井 美，惠小靜，王 蓉

延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000

1 引言

1965年，Zadeh提出了模糊集[1]。針對模糊集理論，諸多學者進行大量地研究，并已將模糊集理論廣泛運用到模式識別、醫(yī)療診斷、模糊控制等領(lǐng)域[2-3]。模糊推理是模糊集理論研究的重要方面，它的核心問題是以下形式的FMP、FMT：

（1）規(guī)則 A→B （2）規(guī)則 A→B

輸入 A?輸入 B?

輸出 B?輸出 A?

這里的A,A?是論域X上的模糊集，B,B?是Y論域上的模糊集。1973年，Zadeh提出了著名的CRI算法[4]，但是由于它缺乏嚴格的邏輯基礎(chǔ)且不具有還原性，于是，王國俊教授提出了全蘊涵三I算法[5]，有效地彌補了CRI算法的不足，并將其納入模糊邏輯系統(tǒng)之中。

直覺模糊集[6]是由Atanassov提出的，它是模糊集的推廣，而且能更好地反映日常事物的模糊性和不確定性。有關(guān)直覺模糊集的理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用到聚類分析、模式識別、群決策等領(lǐng)域[7-9]，但是直覺模糊集在模糊推理方面卻沒有得以迅速的發(fā)展。主要由于直覺模糊蘊涵算子比模糊蘊涵算子復雜得多，從而使它的理論體系并不完善。首先文獻[10-11]對直覺模糊蘊涵算子的相關(guān)理論進行了初步的研究，文獻[12]對直覺模糊推理作了深入研究，文獻[13]提出了剩余型直覺蘊涵算子，從而為直覺模糊集與模糊推理之間建立了內(nèi)在聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上，文獻[14-15]研究了剩余型直覺模糊推理的三I算法。

目前，將直覺模糊集與其他推理方法相結(jié)合的研究甚少，為此，本文將直覺模糊集與文獻[16]提出的三I約束算法結(jié)合起來，研究了直覺模糊推理三I約束算法，當然對于模糊集上的FMP、FMT問題也同樣推廣到直覺模糊集上，稱之為IFMP、IFMT問題，進一步討論了IFMP、IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法解的表達形式和分解形式。直覺模糊集是模糊集的推廣，所以說直覺模糊推理三I約束算法也是模糊推理三I約束算法的推廣，本文也給予了論證。

2 預(yù)備知識

定義2.1[6]設(shè)X是論域，x∈X，X上的直覺模糊集 A是指函數(shù)μA(x)、νA(x)、π(x)滿足下列條件的三元組：

其中對于任意的x∈X，稱μA(x)為隸屬度函數(shù)，νA(x)為非隸屬度函數(shù)，π(x)為猶豫度度函數(shù)，也稱不確定度函數(shù)。

特別的，?x∈X ，μA(x)+νA(x)=1，則稱直覺模糊集A退化為模糊集。

定義2.2[14]設(shè)X、Y為非空論域，X、Y上的直覺模糊集分別為 IFS(X)、IFS(Y)。

令 IFS={(t,f)|t,f∈[0,1],0≤t+f≤1}，定義 IFS上的一個偏序關(guān)系-?如下：

（1）α,β∈IFS，α=(a1,a2)，β=(b1,b2)，α≤β當且僅當a1≤b1，a2≥b2。

（2）α∨β=(a1∨b1,a2∧b2)，α∧β=(a1∧b1,a2∨b2)，最小元 0?=(0,1)，最大元 1?=(1,0)。顯然可知，(IFS,-?)是完備的分配格。

定義2.3[14]若(?,→)構(gòu)成伴隨對，(⊕,?)構(gòu)成余伴隨對，且(?,⊕)對偶，則稱→,⊕,?為?的關(guān)聯(lián)算子。

引理2.1[14]L=[0,1]，若→,⊕,?為?的關(guān)聯(lián)算子，則?a,b∈L，b?a=1-(1-a)→(1-b)。

注 在本文中出現(xiàn)的運算優(yōu)先如下：

?,⊕,?→,∧,∨,高于+,-

定義2.4[17]?是L上的三角模，若二元運算⊕滿足：a⊕b=1-(1-a)?(1-b)，則⊕是L上的三角余模，稱⊕為與?對偶的三角余模。反之，⊕是L上的三角余模，若二元運算?滿足：

a?b=1-(1-a)⊕(1-b)

則?是L上的三角模，稱?為與⊕對偶的三角模。

定義2.5[14]?是L上的三角模，⊕是L上與?對偶的三角余模，在IFS上定義二元運算??,⊕?：α??β=(a1?b1,a2⊕b2)；α⊕?β=(a1⊕b1,a2?b2)。

定理2.1[14]設(shè)??是由左連續(xù)三角模?生成的直覺三角模，則IFS上存在二元運算→?使得α??β≤γ當且僅當α≤β→?γ，并且

β→?γ=∨{η∈IFS|η??β≤γ}

命題2.1[14]設(shè)??是IFS上左連續(xù)的直覺三角模，且(??,→?)是 IFS 上的直覺伴隨對，則

（1）γ →?(α →?β)=α →?(γ →?β)。

（2）α≤β→?γ當且僅當 β≤α→?γ。

（3）1?→?α=α 。

（4）α→?β關(guān)于第一變元α單調(diào)遞減，關(guān)于第二變元β單調(diào)遞增。

定理2.2[14]α,β∈IFS，α=(a1,a2)，β=(b1,b2)，→?

是由IFS上左連續(xù)的直覺三角模??生成的剩余型蘊涵算子，則下列結(jié)論成立：

3 IFMP問題的直覺模糊推理三I約束算法

IFMP問題的直覺模糊推理三I約束原則：

則B?(y)是IFS(Y)中滿足式（1）的最大直覺模糊集。

定理3.1設(shè)(??,→?)是 IFS上的直覺伴隨對，則IFMP問題的直覺模糊推理三I約束算法的解B?(y)可表示為如下：

從而可知 B?(y)滿足式（1）?，F(xiàn)在證明 B?(y)為滿足式（1）的最大直覺模糊集。

假設(shè)存在 C(y)∈IFS(Y)，使得 C(y)滿足式，即(A(x)→?B(y))→?(A?(x)→?C(y))≤α

由IFS上的伴隨對(??,→?)的性質(zhì)可知：

因此 C(y)≤B?(y)。所以 B?(y)為IFMP問題的直覺模糊推理三I約束算法的解。

推論3.1設(shè)(??,→?)是 IFS上的直覺伴隨對，B?(y)=((y),(y))，α=(a1,a2)，則IFMP問題的直覺模糊推理三I約束算法的B?(y)可分解如下：

模糊集是直覺模糊集的特例，直覺模糊集是模糊集的推廣，所以直覺模糊集推理三I約束算法也是模糊推理三I約束算法的推廣。若IFMP問題的直覺模糊集A,A?,B退化為模糊集，那么對于定理3.1中給出的B?是否也是模糊集，它和FMP問題的模糊推理三I約束算法解是否一致，給出下面的定理。

定理3.2[18]設(shè)→為正則蘊涵算子，?是與→伴隨的三角模，a為常數(shù)，則FMP問題的模糊推理三I約束算法解可表示為如下：

定理3.3若A,A?,B退化為模糊集，則定理3.1中B?是也是模糊集，而且它和定理3.2給出的FMP問題的模糊推理三I約束算法解是一致的。

采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對電動汽車充電負荷進行日預(yù)測。先用四組日負荷值對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行學習訓練，在達到要求后，用4組日負荷值進行日負荷預(yù)測。結(jié)果記為y1。具體步驟如此：

證明 若A,A?,B退化為模糊集，則滿足以下條件：

由定義2.5和定理2.2可知：

4 IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法

IFMT問題的直覺模糊推理三I約束原則：A(x)∈IFS(X)，B(y),B?(y)∈IFS(Y)，α∈IFS，則A?(x)是IFS(X)中滿足式（1）的最小直覺模糊集。

定理4.1設(shè)(??,→?)是 IFS上的直覺伴隨對，則IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法的解A?(x)可表示為如下：

證明 由A?(x)的表達式，命題2.1及引理3.1可知：

從而可知 A?(x)滿足式（1），現(xiàn)在證明 A?(x)為滿足式（1）的最小直覺模糊集。

假設(shè)存在 D(x)∈IFS(X)，使得 D(x)滿足式（1），即(A(x)→?B(y))→?(D(x)→?B?(y))≤α 。

由IFS上的伴隨對(??,→?)的性質(zhì)可知：

因此 A?(x)≤D(x)。所以 A?(x)為IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法的解。

推論4.1設(shè)(??,→?)是 IFS上的直覺伴隨對，A?(x)=(A?t(x),A?f(x))，α=(a1,a2)，則IFMT問題的直覺模糊推理三I約束算法的解A?(x)可分解如下：

注 A(x)=(At(x),Af(x))

模糊集是直覺模糊集的特例，直覺模糊集是模糊集的推廣，所以直覺模糊推理三I約束算法也是模糊推理三I約束算法的推廣。若IFMT問題的直覺模糊集A,B,B?退化為模糊集，那么對于定理4.1中給出的A?是否也是模糊集，它和FMT問題的模糊推理三I約束算法解是否一致，給出下面定理。

定理4.2[18]設(shè)→為正則蘊涵算子，?是與→伴隨的三角模，a為常數(shù)，則FMT問題的模糊推理三I約束算法解可表示為如下：

定理4.3若A,B,B?退化為模糊集，則定理4.1中的A?也是模糊集，而且它和定理4.2給出FMT問題的模糊推理三I約束算法解是一致的。

證明 若A,B,B?退化為模糊集，則滿足以下條件：

由引理2.1和定理2.2可知：

5 結(jié)束語

直覺模糊集作為模糊集的推廣，已經(jīng)廣泛應(yīng)用到聚類分析、模式識別、群決策等領(lǐng)域。本文研究的直覺模糊推理三I約束算法，為直覺模糊集在模糊推理方面的研究提供了新的思路。一方面豐富和發(fā)展了對直覺模糊集的研究，另一方面本文的思想和方法均可用以研究其他算法，比如直覺模糊推理的反向三I算法，直覺模糊推理的泛三I算法等。