曾建華，曾 偉，王志峰，賴(lài)寧安，桑志文，常 山，何鵬浩

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光的干涉與衍射的Matlab仿真及其實(shí)驗(yàn)觀測(cè)

*曾建華，曾 偉，王志峰，賴(lài)寧安，桑志文，常 山，何鵬浩

（上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，江西，上饒 334001）

利用Matlab仿真模擬了雙縫干涉隨縫寬變化的光強(qiáng)分布曲線(xiàn)，結(jié)果表明隨著縫寬的增大，干涉條紋受到單縫衍射的調(diào)制，最終變成雙縫衍射。通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)了不同縫寬的雙縫干涉與衍射圖樣，發(fā)現(xiàn)縫寬較大呈現(xiàn)的是雙縫衍射現(xiàn)象，縫寬減小后才觀測(cè)到明暗相間、等間距的雙縫干涉條紋，與模擬結(jié)果一致。同時(shí)根據(jù)光的雙縫干涉與單縫衍射所測(cè)數(shù)據(jù)測(cè)定了激光波長(zhǎng)。通過(guò)從理論與實(shí)驗(yàn)上對(duì)光的干涉與衍射的探究，直觀地展示干涉與衍射條紋分布特點(diǎn)，這能加深對(duì)光的干涉與衍射的理解和掌握。

干涉；衍射；Matlab；縫寬；激光波長(zhǎng)

光學(xué)是物理學(xué)中一門(mén)應(yīng)用性較強(qiáng)的基礎(chǔ)學(xué)科，也是當(dāng)前物理學(xué)很活躍的領(lǐng)域。光的干涉與衍射現(xiàn)象是光學(xué)課程最主要的內(nèi)容之一，它們都反映出光的波動(dòng)性本質(zhì)，彼此之間又有著明顯的區(qū)別，而且兩者常常同時(shí)出現(xiàn)在波動(dòng)現(xiàn)象中。光的干涉產(chǎn)生干涉條紋，光的衍射產(chǎn)生衍射條紋，都表現(xiàn)為光在遇到障礙物之后出現(xiàn)光的強(qiáng)度或明暗在空間穩(wěn)定分布的現(xiàn)象。從本質(zhì)上看，光的干涉與衍射都是相干迭加的結(jié)果，它們之間并不存在實(shí)質(zhì)性的物理差別，只是強(qiáng)調(diào)的側(cè)重點(diǎn)不同：光的干涉是有限幾束光振動(dòng)在疊加過(guò)程中的相長(zhǎng)和相消，強(qiáng)調(diào)的是光的直線(xiàn)傳播；而光的衍射則是無(wú)限多次子波的相干疊加，強(qiáng)調(diào)的是光的非直線(xiàn)傳播[1-4]。

雙縫干涉和雙縫衍射都是波的疊加結(jié)果。但是雙縫干涉得到理想結(jié)果有一個(gè)重要前提：每一條縫的寬度必須非常小甚至可以忽略，即縫寬應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于光源波長(zhǎng)。如果縫寬不能忽略，雙縫干涉要受到單縫衍射的調(diào)制，轉(zhuǎn)化為雙縫衍射。雙縫衍射產(chǎn)生的圖樣是單縫衍射調(diào)制下的雙縫干涉，是干涉和衍射的組合[5-6]。本文利用Matlab仿真模擬了雙縫干涉與衍射以及單縫衍射的光強(qiáng)分布曲線(xiàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)了不同縫寬的雙縫干涉與衍射和單縫衍射的圖樣，根據(jù)光的雙縫干涉和單縫衍射所測(cè)數(shù)據(jù)測(cè)定了光源波長(zhǎng)。

1 利用光柵光譜探討光的干涉與衍射

光柵光譜的光強(qiáng)分布為[1]：

其中

為單縫衍射光強(qiáng)分布；當(dāng)=2時(shí)，

即雙縫干涉光強(qiáng)分布。從此可以看出，雙縫干涉是在縫寬遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)時(shí)雙縫衍射的近似表現(xiàn)；當(dāng)縫寬增大時(shí)，衍射現(xiàn)象明顯，雙縫干涉圖樣就轉(zhuǎn)變成雙縫衍射圖樣[7-9]。

2 雙縫干涉與衍射光強(qiáng)分布的仿真模擬

綜合應(yīng)用大學(xué)物理、高等數(shù)學(xué)、數(shù)值算法和編程語(yǔ)言等相關(guān)知識(shí)對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行仿真和模擬有利于理解物理概念及現(xiàn)象[10-12]。我們運(yùn)用Matlab模擬計(jì)算了光的干涉和衍射的光強(qiáng)分布圖。光柵光譜的光強(qiáng)分布公式中，=2時(shí)就可模擬雙縫干涉與衍射的光強(qiáng)分布，輸入不同的或，可觀察它們對(duì)光譜分布的影響。圖1所示為縫數(shù)=2，縫間距=0.599 mm，透射縫寬從0.0001 mm到0.1 mm變化的幾張模擬結(jié)果，可以清楚地看出透射縫寬對(duì)光強(qiáng)分布的影響。

因?yàn)楣庠床ㄩL(zhǎng)為632.8 nm。在縫寬為0.0001 mm時(shí)，<<，衍射現(xiàn)象不明顯，光譜表現(xiàn)為干涉圖樣，如圖1（a）。在縫寬為0.01 mm時(shí)，衍射現(xiàn)象開(kāi)始顯現(xiàn)，如圖1（d）。在縫寬為0.05 mm時(shí)，衍射現(xiàn)象明顯，如圖1（e）。在縫寬為0.1 mm時(shí)，已經(jīng)可以看清單縫衍射整個(gè)輪廓，如圖1（f）。

圖1 運(yùn)用Matlab模擬雙縫干涉與衍射光強(qiáng)分布隨縫寬的變化

3 光的干涉與衍射的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)

3.1 雙縫干涉圖樣的觀測(cè)

我們對(duì)縫寬不同的雙縫開(kāi)展了光的干涉實(shí)驗(yàn)。由于鈉光燈亮度不夠，無(wú)法在光屏上得到清晰的干涉條紋，因此實(shí)驗(yàn)中的光源采用He-Ne激光器。對(duì)于如圖2（b）中縫寬和縫間距過(guò)大的雙縫Ⅰ，觀測(cè)到的不是干涉條紋，而是兩單縫衍射的疊加圖樣：將其中一個(gè)縫用遮光板擋去后觀察圖樣，再換另一個(gè)縫進(jìn)行遮擋觀察圖樣，經(jīng)比對(duì)發(fā)現(xiàn)都是單縫衍射條紋。實(shí)驗(yàn)中我們還在光源與雙縫之間放置了一個(gè)焦距很小的凸透鏡，對(duì)激光進(jìn)行擴(kuò)束，使得照射到雙縫上的光源從點(diǎn)光源變?yōu)榫€(xiàn)光源，觀測(cè)到的兩種光源狀態(tài)下的干涉圖樣，如圖2（c）和圖2（d）所示。從圖2顯示的結(jié)果能明顯看出，此時(shí)產(chǎn)生的是雙縫衍射現(xiàn)象。

（a）：光路原理圖，其中S、D和M分別為光源、雙縫和光屏，S1和S2為兩個(gè)狹縫；（b）：縫寬和縫間距較大的雙縫Ⅰ；（c）：激光未擴(kuò)束觀測(cè)到的圖樣；（d）：激光擴(kuò)束后觀測(cè)到的圖樣

為了得到更好的干涉效果，我們刻制了兩個(gè)縫寬和縫間距都較小的雙縫Ⅱ和Ⅲ進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如圖3（a）和圖3（d）所示?？p間距小于激光光斑尺寸，使得激光能照亮整個(gè)雙縫。相比而言，此次實(shí)驗(yàn)顯示出了較好的干涉圖樣，干涉明（暗）條紋等間距。對(duì)于激光未擴(kuò)束的點(diǎn)光源的條紋，其外圍能觀察到因受單縫衍射而產(chǎn)生的包絡(luò)線(xiàn)，如圖3（b）和圖3（e）。這也說(shuō)明任何時(shí)候都存在衍射，純干涉只是一種理想近似，實(shí)驗(yàn)上較難實(shí)現(xiàn)。激光擴(kuò)束后觀測(cè)到了明顯的雙縫干涉圖樣，明暗相間、等間距的豎條紋顯示在光屏上，如圖3（c）和圖3（f）。接著我們測(cè)量了激光擴(kuò)束時(shí)雙縫位置0、光屏位置1、雙縫到光屏的距離、雙縫間距和相鄰明紋間距Δ，并根據(jù)公式[1]

計(jì)算出了激光波長(zhǎng)，如表1和表2。而He-Ne激光器的激光波長(zhǎng)理論值為632.8 nm，所以基于雙縫Ⅱ和Ⅲ干涉測(cè)量激光波長(zhǎng)的誤差分別為：

均在允許的范圍內(nèi)。誤差主要來(lái)源于公式（7）中參數(shù)的測(cè)量，以及單縫衍射、雙縫間距對(duì)干涉圖樣的影響。

（a）：雙縫Ⅱ（= 0.60 mm）；（b）：雙縫Ⅱ激光未擴(kuò)束的干涉圖樣；（c）：雙縫Ⅱ激光擴(kuò)束后的干涉圖樣；（d）：雙縫Ⅲ（= 0.70 mm）；（e）：雙縫Ⅲ激光未擴(kuò)束的干涉圖樣；（f）：雙縫Ⅲ激光擴(kuò)束后的干涉圖樣

圖3 縫寬和縫間距都較小的雙縫干涉

Fig.3 Interference of two-slit with narrow slit width and spacing

表1 利用雙縫Ⅱ的干涉對(duì)激光波長(zhǎng)的測(cè)定

3.2 光的單縫衍射實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證通過(guò)雙縫干涉實(shí)驗(yàn)對(duì)激光波長(zhǎng)的測(cè)定結(jié)果，我們又開(kāi)展了光的單縫衍射實(shí)驗(yàn)，并分別觀測(cè)了激光擴(kuò)束前、后的衍射圖樣，如圖4所示。從圖4（c）和圖4（d）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到：?jiǎn)慰p衍射條紋中央亮條紋亮度最大；中央亮條紋寬度是兩側(cè)亮條紋寬度的2倍；未擴(kuò)束的點(diǎn)光源與擴(kuò)束后的線(xiàn)光源產(chǎn)生的衍射條紋間距相同，其不同點(diǎn)在于點(diǎn)光源產(chǎn)生的干涉條紋較亮，線(xiàn)光源產(chǎn)生的干涉條紋較暗。同時(shí)，我們對(duì)照實(shí)驗(yàn)的單縫參數(shù)運(yùn)用Matlab仿真模擬了單縫衍射的光強(qiáng)分布，發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合，如圖5所示。然后我們測(cè)量了單縫的縫寬、單縫與光屏的距離和同級(jí)條紋間距 2x，并根據(jù)公式[1]

計(jì)算出了激光波長(zhǎng)，如表3所示。與根據(jù)雙縫干涉測(cè)量激光波長(zhǎng)的情況一致，通過(guò)單縫衍射測(cè)得的激光波長(zhǎng)與理論值也很接近，誤差也在允許的范圍內(nèi)。

（a）：?jiǎn)慰p衍射光路原理圖，其中S1、S2、L、M和分別是光源、單縫、用來(lái)聚焦的凸透鏡、光屏和各級(jí)亮條紋到中央亮條紋的間距；（b）：?jiǎn)慰p；（c）：激光未擴(kuò)束的單縫衍射圖樣；（d）：激光擴(kuò)束后的單縫衍射圖樣

圖4 光的單縫衍射

Fig.4 Single-slit diffraction of light

圖5 Matlab仿真模擬單縫衍射的光強(qiáng)分布

表3 利用單縫衍射測(cè)定激光波長(zhǎng)

Table 3 Determination of laser wavelength based on single-slit diffraction

4 結(jié)論

本文利用Matlab仿真模擬了雙縫干涉隨縫寬變化的光強(qiáng)分布曲線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)隨著縫寬的增大，干涉條紋在單縫衍射的調(diào)制下變?yōu)殡p縫衍射。在實(shí)驗(yàn)上也觀測(cè)到了雙縫干涉圖案隨縫寬變化而變化，與Matlab仿真模擬結(jié)果一致。同時(shí)根據(jù)光的雙縫干涉與單縫衍射所測(cè)數(shù)據(jù)測(cè)定了He-Ne激光器的激光波長(zhǎng)。通過(guò)從理論與實(shí)驗(yàn)上對(duì)光的干涉與衍射的探究，直觀地展示干涉與衍射條紋分布特點(diǎn)，這有助于對(duì)光的干涉與衍射的理解和掌握。

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MATLAB SIMULATION AND EXPERIMENTAL OBSERVATION ON INTERFERENCE AND DIFFRACTION OF LIGHT

ZENG Jian-hua, ZENG Wei, WANG Zhi-feng, LAI Ning-an, SANG Zhi-wen, Chang Shan, HE Peng-hao

(School of Physics and Electronic Information, Shangrao Normal University, Shangrao, Jiangxi 334001, China)

The distribution curve of light intensity with slit width for two-slit interference was presented by using Matlab simulation. The results show that two-slit interference becomes two-slit diffraction while increasing slit width, which is caused by the modulation of single-slit diffraction. Two-slit interference and diffraction patterns with different slit widths were observed through experiments, two-slit diffraction was showed for wide slit. Light-dark interchange and equal spacing stripes were observed after slit width was reduced, which was consistent with simulation results. At the same time, the laser wavelength was measured based on two-slit interference and single-slit diffraction. By exploring interference and diffraction of light in the theory and experiment, the characteristics of interference and diffraction fringe distribution are shown intuitively, which can deepen the understanding and mastery of interference and diffraction of light.

interference;diffraction; Matlab; slit width; laser wavelength

1674-8085(2018)03-0009-04

O436.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2018.03.003

2018-04-11；

2018-04-30

江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ170923)；江西省上饒市科技局工業(yè)科技項(xiàng)目（5000110-255）；上饒師范學(xué)院博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(6000108)

*曾建華(1978-)，男，江西寧都人，講師，博士，主要從事光學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)和微、納光電材料與器件的研究(E-mail:zjhndkm@sina.com);

曾 偉(1996-)，男，江西會(huì)昌人，上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院本科生(E-mail:1712605467 @qq.com);

王志峰(1996-)，男，江西信豐人，上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院本科生(E-mail:1592562649@qq.com);

賴(lài)寧安(1995-)，男，江西興國(guó)人，上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院本科生(E-mail:1822404154@qq.com);

桑志文(1962-)，男，江西玉山人，副教授，碩士，主要從事光纖通信的研究(E-mail:sangzhiwen@126.com);

常 山(1964-)，男，山東陽(yáng)谷人，副教授，碩士，主要從事信息光學(xué)的研究(E-mail:cs0328@126.com);

何鵬浩(1991-)，男，江西上饒人，助教，碩士，主要從事光學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)和光電成像的研究(E-mail:1156717605@qq.com).