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        直覺模糊推理的三I約束算法

        2018-08-01 07:45:52惠小靜
        計算機工程與應(yīng)用 2018年15期
        關(guān)鍵詞:蘊涵論域模糊集

        井 美,惠小靜,王 蓉

        延安大學 數(shù)學與計算機科學學院,陜西 延安 716000

        1 引言

        1965年,Zadeh提出了模糊集[1]。針對模糊集理論,諸多學者進行大量地研究,并已將模糊集理論廣泛運用到模式識別、醫(yī)療診斷、模糊控制等領(lǐng)域[2-3]。模糊推理是模糊集理論研究的重要方面,它的核心問題是以下形式的FMP、FMT:

        (1)規(guī)則 A→B (2)規(guī)則 A→B

        輸入 A?輸入 B?

        輸出 B?輸出 A?

        這里的A,A?是論域X上的模糊集,B,B?是Y論域上的模糊集。1973年,Zadeh提出了著名的CRI算法[4],但是由于它缺乏嚴格的邏輯基礎(chǔ)且不具有還原性,于是,王國俊教授提出了全蘊涵三I算法[5],有效地彌補了CRI算法的不足,并將其納入模糊邏輯系統(tǒng)之中。

        直覺模糊集[6]是由Atanassov提出的,它是模糊集的推廣,而且能更好地反映日常事物的模糊性和不確定性。有關(guān)直覺模糊集的理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用到聚類分析、模式識別、群決策等領(lǐng)域[7-9],但是直覺模糊集在模糊推理方面卻沒有得以迅速的發(fā)展。主要由于直覺模糊蘊涵算子比模糊蘊涵算子復雜得多,從而使它的理論體系并不完善。首先文獻[10-11]對直覺模糊蘊涵算子的相關(guān)理論進行了初步的研究,文獻[12]對直覺模糊推理作了深入研究,文獻[13]提出了剩余型直覺蘊涵算子,從而為直覺模糊集與模糊推理之間建立了內(nèi)在聯(lián)系,在此基礎(chǔ)上,文獻[14-15]研究了剩余型直覺模糊推理的三I算法。

        目前,將直覺模糊集與其他推理方法相結(jié)合的研究甚少,為此,本文將直覺模糊集與文獻[16]提出的三I約束算法結(jié)合起來,研究了直覺模糊推理三I約束算法,當然對于模糊集上的FMP、FMT問題也同樣推廣到直覺模糊集上,稱之為IFMP、IFMT問題,進一步討論了IFMP、IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法解的表達形式和分解形式。直覺模糊集是模糊集的推廣,所以說直覺模糊推理三I約束算法也是模糊推理三I約束算法的推廣,本文也給予了論證。

        2 預備知識

        定義2.1[6]設(shè)X是論域,x∈X,X上的直覺模糊集 A是指函數(shù)μA(x)、νA(x)、π(x)滿足下列條件的三元組:

        其中對于任意的x∈X,稱μA(x)為隸屬度函數(shù),νA(x)為非隸屬度函數(shù),π(x)為猶豫度度函數(shù),也稱不確定度函數(shù)。

        特別的,?x∈X ,μA(x)+νA(x)=1,則稱直覺模糊集A退化為模糊集。

        定義2.2[14]設(shè)X、Y為非空論域,X、Y上的直覺模糊集分別為 IFS(X)、IFS(Y)。

        令 IFS={(t,f)|t,f∈[0,1],0≤t+f≤1},定義 IFS上的一個偏序關(guān)系-?如下:

        (1)α,β∈IFS,α=(a1,a2),β=(b1,b2),α≤β當且僅當a1≤b1,a2≥b2。

        (2)α∨β=(a1∨b1,a2∧b2),α∧β=(a1∧b1,a2∨b2),最小元 0?=(0,1),最大元 1?=(1,0)。顯然可知,(IFS,-?)是完備的分配格。

        定義2.3[14]若(?,→)構(gòu)成伴隨對,(⊕,?)構(gòu)成余伴隨對,且(?,⊕)對偶,則稱→,⊕,?為?的關(guān)聯(lián)算子。

        引理2.1[14]L=[0,1],若→,⊕,?為?的關(guān)聯(lián)算子,則?a,b∈L,b?a=1-(1-a)→(1-b)。

        注 在本文中出現(xiàn)的運算優(yōu)先如下:

        ?,⊕,?→,∧,∨,高于+,-

        定義2.4[17]?是L上的三角模,若二元運算⊕滿足:a⊕b=1-(1-a)?(1-b),則⊕是L上的三角余模,稱⊕為與?對偶的三角余模。反之,⊕是L上的三角余模,若二元運算?滿足:

        a?b=1-(1-a)⊕(1-b)

        則?是L上的三角模,稱?為與⊕對偶的三角模。

        定義2.5[14]?是L上的三角模,⊕是L上與?對偶的三角余模,在IFS上定義二元運算??,⊕?:α??β=(a1?b1,a2⊕b2);α⊕?β=(a1⊕b1,a2?b2)。

        定理2.1[14]設(shè)??是由左連續(xù)三角模?生成的直覺三角模,則IFS上存在二元運算→?使得α??β≤γ當且僅當α≤β→?γ,并且

        β→?γ=∨{η∈IFS|η??β≤γ}

        命題2.1[14]設(shè)??是IFS上左連續(xù)的直覺三角模,且(??,→?)是 IFS 上的直覺伴隨對,則

        (1)γ →?(α →?β)=α →?(γ →?β)。

        (2)α≤β→?γ當且僅當 β≤α→?γ。

        (3)1?→?α=α 。

        (4)α→?β關(guān)于第一變元α單調(diào)遞減,關(guān)于第二變元β單調(diào)遞增。

        定理2.2[14]α,β∈IFS,α=(a1,a2),β=(b1,b2),→?

        是由IFS上左連續(xù)的直覺三角模??生成的剩余型蘊涵算子,則下列結(jié)論成立:

        3 IFMP問題的直覺模糊推理三I約束算法

        IFMP問題的直覺模糊推理三I約束原則:

        則B?(y)是IFS(Y)中滿足式(1)的最大直覺模糊集。

        定理3.1設(shè)(??,→?)是 IFS上的直覺伴隨對,則IFMP問題的直覺模糊推理三I約束算法的解B?(y)可表示為如下:

        從而可知 B?(y)滿足式(1)?,F(xiàn)在證明 B?(y)為滿足式(1)的最大直覺模糊集。

        假設(shè)存在 C(y)∈IFS(Y),使得 C(y)滿足式,即(A(x)→?B(y))→?(A?(x)→?C(y))≤α

        由IFS上的伴隨對(??,→?)的性質(zhì)可知:

        因此 C(y)≤B?(y)。所以 B?(y)為IFMP問題的直覺模糊推理三I約束算法的解。

        推論3.1設(shè)(??,→?)是 IFS上的直覺伴隨對,B?(y)=((y),(y)),α=(a1,a2),則IFMP問題的直覺模糊推理三I約束算法的B?(y)可分解如下:

        模糊集是直覺模糊集的特例,直覺模糊集是模糊集的推廣,所以直覺模糊集推理三I約束算法也是模糊推理三I約束算法的推廣。若IFMP問題的直覺模糊集A,A?,B退化為模糊集,那么對于定理3.1中給出的B?是否也是模糊集,它和FMP問題的模糊推理三I約束算法解是否一致,給出下面的定理。

        定理3.2[18]設(shè)→為正則蘊涵算子,?是與→伴隨的三角模,a為常數(shù),則FMP問題的模糊推理三I約束算法解可表示為如下:

        定理3.3若A,A?,B退化為模糊集,則定理3.1中B?是也是模糊集,而且它和定理3.2給出的FMP問題的模糊推理三I約束算法解是一致的。

        采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對電動汽車充電負荷進行日預測。先用四組日負荷值對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行學習訓練,在達到要求后,用4組日負荷值進行日負荷預測。結(jié)果記為y1。具體步驟如此:

        證明 若A,A?,B退化為模糊集,則滿足以下條件:

        由定義2.5和定理2.2可知:

        4 IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法

        IFMT問題的直覺模糊推理三I約束原則:A(x)∈IFS(X),B(y),B?(y)∈IFS(Y),α∈IFS,則A?(x)是IFS(X)中滿足式(1)的最小直覺模糊集。

        定理4.1設(shè)(??,→?)是 IFS上的直覺伴隨對,則IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法的解A?(x)可表示為如下:

        證明 由A?(x)的表達式,命題2.1及引理3.1可知:

        從而可知 A?(x)滿足式(1),現(xiàn)在證明 A?(x)為滿足式(1)的最小直覺模糊集。

        假設(shè)存在 D(x)∈IFS(X),使得 D(x)滿足式(1),即(A(x)→?B(y))→?(D(x)→?B?(y))≤α 。

        由IFS上的伴隨對(??,→?)的性質(zhì)可知:

        因此 A?(x)≤D(x)。所以 A?(x)為IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法的解。

        推論4.1設(shè)(??,→?)是 IFS上的直覺伴隨對,A?(x)=(A?t(x),A?f(x)),α=(a1,a2),則IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法的解A?(x)可分解如下:

        注 A(x)=(At(x),Af(x))

        模糊集是直覺模糊集的特例,直覺模糊集是模糊集的推廣,所以直覺模糊推理三I約束算法也是模糊推理三I約束算法的推廣。若IFMT問題的直覺模糊集A,B,B?退化為模糊集,那么對于定理4.1中給出的A?是否也是模糊集,它和FMT問題的模糊推理三I約束算法解是否一致,給出下面定理。

        定理4.2[18]設(shè)→為正則蘊涵算子,?是與→伴隨的三角模,a為常數(shù),則FMT問題的模糊推理三I約束算法解可表示為如下:

        定理4.3若A,B,B?退化為模糊集,則定理4.1中的A?也是模糊集,而且它和定理4.2給出FMT問題的模糊推理三I約束算法解是一致的。

        證明 若A,B,B?退化為模糊集,則滿足以下條件:

        由引理2.1和定理2.2可知:

        5 結(jié)束語

        直覺模糊集作為模糊集的推廣,已經(jīng)廣泛應(yīng)用到聚類分析、模式識別、群決策等領(lǐng)域。本文研究的直覺模糊推理三I約束算法,為直覺模糊集在模糊推理方面的研究提供了新的思路。一方面豐富和發(fā)展了對直覺模糊集的研究,另一方面本文的思想和方法均可用以研究其他算法,比如直覺模糊推理的反向三I算法,直覺模糊推理的泛三I算法等。

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