張 弟

（江蘇省常州市北郊高級(jí)中學(xué)，江蘇 常州）

一、與枚舉法有關(guān)的概念

在進(jìn)行歸納推理時(shí)，如果逐個(gè)考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般的結(jié)論，那么這結(jié)論是可靠的，這種歸納方法叫做枚舉法，或窮舉法.簡(jiǎn)而言之就是根據(jù)情況逐一討論.

當(dāng)主體接觸的問題存在大量的可能的答案或者中間過程時(shí)，就不得不采用逐一檢測(cè)這些答案的策略.采用枚舉法雖然看起來“笨拙”，但確實(shí)是一種行之有效的解題策略，采用枚舉法時(shí)，每種情況都增加了一個(gè)前提條件，為問題的解決提供了便利.因此有時(shí)即使可以統(tǒng)一處理，但是為了降低難度也采用枚舉法，分情況討論.

二、枚舉法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1.枚舉與分類

枚舉與分類常常聯(lián)系在一起，為了枚舉，有時(shí)需要先分類再一一列出來，再考慮列舉出來的結(jié)果與原問題的關(guān)系.

例1 若整數(shù)n不是5的倍數(shù)，則n2也不是5的倍數(shù).

分析 不是5的倍數(shù)的整數(shù)按余數(shù)可分為四類：5k+1、5k+2、5k+3、5k+4（為整數(shù)）.對(duì)它們分類考查.

①n=5k+1 時(shí)，n2=（5k+1）2=5（5k2+2k）+1 不是 5 的倍數(shù)；

②n=5k+2 時(shí)，n2=（5k+2）2=5（5k2+4k）+4 不是 5 的倍數(shù)；

③n=5k+3 時(shí)，n2=（5k+3）2=5（5k2+k+1）+4 不是 5 的倍數(shù)；

④n=5k+4 時(shí)，n2=（5k+4）2=5（5k2+8k+3）+1 不是 5 的倍數(shù).

綜上知，若整數(shù)n不是5的倍數(shù)，則n2也不是5的倍數(shù).

注：此題也可通過反證法來說明原命題成立。

例2 有一個(gè)無蓋立方體紙箱，將它沿棱剪開攤成平面展開圖.那么，共有多少種不同的展開圖？

分析 我們將展開圖按最長(zhǎng)一行有多少個(gè)正方形來分類，有序的畫圖枚舉就可以解決問題.

（1）最長(zhǎng)一行有4個(gè)正方形：

（2）最長(zhǎng)一行有3個(gè)正方形：

（3）最長(zhǎng)一行有2個(gè)正方形：

故一共有8種不同的展開圖.

2.枚舉與最值

在數(shù)值比較小或是易于計(jì)算時(shí)，我們可以通過枚舉法來處理一些最值問題.特別是在一些線性規(guī)劃題中.最值的選擇有時(shí)可從枚舉出的情形中獲得.

例3 若m、n是正整數(shù)，mn=120，則m+n可能取到的最小值是______.

分析 考慮m、n的對(duì)稱性，又因?yàn)?20=1×120=2×60=3×40=4×30=8×15=10×12.可知當(dāng)m、n為 10，12 時(shí)，m+n的最小值 22.

注：m，n兩數(shù)越接近，和越小.

3.枚舉與不等式

有時(shí)候我們?cè)谔幚韱栴}時(shí)會(huì)得到所求值在一個(gè)范圍之內(nèi)，為了找出它可能的值我們會(huì)根據(jù)題意用枚舉法將它一一列出來，再通過驗(yàn)算找出符合題意的解.

例4 一個(gè)三位數(shù)除以11所得的余數(shù)等于它的三個(gè)數(shù)字的平方和，試求出所有滿足這樣條件的三位數(shù).

分析 設(shè)這三位數(shù)的百位，十位，個(gè)位數(shù)字分別為x，y，z，由于任何不能整除11的數(shù)，除以11所得余數(shù)小于等于10，所以，1≤x2+y2+z2≤10 從而 1≤x≤3，0≤y≤3，0≤z≤3.于是所求的三位數(shù)必在以下數(shù)中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，110，211，212，220，221，300，301，310. 容易驗(yàn)證，100，101兩個(gè)數(shù)符合要求.

4.枚舉與概率

古典概率的計(jì)算是概率中最基本、最重要的內(nèi)容之一.學(xué)好古典概率的計(jì)算對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)是非常重要的.但對(duì)于初學(xué)者來說這比較難，特別是對(duì)有利事件數(shù)的計(jì)算，容易遺漏或重復(fù).由于枚舉法直觀形象，只要按照一定的規(guī)律，就不容易重復(fù)或遺漏.

例5 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出兩個(gè)球.（1）共有多少個(gè)基本事件；（2）摸出的2個(gè)球都是白球的概率是多少？

分析 這是蘇教版數(shù)學(xué)3課本中關(guān)于“古典概型”的第一道例題.枚舉法講究順序，分別記白球?yàn)?，2，3號(hào)，黑球?yàn)?，5號(hào)，摸到 1，2 號(hào)球用（1，2）表示，則基本事件是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）. 先將對(duì)象排好一定的次序，拿第一個(gè)找完所有的組合，再進(jìn)行第二個(gè)，這時(shí)就不用回頭找了，如此可確保不重復(fù)、不遺漏.

5.枚舉與不定方程

關(guān)于不定方程的自然數(shù)解、整數(shù)解、有理數(shù)解或質(zhì)數(shù)解的問題是數(shù)論研究的一個(gè)重要課題，對(duì)于簡(jiǎn)單的不定方程的求解和證明也是考查和訓(xùn)練中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性與創(chuàng)造性的一個(gè)主要題目來源，其中枚舉法可以處理簡(jiǎn)單的不定方程的求解問題.我們可以按一定順序?qū)⑺鼈兊慕庖粋€(gè)一個(gè)地列出來，再判斷這些解是否符合題意，從而求出解.

例6 求不定方程5x+3y=49的正整數(shù)解.

分析 當(dāng)一一列舉x的整數(shù)值，y的值便可求出.

當(dāng)x=1時(shí)（不符合條件，舍），

當(dāng)x=2時(shí)，y=13（符合條件），

當(dāng)x=3時(shí)（不符合條件，舍），

當(dāng)x=4時(shí)（不符合條件,舍），

當(dāng)x=5時(shí)，y=8（符合條件），

當(dāng)x=6時(shí)（不符合條件，舍），

當(dāng)x=7時(shí)（不符合條件，舍），

當(dāng)x=8時(shí)，y=3（符合條件），

當(dāng)x=9時(shí)（不符合條件，舍），

當(dāng)x≥10時(shí)，y都不是正整數(shù).