方志陽(yáng)，駱天舒，徐少杰，方 寅

(杭州汽輪機(jī)股份有限公司，浙江 杭州 310022)

0 引 言

透平葉片二維截面型線的中弧線是透平葉片氣動(dòng)概念設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)：透平葉片中弧線軌跡是構(gòu)造葉片初始就要確定的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)中心在中弧線上一系列內(nèi)切圓半徑就可以給出葉片的延弦長(zhǎng)方向分布的厚度，進(jìn)而得到葉片二維截面型線；有了中弧線才可以給出進(jìn)出氣角等數(shù)據(jù)，然后可以確定速度三角形。以上所述是正向設(shè)計(jì)的過(guò)程。

在逆向設(shè)計(jì)過(guò)程中，先有葉片二維截面型線數(shù)據(jù)，如果要得到進(jìn)出氣角數(shù)據(jù)及速度三角形，就需要逆向求出中弧線數(shù)據(jù)，也就是葉片二維截面型線內(nèi)部的一系列內(nèi)切圓數(shù)據(jù)，一系列內(nèi)切圓圓心就能構(gòu)成和中弧線近似的插值曲線。以往的研究中有兩種傳統(tǒng)方法：陸啟韶[1]提出了一種逐次迭代方法來(lái)求葉片型線內(nèi)切圓序列，徐旭嶺等[2-4]也采用了這種方法；LI等[5]提出了另一種不同的方法。但是這兩種傳統(tǒng)方法有一個(gè)共同的不足之處，即在前緣或尾緣附近很難得到內(nèi)切圓。

針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出一種混合方法，即在葉片前緣和尾緣處利用最優(yōu)化算法擬合出和前緣及尾緣型線最匹配的內(nèi)切圓，而在葉片的其他部位使用前述的兩種傳統(tǒng)方法。

1 方 法

傳統(tǒng)方法1如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)算法1幾何演示

在傳統(tǒng)方法1中，一般葉片二維截面型線由壓力面型線和吸力面型線構(gòu)成，其中一條型線由函數(shù)y=f1(x)描述，另一條型線表示為函數(shù)y=f2(x)。

傳統(tǒng)方法2如圖2所示。

圖2 傳統(tǒng)算法2演示

在傳統(tǒng)方法2中，首先生成一條試探性的初始中弧線m(w)(w可以看作型線上一點(diǎn)在弦長(zhǎng)上的投影)，取內(nèi)接圓的半徑r(w)為中弧線上一點(diǎn)m(w)到上下兩條型線最近點(diǎn)距離的平均值。每根型線q(t)離散為N個(gè)點(diǎn)。型線q(t)上一點(diǎn)q的法線矢量表示為n，該法線與初始中弧線交于m(w)。點(diǎn)q到m(w)的距離與r(w)之差為：dq,m(w)=[q-m(w)]gn-|r(w)|。

然后攝動(dòng)修改初始中弧線m(w)及內(nèi)接圓半徑r(w)使得dq,m(w)最小，此時(shí)點(diǎn)m(w)是內(nèi)切圓圓心，r(w)是內(nèi)切圓半徑。這樣逐點(diǎn)得到中弧線及內(nèi)切圓系列。

這個(gè)方法在葉片的前緣及尾緣區(qū)有可能碰到這樣的問(wèn)題：因?yàn)槌跏贾谢【€m(w)并不是真正的中弧線，前緣及尾緣處型線的法線不一定能和初始中弧線端點(diǎn)相交，迭代計(jì)算不一定能開(kāi)始進(jìn)行。

綜上所述，必須尋找一種求前緣和尾緣內(nèi)切圓的辦法。

前緣擬合圓如圖3所示。

圖3 前緣擬合圓

一般葉片的前緣和尾緣處各有一段型線和中弧線內(nèi)切圓系列中的第一個(gè)圓和最后一個(gè)圓是重合的，但這只是在數(shù)值上近似重合的。

這個(gè)特點(diǎn)用用下式描述：

(xi-xc)2+(yi-yc)2-R2=0,

(1)

式中：xi，yi—前緣或尾緣型線上點(diǎn)i的坐標(biāo)；xc，yc—中弧線內(nèi)切圓系列中的和前緣或者尾緣重合的圓心坐標(biāo)(在下文表示要擬合圓的圓心坐標(biāo))。

如果點(diǎn)i不在此圓上，則有下式：

|(xi-xc)2+(yi-yc)2-R2|>0

(2)

上式可以看做是點(diǎn)i相對(duì)于要擬合圓的偏離量。利用上式，對(duì)于前緣或者尾緣上的n個(gè)點(diǎn)可以定義一個(gè)函數(shù)來(lái)表示這些點(diǎn)相對(duì)于要擬合圓偏離量總和：

(3)

從圖3可以直觀地看出：當(dāng)Δ小于某一個(gè)非常小的數(shù)值時(shí)，可以認(rèn)為擬合成功。如果令這個(gè)函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，可以把這曲線擬合問(wèn)題變成一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題：

(4)

式中：η1—上式中的xc；η2—上式中的yc；η3—上式中的R。

如此處理后就可以利用各種最優(yōu)化數(shù)值方法求解該問(wèn)題[6-10]，得到了xc、yc、R的最優(yōu)解，也就得到了擬合圓。還可以改變參與擬合點(diǎn)的位置和數(shù)量，反復(fù)求解問(wèn)題，通過(guò)比較殘差Δ，確定參與擬合前后緣型線部分及擬合圓的最終參數(shù)。最后得到構(gòu)成中弧線的內(nèi)切圓序列的第一個(gè)和最后一個(gè)圓。

葉片其余部分的內(nèi)切圓可以采用前述傳統(tǒng)方法求解。

2 算例及結(jié)果分析

本研究試算了NACA65系列葉型中的NACA65(10)-10葉型的中弧線及厚度分布[11]。NACA65(10)-10葉型是NACA65系列葉型的基準(zhǔn)葉型。首先利用NACA456軟件在理論中弧線及厚度分布數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上生成葉型型線的坐標(biāo)數(shù)據(jù)[12]，然后利用本研究提出的算法從NACA65(10)-10葉型型線的坐標(biāo)數(shù)據(jù)反向求得中弧線及厚度分布數(shù)據(jù)。

該數(shù)據(jù)和理論數(shù)據(jù)的比較如圖4所示。

圖4 NACA65(10)-10計(jì)算誤差

從圖4可以看到：在前緣(x/l→0)及尾緣處(x/l→1)相對(duì)誤差最大達(dá)到0.003 5，在型線中部最小，約在10-6數(shù)量級(jí)。整體上看誤差處于可以接受的范圍。

本研究試算了某型燃?xì)廨啓C(jī)一系列壓縮機(jī)及透平部分的葉型的中弧線。其中，透平部分有些葉型的中弧線最為難算的。這是因?yàn)檫@些葉型曲線部分近乎垂直于x軸，對(duì)于插值計(jì)算很不利的，特別是前尾緣處用前述傳統(tǒng)方法很容易發(fā)散。

本研究首先計(jì)算出了和前緣尾緣部分接近重合的圓，如圖5所示。

圖5 某型透平葉片截面型線

然后計(jì)算除前尾緣其他部分的內(nèi)切圓序列，如圖6所示。

圖6 某型透平葉片截面內(nèi)切圓序列

由此可知：這一系列圓和葉片型線相切很好，所以可認(rèn)為其圓心序列構(gòu)成了中弧線，其直徑序列構(gòu)成了葉片厚度分布。

在試算中發(fā)現(xiàn)：如果整個(gè)葉型只用前述其中一種方法，在葉型前緣壓力面起點(diǎn)處就會(huì)計(jì)算就會(huì)發(fā)散，得不到結(jié)果。圖6中除了前緣和尾緣處(第一個(gè)和最后一個(gè))兩個(gè)圓用最優(yōu)化方法求出，其它的圓都是用傳統(tǒng)方法1或2求出的。這樣就可以完整地求出整個(gè)中弧線內(nèi)切圓系列。

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)經(jīng)典N(xiāo)ACA65系列葉型及某型燃?xì)廨啓C(jī)的壓縮機(jī)和透平所有葉片的型線進(jìn)行計(jì)算分析驗(yàn)證，本研究提出了一種在傳統(tǒng)方法基礎(chǔ)上的混合算法，可以比較穩(wěn)定地求出前尾緣處的內(nèi)切圓，即前尾緣處內(nèi)切圓計(jì)算方法借助于成熟的最優(yōu)化計(jì)算軟件包實(shí)現(xiàn)，其他部分使用傳統(tǒng)方法。

在接下來(lái)的研究中，在此基礎(chǔ)上還可以作進(jìn)一步的改進(jìn)：首先在型線不同點(diǎn)處，根據(jù)該點(diǎn)切線處的斜率旋轉(zhuǎn)整個(gè)型線，使切線不致于垂直于橫坐標(biāo)軸，提高算法的收斂性；其次利用模式識(shí)別方法對(duì)于求出的中弧線及厚度分布規(guī)律做進(jìn)一步的識(shí)別，判定是否是某種經(jīng)典葉型的中弧線及厚度分布規(guī)律。