)的凹凸性而命制出來的.

3 函數(shù)凹凸性的判斷方法

下面先給出函數(shù)凹凸性的定義,然后抽象出用二階導(dǎo)數(shù)正負判斷函數(shù)凹凸性的方法.

函數(shù)凹凸性的定義已知f(x)是定義在區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù),任給ξ∈I,若曲線弧f(x)始終位于其在x=ξ處的切線下方,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)(如圖6).

反之,任給ξ∈I,若曲線弧f(x)始終位于其在x=ξ處的切線上方,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凹函數(shù)(如圖7).

圖6

圖7

上述定義與傳統(tǒng)的定義(若曲線弧段上任意兩點聯(lián)結(jié)而成的弦,總位于曲線弧段的上(下)方,則稱函數(shù)為凹(凸)函數(shù))本質(zhì)上是等價的,文[2]嚴格證明了兩者的等價關(guān)系.這里之所以選擇上述定義,一是基于本文探究的這類試題正是基于這一定義而命制的;二是根據(jù)上述等價定義,可得判斷函數(shù)凹凸性的方法,即：若曲線f(x)在點x處的切線隨著x的增大而呈上升(下降)趨勢,即f′(x)為區(qū)間I上的增(減)函數(shù),則函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凹(凸)函數(shù)(圖6或圖7).由此可得如下結(jié)論.

判斷函數(shù)凹凸性的方法?x∈I,若二階導(dǎo)數(shù)f′′(x)＜0,則f′(x)為區(qū)間I上的減函數(shù),從而函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù);若二階導(dǎo)數(shù)f′′(x)＞0,則f′(x)為區(qū)間I上的增函數(shù),從而函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凹函數(shù).

4 利用函數(shù)凹凸性求參數(shù)取值范圍

下面利用“函數(shù)凹凸性”解答前述后面的兩道高考試題,從中領(lǐng)略基于“函數(shù)凹凸性”解法的簡潔和本質(zhì).

例22008年全國高考數(shù)學(xué)II卷理科第22題的解答.

解易 求f′(x)=

(2)令f′′(x)＜0解得x∈(2kπ,π+2kπ)(k∈Z),從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2kπ,π+2kπ)(k∈Z)內(nèi)為凸函數(shù).令f′′(x)＞0解得x∈(-π+2kπ,2kπ)(k∈Z),從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(-π+2kπ,2kπ)(k∈Z)內(nèi)為凹函數(shù).

由x∈[0,π)時f(x)為凸函數(shù),故當x∈[0,π)時,曲線弧f(x)始終位于其在點x=0處的切線下方(僅在切點處重合).從而表明當x∈[0,π)時,恒成立.

(3)下證當x∈[π,+∞)時,曲線弧f(x)仍位于其在點x=0處的切線下方.

圖8

有興趣的讀者可以查閱例2這道高考試題所附的參考答案解法,原解法不但利用了反三角函數(shù)的知識,而且晦澀難懂.

例32014年全國高考數(shù)學(xué)II卷理科第21題的解答.

已知條件g(x)=f(2x)-4bf(x)＞0可化為e2xe-2x-4b(ex-e-x)＞(4-8b)x.令h(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x),則h′(x)=2e2x+2e-2x-4b(ex+e-x).由h′(0)=4-8b,可得曲線h(x)在點x=0處的切線方程為y=(4-8b)x,從而表明e2x-e-2x-4b(ex-e-x)＞(4-8b)x的幾何意義恰為：當x＞0時,曲線弧h(x)位于其在點x=0處的切線y=(4-8b)x上方.

下面討論函數(shù)h(x)的凹凸性.

二階導(dǎo) 數(shù)h′′(x)=4e2x-4e-2x-4b(ex-e-x)=4(ex-e-x)(ex+e-x-b),則：

(1)當b≤2時,令h′′(x)=0得x=0.由均值不等式知ex+e-x-b＞0.故當x∈(-∞,0)時,由ex-e-x＜0可知h′′(x)＜0,從而函數(shù)h(x)在(-∞,0)內(nèi)是凸函數(shù);故當x∈(0,+∞)時,由ex-e-x＞0可知h′′(x)＞0,從而函數(shù)h(x)在(0,+∞)內(nèi)是凹函數(shù);

從而當x∈(0,+∞)時,曲線弧h(x)始終位于其在點x=0處的切線y=(4-8b)x上方,即e2x-e-2x-4b(exe-x)＞(4-8b)x恒成立,此時b≤2符合題意.

(2)當b＞2時,令h′′(x)=0,得x1=ln故其凹凸性見下表.

?

綜上可知b≤2,即b的最大值為2.

5 結(jié)束語

本文通過探究高考試題中形如“當x∈(m,n)時,f(x)≤ax+b(或f(x)≥ax+b)恒成立,求參數(shù)a的取值范圍”這一類試題,揭示出其本質(zhì)是基于函數(shù)凹凸性的等價定義[2]而命制的試題,從而表明居高才能臨下,高屋方可建瓴.