廣東省東莞市東華高級(jí)中學(xué)(523128) 趙金國(guó)

本文對(duì)一道經(jīng)典試題進(jìn)行剖析,與讀者共享其魅力和真諦.

題目(2014年江西師大附中模擬試題)已知雙曲線E:的中心為原點(diǎn)O,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為點(diǎn)P是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q在雙曲線E上,且滿足

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)證明:直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值;

(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H,滿足證明點(diǎn)H恒在一條定直線上.(求點(diǎn)H的軌跡方程.)

一、試題簡(jiǎn)答

(2)由(1)可知點(diǎn)F2(3,0).設(shè)點(diǎn)因?yàn)樗运砸驗(yàn)辄c(diǎn)Q(x0,y0)在雙曲線E上,所以所以

所以直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值

(3)依題意,直線l的斜率k存在.設(shè)直線l的方程為由

消去y得

因?yàn)橹本€l與雙曲線E的右支交于不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),則有

設(shè)點(diǎn)H(x,y),由得

整理得

將②和③代入上式得

整理得

因?yàn)辄c(diǎn)H在直線l上,所以

聯(lián)立④和⑤消去k得:4x?3y?12=0.所以點(diǎn)H恒在定直線上4x?3y?12=0.

二、試題解讀

解(1)易知是雙曲線的準(zhǔn)線,點(diǎn)Q在雙曲線E上,點(diǎn)P在準(zhǔn)線上,且滿足可有直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值

(2)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H,滿足則點(diǎn)H恒在一條定直線上,此時(shí)定直線4x?3y?12=0,即b2x?cy?b2c=0.

三、拓展研究

由雙曲線很容易聯(lián)想的橢圓也有此性質(zhì),構(gòu)造對(duì)偶橢圓.

變式1 已知橢圓E:的中心為原點(diǎn)O,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,離心率為點(diǎn)P是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q在橢圓E上,且滿足

(1)求實(shí)數(shù)a的值;

(2)證明:直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值;

(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H,滿足證明點(diǎn)H恒在一條定直線上.(求點(diǎn)H的軌跡方程.)

簡(jiǎn)答(1)a=3.(2)直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值(3)點(diǎn)H恒在定直線4x?3y?12=0上,即b2x?cy?b2c=0.

四、深入研究

如果將準(zhǔn)線上的點(diǎn)一般化,是否有更一般的結(jié)論呢?

變式2 已知雙曲線E:的中心為原點(diǎn)O,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P是準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q在雙曲線E上,且滿足

(1)證明:直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值;

(2)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t,過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M,N,在線段MN上取異于點(diǎn)M和N的點(diǎn)H,滿足求點(diǎn)H的軌跡方程.

解答(1)由已知點(diǎn)F2(c,0).設(shè)點(diǎn)因?yàn)樗?/p>

所以直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值

(2)依題意,直線l的斜率k存在.設(shè)直線l的方程為由

消去y得

因?yàn)橹本€l與雙曲線E的右支交于不同兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),則有

將②和③代入上式得

整理得t(cx?a2)k+b2(c?x)+t2c=0.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線l上,所以

所以點(diǎn)H的軌跡方程為:b2x?cty?b2c=0.

五、結(jié)論的一般化

結(jié)論1 已知橢圓E:的中心為原點(diǎn)O,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P是準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q在在橢圓E上,且滿足則如下結(jié)論成立:

(1)直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值

(2)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t,過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M和N的點(diǎn)H,滿足則有點(diǎn)H的軌跡方程為b2x?cty?b2c=0.

結(jié)論2 已知拋物線E:y2=2px(p＞0),焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q在拋物線E上,且滿足若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t,過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M和N的點(diǎn)H,滿足求點(diǎn)H的軌跡方程為

其中p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.

如果將p視作橢圓或雙曲線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離b2x?cty?b2c=0可化為px?ty?pc=0.此外(?)式亦適合,其中

以上通過對(duì)經(jīng)典試題的研究,得出若干結(jié)論,這充分體現(xiàn)經(jīng)典試題的經(jīng)典性、示范性和應(yīng)用性,真可謂登高才能望遠(yuǎn),幽靜之處必有風(fēng)光!