☉江蘇省張家港市樂余高級中學(xué) 王慶龍

課本是高中數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí)的根據(jù)地，課本是高考命題的策源地，課本練習(xí)題是課本的重要組成部分.在平時的教學(xué)中，課本練習(xí)題是課堂練習(xí)的主要部分，適當(dāng)對課本練習(xí)題進(jìn)行變式探究，可以達(dá)到舉一反三，觸類旁通的效果，也發(fā)揮了課本練習(xí)的最大功效.以下是筆者對課本中的一道解三角形練習(xí)題進(jìn)行變式探究，以饗讀者.

圖1

人教A版必修5教材高中數(shù)學(xué)第一章解三角形1.2應(yīng)用舉例第21頁練習(xí)第2題：有一塊四邊形土地的形狀如圖1所示，它的三條邊的長分別是50m，60m，70m，兩個內(nèi)角是127°和132°，求四邊形的面積（精確到0.1m2）.

本題考查了正弦定理、余弦定理、以及三角形的面積公式，也考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，將四邊形的面積化歸為兩個三角形面積之和，但計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)時，需要借助計(jì)算器，但是只會計(jì)算器算，不進(jìn)行筆算，不利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算求解能力，也不利于對解三角形中相關(guān)算理的理解.在此筆者順勢引導(dǎo)學(xué)生，對這道試題進(jìn)行了變式探究.

二、變式探究

思路1：將上述練習(xí)題目題設(shè)中的數(shù)據(jù)改變，不給出具體的角度，給定內(nèi)角∠A與∠C為互補(bǔ)關(guān)系，并給出四條邊的具體長度，有以下變式1：

變式1：四邊形ABCD的內(nèi)角∠A與∠C互補(bǔ)，AB=2，BC=6，CD=DA=4，

（1）求∠C和BD；

（2）求四邊形ABCD的面積.

分析：（1）先利用余弦定理列出關(guān)系，再結(jié)合方程思想求解；（2）將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積求解.

點(diǎn)評：本題考查余弦定理和三角形的面積公式.本題中將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積求解，考查了應(yīng)用意識和化歸的轉(zhuǎn)化思想.

思路2：將題設(shè)條件中的四邊形設(shè)置為圓內(nèi)接四邊形，并給出四邊長度，求四邊形面積.

變式2：圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，則四邊形ABCD的面積是______.

分析：先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出內(nèi)對角的關(guān)系，再利用余弦定理列出關(guān)系，再結(jié)合方程思想求解，最后將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積求解.

解：由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠A+∠C=π，

所以cosC=-cosA，sinA=sinC.

由題設(shè)及余弦定理可知，

圖3

點(diǎn)評：本解法利用余弦定理解方程組得出cosA的值，再由三角函數(shù)平方關(guān)系式得出sinA的值，最后將四邊形ABCD的面積化歸為△ABD和△BCD的面積和，利用三角形面積公式解答.

思路3：在高考解三角形的考查中，通常將解三角形與三角恒等變換等進(jìn)行綜合考查.將題設(shè)再進(jìn)行改編，可得到如下變式3.

評注：本題將三角恒等變換與解三角形結(jié)合起來，考查了二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，還考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，以及函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.本題的關(guān)鍵體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)，一是利用角的關(guān)系消角，體現(xiàn)了消元的思想；二是用余弦定理列方程組求三角函數(shù)值，體現(xiàn)了方程思想.

三、教學(xué)啟示

1.羅增儒說：“一旦獲解，就立即產(chǎn)生感情上的滿足，從而導(dǎo)致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機(jī)會，無異于入寶山而空返.”本例在對數(shù)學(xué)課本練習(xí)的教學(xué)中，沒有停留在解出題目上，而是解題后進(jìn)行了變式探究.通過一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)向機(jī)智及思維的應(yīng)變性，實(shí)現(xiàn)提高發(fā)散思維的變通性.把課本練習(xí)題通過變換條件，變換結(jié)論，變換命題等，使之變?yōu)楦袃r(jià)值，有新意的新問題，從而應(yīng)用更多的知識來解決問題，獲得“一題多練”、“一題多得”的效果.

2.本例課本練習(xí)教學(xué)中，通過變式探究，切實(shí)達(dá)到以解三角形的教學(xué)為載體，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，也培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，也使數(shù)學(xué)課本習(xí)題的教學(xué)價(jià)值得到充分提升.

3.高考是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指揮棒.在設(shè)置課本練習(xí)的變式題時，要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情控制好變式題目的難度，要遵循高考數(shù)學(xué)考試大綱的要求，遵循不超綱的原則.以上三個變式題目全部改編自高考數(shù)學(xué)試題.其中，變式1和變式2改編自2014年新課標(biāo)全國卷Ⅱ文科第17題，變式3改編自2015年四川卷理科第19題.