陜西省漢中中學(xué)(723000) 韓富萬

陜西省略陽縣天津高級中學(xué)(724300) 陳 波

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說:“數(shù)形結(jié)合百般好,隔裂分家萬事非”.由此可見數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)問題中是緊密結(jié)合的,也說明數(shù)形結(jié)合思想的在數(shù)學(xué)中的重要性.對中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的研究有助于我們更好的掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識,增強解題能力.基于此,本文談?wù)剶?shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.

1 例題分析及解答

題目(2017年高考數(shù)學(xué)理科全國卷II)已知函數(shù)f(x)=ax2?ax?xlnx,且f(x)≥0.

(1)求a;

(2)證明:f(x)存在唯一的極大值點x0,且e?2＜f(x0)＜2?2.

先考慮(1)問,教師引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題:

問題1 觀察題目中的條件,指出隱含條件有什么.

學(xué)生討論得:隱含條件:x＞0,即f(x)=x(ax?a?lnx)≥0.

教師引導(dǎo)學(xué)生得:令g(x)=ax?a?lnx,則問題轉(zhuǎn)化為g(x)≥0,即a(x?1)≥lnx在(0,+∞)恒成立,求a.

問題2 能否轉(zhuǎn)化為研究兩個函數(shù)圖像之間的關(guān)系.

學(xué)生討論得:考慮過定點(1,0)的直線y=a(x?1)與y=lnx對數(shù)函數(shù)的圖像之間的關(guān)系.

教師引導(dǎo)學(xué)生作圖,如圖1.

圖1

從圖1中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):

①a≤0時,若x∈(0,1),則a(x?1)＞lnx;若x∈[1,+∞),則a(x?1)≤lnx.

②a=1時,y=x?1正好是y=lnx在點(1,0)處的切線,并且x?1≥lnx恒成立.

③0＜a＜1時,a(x?1)=lnx有兩解,一解為1,另一解x0∈(1,+∞).即x∈[1,x0]時,a(x?1)≤lnx;x∈(0,1)∪(x0,+∞)時,a(x?1)＞lnx.

④a＞1時,a(x?1)=lnx有兩解,一解為1,另一解x0∈(0,1).即x∈[x0,1]時,a(x?1)≤lnx;x∈(0,x0)∪(1,+∞)時,a(x?1)＞lnx.

由上可知僅a=1時,直線y=a(x?1)在y=lnx的上方,即g(x)=ax?a?lnx≥0恒成立.

于是教師引導(dǎo)學(xué)生解答(1)問如下:

因為x＞0,而f(x)=x(ax?a?lnx)≥0.令g(x)=ax?a?lnx,且g(1)=0.當a=1時,g(x)=x?1?lnx,由g′(x)＞0,得x＞1;由g′(x)＜0,得0＜x＜1;所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.所以g(x)min=g(1)=0.所以g(x)≥0,所以f(x)≥0.從而可知a=1.

再考慮(2)問,教師引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題:

問題3 證明f(x)存在唯一的極大值點x0,關(guān)鍵有哪些要點.

學(xué)生討論得:(1)x0存在;(2)x0唯一;(3)x0是極大值點.

圖2

教師引導(dǎo)學(xué)生思考:f′(x)=2(x?1)?lnx的解即2(x?1)=lnx的解.并在同一坐標系作函數(shù)y=2(x?1)和y=lnx的圖像,如圖2所示.

結(jié)合圖2引導(dǎo)學(xué)生直觀感受:

①f′(x)=2(x?1)?lnx=0有兩根,一根為1,另一根記為x0且0＜x0＜1.

②x∈(x0,1)時,f′(x)＜0;x∈(0,x0)和x∈(1,+∞)時,f′(x)＞0.

由此可知,f(x)在 (x0,1)單調(diào)遞減,在 (0,x0)和(1,+∞)單調(diào)遞增.并且x0是f(x)唯一的極大值點,1是f(x)唯一的極小值點.

問題4 如何證明x0存在.

學(xué)生討論、教師引導(dǎo)得:用零點定理證明如下:

問題5 如何證明x0唯一.

學(xué)生討論、教師引導(dǎo)得:利用函數(shù)單調(diào)性證明如下:

在問題4、5解答的基礎(chǔ)上教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生解答:

當0＜x＜x0或x＞1時,f′(x)＞0,所以f(x)在(0,x0)和(1,+∞)單調(diào)遞增;當x0＜x＜1時,f′(x)＜0,所以f(x)在(x0,1)單調(diào)遞減.所以x0是f(x)唯一的極大值點,1是f(x)唯一的極小值點.由f′(x0)=0,所以lnx0=2(x0?1),所以由所以因為x0是f(x)在 (0,1)的最大值點,所以f(x0)＞f(e?1)=e?2.所以e?2＜f(x0)＜2?2.

2 問題與思考

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)研究和學(xué)習(xí)中的重要思想和解題方法,用數(shù)形結(jié)合方法可以使數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系變得清晰可見.反思這道例題的解答可以發(fā)現(xiàn):“y=a(x?1)與y=lnx的圖像之間的關(guān)系”是問題的核心.再通過“數(shù)”的嚴謹性和“形”的直觀性兩方面思考問題,便可有效激活學(xué)生思維,探究解題方法.同時,筆者也引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法的指導(dǎo)下,針對該題目的核心問題,進一步設(shè)計了如下問題探究思考.

3 數(shù)形結(jié)合引領(lǐng)探究

探究1 在前面的討論中,我們發(fā)現(xiàn)y=x?1正好是y=lnx在點(1,0)處的切線,并且x?1≥lnx恒成立.而函數(shù)y=x+1和y=ex分別與y=x?1和y=lnx互為反函數(shù),那么y=x+1和y=ex有什么關(guān)系?

由于互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖像關(guān)于y=x對稱,因此教師引導(dǎo)學(xué)生作圖,如圖3.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):y=x+1正好是y=ex在點(0,1)處的切線,并且x+1≤ex恒成立.其證明過程是容易的,本文不再給出.

圖3

探究2 在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y=ax?1和y=lnx的圖像.你能發(fā)現(xiàn)什么?

教師引導(dǎo)學(xué)生作圖,如圖4.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):①a≤0時,ax?1=lnx有唯一解x0∈(0,1).即x∈(0,x0)時,ax?1＞lnx,x∈[x0,+∞)時,ax?1≤lnx.

②a=1時,y=x?1正好是y=lnx在點(1,0)處的切線,并且ax?1≥lnx恒成立.

③0＜a＜1時,ax?1=lnx有兩解,一解x1∈(0,1),另一解x2∈(1,+∞).即x∈[x1,x2]時,ax?1≤lnx,x∈(0,x1)∪(x2,+∞)時,ax?1＞lnx.

④a＞1時,ax?1=lnx無解,并且ax?1＞lnx恒成立.

圖4

圖5

探究3 在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y=x?1和y=alnx(a＞0)的圖像.你能發(fā)現(xiàn)什么?

教師引導(dǎo)學(xué)生作圖,如圖5.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):

①a=1時,y=x?1正好是y=lnx在點(1,0)處的切線,并且x?1≥alnx恒成立.

②0＜a＜1時,x?1=alnx有兩解,一解為1,另一解x0∈(0,1).即x∈[x0,1]時,x?1≤alnx,x∈(0,x0)∪(1,+∞)時,x?1＞alnx.

③a＞1時,x?1=alnx有兩解,一解為1,另一解x0∈(1,+∞).即x∈[1,x0]時,x?1≤alnx,x∈(0,1)∪(x0,+∞)時,x?1＞alnx.

探究4 在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y=ax+1和y=ex的圖像.你能發(fā)現(xiàn)什么?

教師引導(dǎo)學(xué)生作圖,如圖6.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):①a≤0時,ax+1=ex有唯一解0.即x∈(0,+∞)時,ax+1＜ex,x∈(?∞,0]時,ax+1≥ex.②a=1時,y=x+1正好是y=ex在點(0,1)處的切線,并且x+1≤ex恒成立.③0＜a＜1時,ax+1=ex有兩解,一解為0,另一解x0∈(?∞,0).即x∈[x0,0]時,ax+1≥ex,x∈(?∞,x0)∪(0,+∞)時,ax+1＜ex.④a＞1時,ax+1=ex有兩解,一解為0,另一解x0∈(0,+∞).即x∈[0,x0]時,ax+1≥ex,x∈(?∞,0)∪(x0,+∞)時,ax+1＜ex.

探究5 在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y=a(x+1)和y=ex的圖像.你能發(fā)現(xiàn)什么?

教師引導(dǎo)學(xué)生作圖,如圖7.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):

①a＜0時,a(x+1)=ex有唯一解x0∈(?∞,0).即x∈(?∞,x0)時,a(x+1)＞ex,x∈[x0,+∞)時,a(x+1)≤ex.

②a=1時,y=x+1正好是y=ex在點(0,1)處的切線,并且x+1≤ex恒成立.

③0≤a＜1時,a(x+1)＜ex恒成立.

④a＞1時,a(x+1)=ex有兩解,一解x1∈(?∞,0),另一解x2∈(0,+∞).即x∈[x1,x2]時,a(x+1)≥ex,x∈(?∞,x1)∪(x2,+∞)時,a(x+1)＜ex.

圖6

圖7

圖8

探究6 在同一坐標系內(nèi)作函數(shù)y=x+1和y=eax(a＞0)的圖像.你能發(fā)現(xiàn)什么?

教師引導(dǎo)學(xué)生作圖,如圖8.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):

①a=1時,y=x+1正好是y=ex在點(0,1)處的切線,并且x+1≤ex恒成立.

②0＜a＜1時,x+1=eax有兩解,一解為0,另一解x0∈(0,+∞).即x∈[0,x0]時,x+1≥eax,x∈(0,x0)∪(1,+∞)時,x+1＜eax.

③a＞1時,x+1=eax有兩解,一解為0,另一解x0∈(?∞,0).即x∈[x0,0]時,x+1≥eax,x∈(?∞,x0)∪(0,+∞)時,x+1＜eax.

4 觸類旁通彰顯本質(zhì)

事實上,類似于上面六個探究的問題不止這些,本文僅僅通過這六個探究問題加強學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識,提升學(xué)生分析問題的能力.再看下面一些問題,或直接或間接用到本文中所提及的思想.

題目1 (2016年高考數(shù)學(xué)文科山東卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=xlnx?ax2+(2a?1)x(a∈R),在x=1處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍.

思路探析f′(x)=lnx?2a(x?1)由圖1可知分四類討論:①2a≤0;②0＜2a＜1;③2a=1;④2a＞1.

題目2 (2010年高考數(shù)學(xué)新課標卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex?1?x?ax2,若當x≥0時,f(x)≥0,求實數(shù)a的取值范圍.

思路探析f′(x)=ex?2ax?1.由圖1可知分四類討論:①2a≤0;②0＜2a＜1;③2a=1;④2a＞1.

題目3 已知函數(shù)f(x)=ex?ax?1,當a＞0時,設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證:g(a)≤0.

思路探析f′(x)=ex?a.從而得f(x)的減區(qū)間為 (?∞,lna),増區(qū)間為 (lna,+∞).所以f(x)min=所以g(a)=由圖1或者圖4可知

題目4 (2015年高考數(shù)學(xué)理科福建卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=kx(k∈R)證明:當k＜1時,存在x0＞0,使得對任意的x∈(0,x0)恒有f(x)＞g(x).

思路探析如圖9,在同一坐標系可作函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖像.發(fā)現(xiàn):

①k≤0時,x∈(0,+∞)則f(x)＞g(x);x∈(?∞,0)則f(x)＜g(x);

圖9

②k＞1時,x∈(0,+∞)則f(x)＜g(x);x∈(?∞,0)則存在x2＜x0＜0,使得對任意的x∈(x0,0)恒有f(x)＞g(x);

③k=1時,直線y=g(x)恰好是y=f(x)在原點處的切線,此時f(x)≤g(x)在R上恒成立.

④0＜k＜1時,x∈(?∞,0)則f(x)＜g(x);x∈(0,+∞)則存在0＜x0＜x1,使得對任意的x∈(0,x0)恒有f(x)＞g(x).

由此可以看出該題目需要分k≤0和0＜k＜1兩種情況.而0＜k＜1時只需找到一個滿足0＜x0≤x1的x0即可.再結(jié)合圖1,可發(fā)現(xiàn)選取即可解答問題.

題目5 (2014年高考數(shù)學(xué)理科福建卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex?2x,證明:對任意給定的正數(shù)c,總存在x0,使得當x∈(x0,+∞)時,恒有x2＜cex.

圖10

思路探析要使x2＜cex成立,則需容易求得直線與y=lnx在點(2,ln2)處相切.此時該直線的縱截距如圖10,在同一坐標系可作函數(shù)的圖像.發(fā)現(xiàn):

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,教師要注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透,從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的認識從萌發(fā)意識到形成意向,最后掌握深化.教師再數(shù)學(xué)教學(xué)中還要盡量挖掘“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系,借助數(shù)形結(jié)合的“慧眼”,探索分析問題和解決問題的思想方法,變學(xué)生學(xué)會為會學(xué),不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).