孫丹青

（浙江省杭州市蕭山區(qū)金惠初級中學，浙江 杭州）

【教學目標】

1.回顧小學所學數(shù)的乘法，經(jīng)歷乘法法則的發(fā)生過程，掌握有理數(shù)的乘法法則，并正確地進行乘法運算。

2.理解幾個有理數(shù)相乘，積的符號如何確定。理解有理數(shù)的倒數(shù)定義。

3.經(jīng)歷兩個有理數(shù)相乘法則的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學生學會將實際問題抽象出數(shù)學對象，建立數(shù)學模型，激發(fā)學生的原創(chuàng)性與實踐性；初步經(jīng)歷“分析實際問題—建立數(shù)學模型—得出數(shù)學結果—把結果帶入實際問題檢驗—用實際數(shù)據(jù)檢驗模型的合理性”的建模過程。

【教學過程】

環(huán)節(jié)一：知識回顧，引入新課

【設計】

1.回顧小學乘法運算法則并引導學生回顧有理數(shù)的分類：正數(shù)、負數(shù)、0。

2.引導學生說出兩個有理數(shù)相乘的所有情形：正數(shù)×正數(shù)，正數(shù)×負數(shù)，負數(shù)×正數(shù)，負數(shù)×負數(shù)，0×正數(shù)，0×負數(shù)。

3.提出問題，引出課題。

師生活動：教師引導提出問題，學生獨立思考并口述，順利引出課題。

（設計意圖：從熟知的正數(shù)×正數(shù)的乘法運算到乘法的各種情形運算，激活學生原有的知識結構或經(jīng)驗，為下一步進行有意義的學習做好鋪墊；在自然狀態(tài)下遭遇困難，學生會自發(fā)地產(chǎn)生疑問，進而渴望尋求新方法。既降低思維難度，又培養(yǎng)了學生思維的嚴謹性，同時潛移默化地使學生體會數(shù)學知識螺旋式上升的編排。）

環(huán)節(jié)二：創(chuàng)設情境，初現(xiàn)模型

【設計】

情境引入：已知小紅同學在這條東西走向的金惠路上以300米/分的速度騎行，早晨7時恰好到達學校正門口。

【問題1】：2分鐘后，她在什么位置？可以用怎樣的算式表示？如果規(guī)定向東為正，學校正門為原點，如何在數(shù)軸上體現(xiàn)這一過程？

【問題2】：2分鐘前，她在什么位置？可以用怎樣的算式表示？

情境變化：此時小明同學正以300米/分的速度向西騎行，早晨7時也恰好到達學校正門口。

【問題3】：2分鐘后，小明在什么位置？可以用怎樣的算式表示？

師整理板書，提出問題4

（設計意圖：以情境問題為導引，由問題特殊性過渡到一般性的探討，培養(yǎng)學生數(shù)學模型意識，學生可以深刻感受生活中的數(shù)學問題。通過列不同的乘法算式，對乘法的概念認識會逐漸清晰，直至在學生頭腦中建立起“有理數(shù)乘法”的模型，提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。問題串形式一步步地引導學生，進一步激發(fā)學生的學習熱情，啟發(fā)學生用類比的方法探索，順利完成從舊知到新知的遷移。）

【現(xiàn)場】

（PPT動畫展示）已知小紅同學在這條東西走向的金惠路上以300米/分速度騎行，早晨7時恰好到達學校正門口。

問題1:2分鐘后，她在什么位置？

生2:2分鐘后，她在距離學校正門東側600米處。

師：若規(guī)定向東為正，學校正門為原點，你能在數(shù)軸上表示此時的位置嗎？可以用怎樣的算式表示呢？

生 3：（上臺板演）

300×2=600

師：很好，請問此時小紅朝的哪個方向？

生3：向東。

師：如何在數(shù)軸上體現(xiàn)呢？如何體現(xiàn)300乘以2的過程呢？

生4：（上臺板演并解釋）為了表示向東行駛，我用向右的箭頭表示。

問題2：2分鐘前，她在什么位置？可以用怎樣的算式表示？

生5：2分鐘前，她應該在-600處，即學校門口西邊的600米。算式為（-300）×2=-600。

師：請問這里的-300代表什么意義？

生5：-300代表向西300米。

師：請問2分鐘前，小紅是朝哪個方向騎行呢？

生5：向西。哦，不，好像也是向東。

師：同學們，你們還認同這位同學列的算式嗎？

生 6：老師，我覺得算式應該為 300×（-2）=-600。

師：請你解釋一下你的算式中300以及-2的實際意義。

生6:因為此時小紅還是向東行駛的，所以300應該是正數(shù)，也就是說300代表的每分鐘向東行駛300米，-2代表了2分鐘前，因為剛才2分鐘后，我們用2表示了，所以現(xiàn)在2分鐘前就要用-2表示了。

師：你的想法非常好，你能在數(shù)軸上體現(xiàn)這個算式嗎？

生6（上臺板演）

師：你們同意他的畫法嗎？

生7：我認為箭頭應該向右，因為還是向右行駛的。

師修改生6的板書：

300×（-2）=-600

情境變化：此時小明同學正以300米/分的速度向西騎行，早晨7時也恰好到達學校正門口。

問題3：2分鐘后，小明在什么位置？

生8：小明在學校正門西邊600米處，即-600。

師追問：很好，如何用算式表示？

生 8：2×（-300）=-600

師：請你解釋這里的2與-300的實際意義。

生8：因為還是規(guī)定向東為正，那么現(xiàn)在小明向西行，所以應該是-300，根據(jù)之前的規(guī)定，2分鐘后應該為正，所以就是+2.

師肯定了這位學生的表達，再次追問：誰能在數(shù)軸上體現(xiàn)這一過程？

生9（上臺板演）

環(huán)節(jié)三：合作交流，完善模型

【設計】

1.合作交流：你能求（-300）×（-2）的結果，并用實例解釋此算式的意義嗎？

2.用實例說明0×負數(shù)仍是0。

3.引導學生用自己的語言描述兩個有理數(shù)相乘的法則，教師做適當補充。

師生活動：問題4由學生小組交流共同完成，教師鼓勵小組代表上臺匯報解決問題的方法、步驟、結果等，教師做適當補充，師生共同得出問題4的結論。然后引導學生利用已建立的模型解釋0×負數(shù)仍得0的結論。再由學生觀察，通過特例的歸納，鼓勵學生自己總結有理數(shù)乘法法則。并用自己的語言加以描述，教師完善板書。

（設計意圖：初步體驗小組合作建立合適數(shù)學模型來解決問題的過程，激發(fā)學生的原創(chuàng)性與實踐性。小組內(nèi)每位同學都能參與到數(shù)學建模的環(huán)節(jié)中，通過類比、分析、猜想、合作的數(shù)學建模歷程得出負負得正的合理性。緊接著利用小組以建立好的數(shù)學模型進行大展示，鍛煉學生的語言組織能力和表達能力。問題4的難度設置要大于個人能力，小于合作能力，因此小組間學生的思維有了碰撞，使他們解決問題的思維過程暴露出來。并在展示思維成果的過程中，深化對負負得正的理解，進一步提高了學生的數(shù)學素養(yǎng)）

問題4：你能求（-300）×（-2）的結果，并用實例解釋此算式的意義嗎？

此問題是以小組交流的形式展開，讓學生繪制在事先準備好的白紙上，5分鐘后，以小組為單位展示交流成果。

生9：以上是我們小組的討論結果，其中-2代表2分鐘前，-300表示向西行駛，那么這個算式的實際意義就是小明向西行駛，2分鐘前位于學校正門東門 600米處，即（-300）×（-2）=600。

生展示完后，師補充板書：（+2）×（+300）=+600

（-2）×（-300）=+600

（-2）×（+300）=-600

（+2）×（-300）=-600

師：同學們，兩個有理數(shù)相乘除了以上四種情況，還有嗎？

生10：還有 0。

生11:0乘以任何數(shù)都得0。

師：為什么？

生11：小學里學過。

師：小學里我們只學了0與正數(shù)相乘，那0與負數(shù)相乘還成立嗎？比如0×（-300），你能用合適的生活情境解釋下嗎？

生12：老師，我們不妨用剛才的問題解釋，0代表的就是0分鐘后，-300代表每分鐘向西行300米，那么0分鐘后還是在原地，就是0。

師：這位同學解釋得非常好，數(shù)學問題從生活中來，又回到生活中去。接下來，請同學們觀察以上五個等式的左右兩邊，符號有什么規(guī)律？絕對值又有什么規(guī)律？

環(huán)節(jié)四：指導應用，深化理解

【設計】

1.口答：判斷下列各式的符號，并說明理由。

（1）（+12）×（-5）

（2）（-3.5）×2

（5）（-5）+（-3）

2.通過（3）與（4）的結果引出有關倒數(shù)的定義。

3.例1 計算：

師生活動：首先，教師出示題組1，要求學生在規(guī)定的時間內(nèi)完成，并組織學生以口答的形式馬上進行反饋；接著引導學生類比小學對倒數(shù)的理解，完善倒數(shù)的定義。而后教師出示題組3，板演解題步驟，規(guī)范解法。鼓勵學生做題后小結：兩個有理數(shù)相乘的基本步驟。

4.當堂練習1：

由（4）小題提出計算兩個以上的有理數(shù)相乘時如何確定積的符號。

師生活動：教師出題組4，學生獨立完成，教師巡視，尋找典型問題，引出多個有理數(shù)相乘的法則。

（設計意圖：題組一從基礎出發(fā)，讓學生能初步體驗成功，用學到的知識和經(jīng)驗選擇適當?shù)姆▌t進行判斷，側重于考查法則的掌握度。題組三強化學生對法則運用的熟練度，側重于培養(yǎng)學生從具體練習中觀察、辨析的能力。題組4（4）在練習反饋環(huán)節(jié)中利用“小展示”的設置，一方面是給學生創(chuàng)設表達、展示的“舞臺”，另一方面也是課堂重要典型的一些體現(xiàn)，這些體現(xiàn)來源于教師在巡視過程中的發(fā)現(xiàn)和整理，通過三位同學的不同解法，達到了思維碰撞，為提出多個有理數(shù)相乘法則做鋪墊。）

環(huán)節(jié)五：再探新知，類比深化

【設計】

1.判斷下列各式的符號

（-1）×2

（-1）×2×3 （-1）×2×3

（-1）×2×3×4 （-1）×2×（-3）×4

（-1）×2×3×4×5… （-1）×2×（-3）×4×（-5）…

由學生歸納，教師適當補充：

多個不為零的有理數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)確定。

負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，則積為負；

負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，則積為正；

（-1）×（-2）×（-3）×（-4）×0=0

幾個有理數(shù)相乘,當有一個因數(shù)為0時，積為0

2.當堂練習2

計算：（1）（-4）×5×（-0.5）； （2）（-5）×0×

（設計意圖：通過鞏固性練習，學生在反思總結的過程中實現(xiàn)了對多個有理數(shù)相乘的有關知識的深刻建構。)

環(huán)節(jié)六：歸納小結，反思提高

【設計】

通過本課的探討學習，你獲得了哪些新的知識，你認為有哪些方面的進步？

（設計意圖：讓學生進行小結，經(jīng)過學生個人回顧—同桌交流—給大家說說的過程，總結本節(jié)課的所做、所聽、所感，讓知識系統(tǒng)化、合理化。重視學生之間的相互補充，訓練學生的歸納和表述能力，提高學生學習的積極性和主動性。）

【課后反思】

1.本節(jié)課設置了豐富的問題情境，讓學生體會到了有理數(shù)乘法法則的發(fā)生、發(fā)展過程，內(nèi)容的選擇和呈現(xiàn)都關注了現(xiàn)實意義和學生的興趣，學生經(jīng)歷了有理數(shù)乘法法則的過程，模型化的味道較濃，也符合課標對數(shù)學建模教學的要求。

2.環(huán)節(jié)2與環(huán)節(jié)3的情境中通過諸多問題引導，學生可以深刻感受生活中的數(shù)學問題。通過列不同的乘法算式，對乘法的概念認識會逐漸清晰，直至在學生頭腦中建立起“有理數(shù)乘法”的模型，加之后期的應用鞏固，用模型去解釋、討論它在現(xiàn)實問題中的意義，“有理數(shù)乘法”建模的教學可以較好地完成。

3.環(huán)節(jié)1中“知識回顧”的內(nèi)容是學生有關“小學乘法運算”知識的儲備，屬于學生的“最近發(fā)展區(qū)”。學生對這些內(nèi)容是熟悉的，但并不明晰，將這些內(nèi)容先進行回顧梳理，是為本節(jié)課的教學奠定基礎，也可以認為這也是進行“有理數(shù)乘法”模型的自然滲透。

4.環(huán)節(jié)3中的小組交流的創(chuàng)設有利于加深學生對“負負得正”數(shù)學本質(zhì)的認識，數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，生活問題可以用“數(shù)學表達式”表示，反之，“數(shù)學表達式”也可以賦予有意義的生活背景。同時本環(huán)節(jié)的交流部分，學生分工合作，小組內(nèi)每位同學都能參與到數(shù)學建模的環(huán)節(jié)中。通過類比、分析、猜想、合作的數(shù)學建模歷程得出負負得正的合理性。緊接著利用小組已建立好的數(shù)學模型進行大展示，鍛煉學生的語言組織能力和表達能力。

5.本節(jié)課努力將學生的自我評價、同伴評價、教師評價結合在一起，從更全面的角度看待學生。

總之，這節(jié)課是以素養(yǎng)立意的課時：用數(shù)學的眼光觀察生活，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)；用數(shù)學的思維分析生活問題，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)；用數(shù)學的語言表達生活問題，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)。學習知識真正的目的是能運用于生活，能在看不到數(shù)學的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學應用的價值，才是學生數(shù)學建模素養(yǎng)的真正形成，教學要不斷引入開放性的實際問題，鼓勵學生積極思考，讓學生從實際問題的解決中獲得素養(yǎng)的提升。