☉江蘇省南京市東山外國語學(xué)校 王玉清

對稱的本質(zhì)是指兩個物體或兩個圖形相對和相稱，對稱問題是高中數(shù)學(xué)中的常見問題之一，用解析幾何的方法研究對稱問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要應(yīng)用，也是處理高中數(shù)學(xué)幾何問題的思維方法，幾何對稱問題是高考數(shù)學(xué)中重要題型之一，一直受到一線教師的關(guān)注.本文以高中數(shù)學(xué)幾何對稱題為研究對象，著力于多個角度探討幾何對稱題的解題方法，以期實(shí)現(xiàn)學(xué)生解題能力的不斷提升，推動課堂教學(xué)效率的提高.

一、幾何對稱問題的分類思考

在高中解析幾何中，對稱問題涉及“中心對稱與軸對稱”兩種類型；中心對稱是指兩點(diǎn)連成線段，關(guān)于該線段的中點(diǎn)對稱，一般的處理手段為：若點(diǎn)M（x1，y1）和點(diǎn)N（x2，y2）關(guān)于點(diǎn)O（x0，y0）對稱，則它們之間坐標(biāo)滿足x0=的中垂線對稱，“垂直、平分”是構(gòu)建方程的關(guān)鍵條件，一般處理手段為：令點(diǎn)M（x1，y1）和點(diǎn)N（x2，y2）關(guān)于直線y=

二、幾何對稱問題的多元剖析

例1 若在拋物線y=ax2-1上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：x+y=0對稱，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.y

圖1

方法1：易知a>0，根據(jù)題意構(gòu)建拋物線與直線l圖形，如圖1所示，令M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩點(diǎn)，連接MN，根據(jù)幾何關(guān)系可知，直線l為線段MN的垂直平分線，直線l與線段MN的交點(diǎn)為P（x0，y0），可令直線MN的函

點(diǎn)評：此解法是借助于一元二次方程的判別式構(gòu)建不等式求解變量范圍，解決本題的關(guān)鍵是借助于拋物線上的兩個關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)，構(gòu)建直線與拋物線存在兩個交點(diǎn)，即函數(shù)方程Δ＞0；巧妙運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)代入對稱軸方程，將引入的未知參量b消去，進(jìn)而得出所求參量a的取值范圍.

點(diǎn)評：此解法主要運(yùn)用拋物線上存在兩個關(guān)于直線x+y=0對稱的點(diǎn)，采取替換方式構(gòu)建方程組，借助于代數(shù)運(yùn)算構(gòu)建關(guān)于x1的一元二次方程，根據(jù)判別式形成不等式關(guān)系求出變量a的取值范圍.顯然，這種解法思路清晰、過程簡潔，充分展現(xiàn)解析幾何中位置與代數(shù)中數(shù)量關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)換，此解法中將解析幾何數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)得“淋漓盡致”.

點(diǎn)評：此解法中將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，采用代數(shù)變形的方式求出兩個對稱點(diǎn)的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)一定在拋物線圖形內(nèi)部的幾何特點(diǎn)構(gòu)建不等式，進(jìn)而求出變量a的取值范圍，這也是此解法的關(guān)鍵之處；可見，運(yùn)用了點(diǎn)和曲線的位置特征構(gòu)建不等關(guān)系進(jìn)行求解問題，不失為一種極其有效的數(shù)學(xué)思想方法.

例2 直線a和直線b關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對稱，已知直線a的方程為2x+y-4=0，試求直線b的方程.

圖2

點(diǎn)評：本題處理的手段具有一定的特殊性，首先在直線a上確定一個特殊點(diǎn)A（2，0），根據(jù)對稱性，構(gòu)建直線AB⊥l（A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱），根據(jù)對稱性特征列方P，聯(lián)立方程組求出P（3，-2），再根據(jù)直線b上存在B、P兩點(diǎn)，求出直線b的方程；顯然，本題中特殊點(diǎn)的引入大大簡化了代數(shù)運(yùn)算，也是成功解題的關(guān)鍵之處.

方法2：根據(jù)題意，直線a、b關(guān)于對稱軸l：3x+4y-1=0對稱，令直線a上存在動點(diǎn)A（x1，y1），在直線b上的對稱點(diǎn)為B（x，y），直線AB⊥l且線段AB的中點(diǎn)在直線l上，則線a與直線l、直線b存在交點(diǎn)方程：2x+y-4=0，可直線b的方程為：2x+11y+16=0.

點(diǎn)評：此法關(guān)鍵在于對稱軸L為線段AB的中垂線，在直線a上任取一動點(diǎn)A（x1，y1），根據(jù)中垂線特征構(gòu)建方程組，建立x、y與x1、y1的關(guān)系，最終得出直線b的方程；本題中涉及多個變量，對學(xué)生的能力要求較高，教師可以借助于典型案例剖析，引導(dǎo)學(xué)生辨析各個變量的內(nèi)涵，掌握合理的解題規(guī)律，不斷提升數(shù)學(xué)解題能力.

三、結(jié)束語

總而言之，本文中探討的典型案例是以對稱為背景的求解參數(shù)變量范圍的問題，處理問題的主導(dǎo)思想是利用直線與曲線交點(diǎn)的幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程、代數(shù)不等式的形成進(jìn)行求解.眾所周知，對稱問題是數(shù)學(xué)高考中的重點(diǎn)、難點(diǎn)和熱點(diǎn)，處理這類問題可以從多個角度進(jìn)行思考，抓住幾何對稱性特征與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，高效處理此類問題，進(jìn)而達(dá)到“事半功倍、減負(fù)增效”的目的.F