☉江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué) 徐梅香

一、分析現(xiàn)狀，找準(zhǔn)問(wèn)題

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn).圓錐曲線題大多是中檔題，教師和學(xué)生都給予足夠的重視，在平時(shí)教與學(xué)的過(guò)程中都投入大量的時(shí)間和精力.圓錐曲線是學(xué)生能否取得高分的一道分水嶺，而好多學(xué)生越不過(guò)這道坎.在高三二輪復(fù)習(xí)的時(shí)候常會(huì)有同學(xué)這樣問(wèn)：“做題時(shí)該設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)還是設(shè)直線的斜率？”從中可以看到，圓錐曲線解答題做題的入口處，也就是如何選參，以哪些對(duì)象為載體實(shí)施解題過(guò)程，學(xué)生容易產(chǎn)生解題的困惑和迷茫，從而阻礙思維，于是產(chǎn)生思維坎.

2016年蘇州大學(xué)畢業(yè)生張平準(zhǔn)備學(xué)位論文時(shí)，在學(xué)生對(duì)解析幾何中核心概念理解、基本公式的推導(dǎo)與證明以及基本思想運(yùn)用情況方面做了詳細(xì)的研究，研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在解析幾何學(xué)習(xí)中存在的主要問(wèn)題是：對(duì)解析幾何的基本概念與基本公式理解不足；對(duì)解析幾何的基本思想理解不到位；代數(shù)運(yùn)算能力弱.

這三個(gè)方面問(wèn)題的總結(jié)具有普遍性和代表性，其中以第一個(gè)問(wèn)題為主，思想和方法的滲透需要附著于基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，運(yùn)算能力的提升更要依賴基礎(chǔ)知識(shí)的理解和基本方法的運(yùn)用，“如果不先教明概念，便是教得不好”（夸美紐斯語(yǔ)），因而找尋破除解題思維坎的關(guān)鍵“點(diǎn)”應(yīng)該從根本出發(fā)，回歸課本，緊扣教材，從基本概念出發(fā)，深度剖析概念的本質(zhì)，從概念學(xué)習(xí)領(lǐng)悟過(guò)程中找尋破除思維坎的關(guān)鍵”點(diǎn)”.

二、剖析概念，尋“關(guān)鍵點(diǎn)”

下面以橢圓教學(xué)為例，闡述破除圓錐曲線思維坎的關(guān)鍵“點(diǎn)”.

1.橢圓的定義刻畫(huà)“點(diǎn)”的幾何性質(zhì)

橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（記為2a，大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距（記為2c，a＞c＞0）.

橢圓上任意一點(diǎn)記為P，可表示為：|PF1|+|PF2|=2a.

（1）看式子的類型，定義描述的是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件是一個(gè)等式，變化的對(duì)象是一個(gè)點(diǎn)，不變的是兩個(gè)定點(diǎn)一個(gè)常數(shù)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)，但是滿足的條件是確定的，因而點(diǎn)P是有確定等量關(guān)系的點(diǎn).

（2）看解題規(guī)律，一般總會(huì)用已知表示未知，用條件求解結(jié)論，此處的點(diǎn)P是可用的點(diǎn).

（3）看圓錐曲線題型，常出現(xiàn)定值、定點(diǎn)、最值、范圍問(wèn)題，這些問(wèn)題背后一定有確定的關(guān)系調(diào)控著，橢圓的定義揭示的就是一個(gè)定值問(wèn)題，此處的點(diǎn)P是有主動(dòng)權(quán)的點(diǎn).

（4）看變量類型，橢圓的定義揭示點(diǎn)P是以幾何形式呈現(xiàn)的，它的變化可以用兩條線段的長(zhǎng)（兩個(gè)變量）來(lái)刻畫(huà)，此處的點(diǎn)P是可聯(lián)系變量的點(diǎn).

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程揭示點(diǎn)的代數(shù)性質(zhì)

借助平面直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)法），實(shí)現(xiàn)了將幾何條件代數(shù)化，點(diǎn)P的代數(shù)形式是坐標(biāo)（x，y），以焦點(diǎn)在x軸上為

（1）該等式涉及兩個(gè)變量x，y，點(diǎn)P的可用之處就是它的坐標(biāo)滿足確定的關(guān)系，該式可以整體使用，

以上從兩個(gè)方面分析了橢圓上的點(diǎn)所具有的性質(zhì)，我們完全有理由把橢圓上的點(diǎn)定位為破除圓錐曲線解題思維坎的“關(guān)鍵點(diǎn)”.

三、分類研究，以“點(diǎn)”破坎

1.橢圓上一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

例1 已知橢圓方程

此處解題的切入口是刻畫(huà)點(diǎn)P，設(shè)出有條件的兩個(gè)變量|PF1|=r1，|PF2|=r2，建立目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用已知條件（橢圓定義）求解最值問(wèn)題.

說(shuō)明：證法一直接使用橢圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)表示其他相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，最終將P滿足的確定的等量關(guān)系代入化簡(jiǎn)，求得答案.證法二利用斜率刻畫(huà)橢圓上點(diǎn)P條件，簡(jiǎn)化了直線方程的形式，實(shí)質(zhì)和法一相同.無(wú)論哪種方法都?xì)w功于橢圓上點(diǎn)P，它是一個(gè)重要的關(guān)鍵點(diǎn)，是打開(kāi)思路的一個(gè)切入點(diǎn).

2.橢圓上兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

（1）滿足一定條件的橢圓上兩個(gè)自由關(guān)鍵點(diǎn)

圖1

求點(diǎn)P的軌跡方程，即建立P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系，而橢圓上兩個(gè)點(diǎn)M，N就是具有條件的點(diǎn)，用已知條件兩點(diǎn)M，N的坐標(biāo)關(guān)系揭示與之相關(guān)的點(diǎn)P的特征，這恰恰符合解題的一般規(guī)律.

（2）同是一條直線與橢圓的交點(diǎn)的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

圖2

需要用點(diǎn)C，D的坐標(biāo)表示目標(biāo)，C，D滿足兩個(gè)條件，既是橢圓上的點(diǎn)，又是AB平行直線上的點(diǎn)，如果將橢圓上點(diǎn)所滿足的關(guān)系（二次方程）直接代入到目標(biāo)（一次）化簡(jiǎn)，勢(shì)必引發(fā)次數(shù)的不匹配，所以需要更換運(yùn)用條件的順序，引入直線方程，C，D這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)就是直線方程和橢圓方程聯(lián)立后方程組的解，可以借助韋達(dá)定理，整體代入.

3.橢圓上多個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（兩個(gè)以上），一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)

圖3

證明：設(shè)P（x0，y）0，A（x1，y）1，B（x2，y2），F(xiàn)（1-c，0），F(xiàn)（2c，0），則

又P（x0，y0）在橢圓上，即有a2y02=a2b2-b2x02，代入上式并化簡(jiǎn)得：b2λ12-2 （cx0+c2）λ1-a2-c2-2cx0=0，解得λ1=

P、A、B都是橢圓上的關(guān)鍵點(diǎn)，其中P是主動(dòng)點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)可以結(jié)合向量條件由P點(diǎn)表示，再將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)回代到橢圓方程中，得到λ1（λ2）與同一對(duì)象點(diǎn)P坐標(biāo)的關(guān)系，達(dá)到證明的目的.

四、結(jié)束語(yǔ)

圓錐曲線是訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)算能力，提升思維能力的很好載體.從知識(shí)層面上，要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì).從方法層面上，要重點(diǎn)掌握?qǐng)A錐曲線中的關(guān)鍵點(diǎn)的處理方法，比如橢圓上的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)可以直接使用，兩個(gè)直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)聯(lián)立方程組，解點(diǎn)坐標(biāo)或者設(shè)而不求，整體代入；多個(gè)橢圓上的關(guān)鍵點(diǎn)可以采用回代的方法.將對(duì)橢圓上的點(diǎn)的分析作為探尋解題思路的關(guān)鍵，實(shí)現(xiàn)做題切入難問(wèn)題的突破，真正做到以點(diǎn)破坎，學(xué)生的思維能力在找點(diǎn)，用點(diǎn)的過(guò)程得到了順利提升.從數(shù)學(xué)思想層面上，方法的落實(shí)要依賴思想的引領(lǐng)，代數(shù)方法的背后是方程（方程組）思想，坐標(biāo)使用背后是變量思想，使用過(guò)程中要貫穿整體思想、消元思想及函數(shù)思想.J