☉江蘇省宜興市和橋高級中學(xué) 吳天添 張 菁
高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)在課程基本理念中對抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)作出了一定的強(qiáng)調(diào)和要求,數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識并抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)并充分調(diào)動自己的數(shù)學(xué)思維,以正確的理念和態(tài)度投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中并獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高質(zhì)與實(shí)效.
人們從不同角度看待數(shù)學(xué)便能對數(shù)學(xué)本質(zhì)這一數(shù)學(xué)哲學(xué)范疇內(nèi)的概念產(chǎn)生不同的認(rèn)識,數(shù)學(xué)本質(zhì)往往伴隨著人們意識形態(tài)與知識的發(fā)展而處于不斷深化與發(fā)展之中.
數(shù)學(xué)在19世紀(jì)以前因其與自然、社會、科學(xué)等的緊密聯(lián)系被普遍認(rèn)為是一門自然科學(xué),那時期的人們將數(shù)學(xué)一直認(rèn)為是研究抽象結(jié)構(gòu)的關(guān)于模式的理論和學(xué)問.20世紀(jì)以后,數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)的發(fā)明與廣泛應(yīng)用之后與高新技術(shù)等產(chǎn)生了更廣泛、更緊密的聯(lián)系,但與現(xiàn)實(shí)之間的距離卻越來越遠(yuǎn),很多學(xué)者將數(shù)學(xué)看成了基礎(chǔ)學(xué)科、技術(shù)學(xué)科、工程技術(shù)學(xué)科的綜合體.
數(shù)學(xué)活動的社會性決定了數(shù)學(xué)這一現(xiàn)代文化素養(yǎng)涉及的是所有人,數(shù)學(xué)教學(xué)在關(guān)注知識、技能、過程、方法、能力、學(xué)生情感等方面的同時更應(yīng)關(guān)注對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).
從科學(xué)與課程這兩個角度來看待數(shù)學(xué)本質(zhì)是有一定差別的.從科學(xué)的角度來說,人類是研究主體,未知的數(shù)學(xué)規(guī)律是研究的主要內(nèi)容;從課程的角度來看,學(xué)生是研究主體,已知的數(shù)學(xué)知識是學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容.相對說來,前者在研究方式上比后者更為獨(dú)立,前者的研究性質(zhì)屬于創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn),而后者相對更加被動.
很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思考問題時都是比較膚淺的,長期的惰性導(dǎo)致其思維深刻性無法得到更好的發(fā)展,因此,數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深刻性的思考.
例1設(shè)a>0,a≠1,0<x<1,比較|loga(1-x)|,|loga(1+x)|的大小.
這一解法比分類討論a>1、0<a<1要簡單得多,不過這一解法對于學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、綜合各種方法提出了更高的要求,采取對數(shù)運(yùn)算、放縮法等思想對比商法的值與1進(jìn)行比較是解答本題的關(guān)鍵,放縮法雖有一定難度,但不等式的傳遞性這一本質(zhì)的應(yīng)用能起到很好的作攫取也使學(xué)生的思維得到了深入發(fā)展.
學(xué)生對自己的錯誤解法根本無法探求其根源,經(jīng)過筆者一再的提示才意識到這一函數(shù)的周期性是有范圍的.事實(shí)上,學(xué)生在上述解答中如果能注意到f(x)=f(x-1)-f(x-2)成立的條件為x>0,則f(x-1)=f(x-2)-f(x-3)中的x>1,即f(x)=-f(x-3)中的x>1,而f(x-3)=-f(x-6)中的x>4,即f(x)=f(x-6)中的x>4,故f(x-6)=f(x)中的x>-2,因此,函數(shù)f(x)的周期性只能在x>-2時成立,學(xué)生的解題錯誤產(chǎn)生了.學(xué)生如果能對函數(shù)周期性的范圍進(jìn)行研究再按以下解法即可正確求解:
(f2014)=(f6×350+4)=(f4)=(f3)-(f2)=(f2)-(f1)-住函數(shù)f(x)的周期性在x>-2時成立這一本質(zhì)特征順利解題并令學(xué)生思維的深刻性得到培養(yǎng).
很多學(xué)生在解決具體問題時往往會將其成立的條件忽視掉,教師在平時的教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生明確條件的變化并因此準(zhǔn)確攫取問題的本質(zhì)以促進(jìn)思維深刻性的發(fā)展.
例3 已知等差數(shù)列 {an},{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn,
變式1:已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn,
這一解法一經(jīng)呈現(xiàn)就遭到了很多學(xué)生的質(zhì)疑與反對,有學(xué)生很快指出應(yīng)一關(guān)系時應(yīng)使分子與分母的下標(biāo)相同,學(xué)生在一定的探討中給出了下述正確的解法:
根據(jù)題意,令Sn=An(n+2),Tn=An(3n+4)(A為非零常
學(xué)生所探討出的這一解法之所以巧妙,主要在于解題時將等差數(shù)列前n項(xiàng)和為關(guān)于n的二次函數(shù)這一本質(zhì)探討了出來,學(xué)生的思維因此達(dá)到了更高的一個層面,不過,這一解法和之前大家反對的解法解出的結(jié)果卻是一樣的,這究竟是巧合呢?還是因?yàn)槠浔举|(zhì)的聯(lián)系而導(dǎo)致的呢?學(xué)生面對這一新問題又炸開了鍋,很多學(xué)生也產(chǎn)生了如果不是巧合不如采取前面一種解法的念頭,為了解開學(xué)生的疑惑并端正學(xué)生的思想,筆者針對此題又進(jìn)行了新的變式設(shè)計(jì):
變式2:已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別是Sn,
教師設(shè)計(jì)出變式2主要是為了數(shù)學(xué)本質(zhì)的凸顯并將學(xué)生思維推向更高的層面.類比上一解法可得:
根據(jù)題意,令Sn=An(n+2),Tn=An(3n+4)(A為非零
變式教學(xué)能夠有效培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性,變式1與變式2的探討與解決使學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識更加深入,因此,教師在平時的教學(xué)中應(yīng)及時關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展并進(jìn)行有意義的變式訓(xùn)練設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)針對性的問題來幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行更好的理解并因此促成其思維的深入發(fā)展.
很多數(shù)學(xué)本質(zhì)都是深藏于問題之中的,教師在平時的教學(xué)中應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行深刻的辨析,使學(xué)生在去偽存真、去粗取精的過程中不斷拓展解題思路并獲得更多的思維方法,在準(zhǔn)確攫取數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.F