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        偽補(bǔ)MS-代數(shù)的素理想及同余性質(zhì)

        2018-08-01 02:16:36趙秀蘭史永杰
        關(guān)鍵詞:濾子代數(shù)運(yùn)算

        趙秀蘭, 史永杰

        (1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部, 河南鄭州450063; 2.汕頭大學(xué)理學(xué)院, 廣東汕頭515063)

        引言

        Ockham代數(shù)[1]是格與序代數(shù)理論的一個(gè)重要領(lǐng)域,它是定義在分配格上的一類序代數(shù)。布爾代數(shù)、de Morgan代數(shù)、Stone代數(shù)、偽補(bǔ)MS-代數(shù)等都是它的子代數(shù),其部分研究成果見文獻(xiàn)[1-5]。在泛代數(shù)研究領(lǐng)域,研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)及其特征的方法有很多,其中利用代數(shù)的理想和濾子是比較常用的一種,特別是利用不同定義、不同結(jié)構(gòu)的理想和濾子來研究代數(shù)結(jié)構(gòu)是一種比較常用的手段。目前,很多學(xué)者利用理想和濾子來研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)及其特征獲得了大量成果。例如,在文獻(xiàn)[6-9]中,作者在相應(yīng)的代數(shù)類上引入理想與濾子,以核理想與余核濾子為載體刻畫相應(yīng)代數(shù)同余結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[10]以假值理想為工具描述了雙重偽補(bǔ)代數(shù)同余關(guān)系。文獻(xiàn)[11]給出了格的反軟理想新概念,證明 2 個(gè)反軟理想分別在軟集的限制并和“或”運(yùn)算下仍然是反軟理想。文獻(xiàn)[12]討論了BRo代數(shù)中的*理想及其誘導(dǎo)的商代數(shù)。文獻(xiàn)[13,14]利用濾子討論了Bl代數(shù)的性質(zhì)。素理想也是人們認(rèn)識(shí)了解復(fù)雜代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個(gè)工具,利用素理想將代數(shù)系統(tǒng)分劃為若干塊,并可刻畫代數(shù)同余關(guān)系[15-19]。

        本文以現(xiàn)有文獻(xiàn)理論為基礎(chǔ),將素理想引入到偽補(bǔ)MS-代數(shù)上,綜合考慮偽補(bǔ)MS-代數(shù)的運(yùn)算特征,論證利用素理想集刻畫同余關(guān)系的結(jié)論,刻畫次直不可約的偽補(bǔ)MS-代數(shù)的結(jié)構(gòu)。

        1預(yù)備知識(shí)

        定義1[1]設(shè)(L;∧,∨)是一個(gè)格,I是格L的子格,若x,y∈L,y≤x∈I總有y∈I,稱子格I是格L的理想。

        設(shè)I是格L的理想,且I≠L,a,b∈L,若a∧b∈I蘊(yùn)含a∈I或b∈I,稱I是格L的素理想。

        定義2[2]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個(gè)有界分配格,其上賦予一個(gè)一元運(yùn)算o,且滿足下列條件:

        (1)(?x∈L)x≤xoo;

        (2)(?x,y∈L)(x∧y)o=xo∧yo;

        (3)1o=0。

        稱(L;∧,∨,o,0,1)為MS代數(shù)。

        定義3[1,3]一個(gè)偽補(bǔ)代數(shù)(簡(jiǎn)稱p-代數(shù))是一個(gè)代數(shù)(L;∧,∨,*,0,1),它具有一個(gè)最小元0及一個(gè)映射*:L→L使得x*=max{y∈L|x∧y=0}。

        定義4[1,3]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個(gè)有界分配格,其上賦予兩個(gè)一元運(yùn)算*和o,其中(L;*)是p-代數(shù),(L;°)是MS-代數(shù),并且一元運(yùn)算*和o滿足條件,(x∈L)x*°=x°*,稱(L;∧,∨,*,o,0,1)是偽補(bǔ)MS-代數(shù)(簡(jiǎn)稱pMS-代數(shù))。

        引理1[1,3]設(shè)(L;∧,∨,*,o,0,1)是pMS-代數(shù),則有下列結(jié)論:

        (1)(?a∈L)ao*o=a*oo=aoo*=a*;

        (2)(?a∈L)a*o*=ao**=a**o=ao;

        (3)(?a∈L)a**=aoo;

        (4)(?a,b∈L)(a∧b)*=a*∨b*。

        定義5[1,3]設(shè)(L;∧,∨,*,o,0,1)是pMS-代數(shù),θ是L的一個(gè)格同余關(guān)系,若(x,y)∈θ?(x*,y*)∈θ,(f(x),f(y))∈θ,則稱θ是L的同余關(guān)系。

        為了便于說明問題,作如下約定。設(shè)L是pMS-代數(shù),L的理想指的是格理想,L的同余關(guān)系指的是對(duì)∧,∨,*,o具有替換性的等價(jià)關(guān)系,而L的格同余關(guān)系指的是對(duì)∧,∨具有替換性的等價(jià)關(guān)系,并令,Con(L)={θθ為L(zhǎng)的同余關(guān)系},ConL(L)={θθ為L(zhǎng)的格同余關(guān)系},P(L)={PP為L(zhǎng)的素理想}。

        引理2[15]設(shè)P∈P(L),定義L上的二元關(guān)系θP:x,y∈L,x≡y(θP)?x,y∈P或x,y∈L-P,則θP∈ConL(L)。

        引理3[15]設(shè)A∈P(L),定義L上的二元關(guān)系θA:x,y∈L,x≡y(θA)當(dāng)且僅當(dāng)?P∈A,x,y∈P或x,y∈L-P,則:(1)θA∈ConL(L)且θA=∧P∈AθP;(2)?θ∈ConL(L),存在A∈P(L),使得θ=θA。

        引理4[18]設(shè)θ1,θ2∈ConL(L),若θ1∧θ2≤θP,則θ1≤θP或θ2≤θP。

        下面根據(jù)偽補(bǔ)MS-代數(shù)的運(yùn)算特征,來探討偽補(bǔ)MS-代數(shù)上素理想的相關(guān)性質(zhì)。

        2素理想的性質(zhì)

        定理1設(shè)P∈P(L),定義P*={x∈Lx*∈L-P},Po={x∈Lxo∈L-P},則有下列結(jié)論:

        (1)P*,Po∈P(L)

        (3)P*=P**=Poo?P,這里P**=(P*)*,

        Poo=(Po)o;

        (4)Pooo=Po

        (5)Po*=P*o=Po

        (6)Po**=P*o*=Po*=Po,P*oo=Po*o=Poo=P*。

        證明(1)設(shè)x,y∈P*,則x*,y*∈L-P,從而有x*∧y*=(x∨y)*∈L-P,x*∨y*=(x∧y)*∈L-P,故x∨y,x∧y∈P*,因此P*為L(zhǎng)的子格。

        再設(shè)a∈L,x∈P*且a≤x,由a*≥x*?P,可得a*?P,從而a∈P*,因此P*為L(zhǎng)的理想。

        令x,y∈L,x∧y∈P*,則(x∧y)*=x*∨y*?P,從而x*?P或者y*?P,所以x∈P*或者y∈P*,于是P*∈P(L)。

        同理可證Po∈P(L)。

        (3) 先證P*?P。

        設(shè)x∈P*,則x*?P,由于x∧x*=0∈P且P為素理想,故x∈P,所以得P*?P。

        再證P*=P***。

        由于P*?P,由(1)知,P*∈P(L),將P*?P中的P換成P*,即得P**?P*。又由P*?P,結(jié)合(2)可得P**?P*。所以P*=P***。

        下證P**=Poo。

        令x∈P**,故x*?P*,則必有x**∈P,否則x**?P,則x*∈P*,此與x*?P*相互矛盾。由引理1知,在pMS-代數(shù)中,xoo=x**∈P,因此xo?Po,從而x∈Poo,故P**?Poo。

        同理可證Poo?P**。命題即證。

        下證Poo?P。

        設(shè)x∈Poo,則xo∈L-Po,從而xoo∈P。又因x≤xoo,于是x∈P,所以Poo?P。

        綜上可得P*=P***=Poo?P。

        (4) 由(3)知Poo?P,由(2)得Pooo?Po,再將Poo?P中的P換成Po得Pooo?Po,因此Pooo=Po。

        (5) 先證Po*=P*o。

        設(shè)x∈Po*,則x*?Po,因而x*o∈P。由引理1知,在pMS-代數(shù)中,xo*=x*o∈P,所以xo∈P*,故x∈P*o,于是有Po*?P*o。

        設(shè)x∈P*o,則xo?P*,故xo*∈P。由引理1知,在pMS-代數(shù)中,x*o=xo*∈P,所以x*?Po,故x∈Po*,所以P*o?Po*。

        綜上即證Po*=P*o。

        下證P*o=Po。

        由(3)知P*?P,由(2)得P*o?Po。再將P*?P中的P換成Po得Po*?Po。又因Po*=P*o,故P*o=Po。命題(5)得證。

        (6) 由(3)和(5)即得(6)。

        進(jìn)一步可得,偽補(bǔ)MS-代數(shù)上素理想的下列運(yùn)算性質(zhì)。

        定理2設(shè)P∈P(L),則有下列結(jié)論:

        (1) 若x∈Po,則xo∈L-P,x*∈L-Po;

        (2) 若x∈P*,則x*∈L-P,xo∈L-Po;

        (3) 若x∈L-Po,則xo∈P*,x*∈Po;

        (4) 若x∈L-P,則xo∈Po,x*∈P*;

        (5) 若x∈P-P*,則xo∈Po,x*∈P*。

        證明(1) 設(shè)x∈Po,由Po定義得xo∈L-P。由定理1(5)知,Po*=Po,所以x∈Po*,從而x*∈L-Po。

        (2) 設(shè)x∈P*,由P*定義得x*∈L-P。由定理1(3)知P*=Poo,所以x∈Poo,從而xo∈L-Po。

        (3) 若x∈L-Po,即x∈L,x?Po。由定理1(5)知Po*=P*o=Po,故x?P*o,x?Po*,所以xo∈P*,x*∈Po。

        (4) 若x∈L-P,即x∈L,x?P。由引理1知,在pMS-代數(shù)中,x≤xoo=x**,又因P是L的素理想,所以xoo=x**?P,于是xo∈Po,x*∈P*。

        (5) 若x∈P-P*,由定理1(3)知P*=Poo,故x∈P,x?Poo,從而x∈P,xo∈Po。由定理1(3)知P*=P**,故x∈P,x?P**,于是x∈P,x*∈P*。

        定理1和定理2反映了偽補(bǔ)MS-代數(shù)上素理想的運(yùn)算規(guī)律,以此為基礎(chǔ),借助素理想來刻畫同余關(guān)系。

        定理3設(shè)P∈P(L),定義L上的二元關(guān)系τP:x,y∈L,x≡y(τP)當(dāng)且僅當(dāng){x,y} ?Ri(i=1,2,3,4,5,6),其中R1=Po∩P*,R2=Po∩(P-P*),R3=Po∩(L-P),R4=(L-Po) ∩P*,R5=(L-Po)∩(P-P*),R6=(L-Po)∩ (l-P),則τP∈Con(L)且τP=θP∧θPo∧θP*。

        證明由引理2以及定理1知,τP∈ConL(L)。

        下證τP∈Con(L)。設(shè)x,y∈L,x≡y(τP),由定理1和定理2可推出素理想同余關(guān)系如表1所示。

        表1素理想同余關(guān)系

        表1第一行表示x,y所在的τP同余類,第二、三行分別表示xo,yo和x*,y*所在的τP相應(yīng)同余類。所以x,y∈L,xo≡yo(τP),x*≡y*(τP),因此τP∈Con(L)。

        推論1設(shè)A?P(L),如果?P∈A,有Po,P*∈A,則θA∈Con(L)。

        證明由引理3以及定理1和定理3可得。

        定理4設(shè)θ是L上的一個(gè)二元關(guān)系,則θ∈Con(L)的充要條件是存在A?P(L),使得θ=θA且?P∈A,有Po,P*∈A。

        證明充分性由推論1可得。

        必要性 設(shè)θ∈Con(L),則θ∈ConL(L)。由引理3知,存在B?P(L)使得θ=θB。令A(yù)=∪p∈B{P,Po,P*},則B?A?P(L),從而θA≤θB=θ。

        設(shè)x,y∈L,x≡y(θB),由于θB=θ,故xo≡yo(θB),x*≡y*(θB),所以任意的x*≡y*(θP)。

        于是任意的P∈B,xo,yo∈P或者xo,yo∈L-P以及x*,y*∈P,x*,y*∈L-P。因此任意的P∈B,x,y∈L-P°或者P∈B,x,y∈P°以及P∈B,x,y∈L-P*或P∈B,x,y∈P*,故?P∈B,x≡y(θP)。

        所以x≡y(θA),故θB≤θA,因此θB=θA=θ,于是?P∈A有?P°,P*∈A,A為所求。

        定理5設(shè)P∈P(L),則τP在Con(L)中生成的主理想(τP]是Con(L)的一個(gè)素理想。

        證明設(shè)θ1,θ2∈Con(L)且θ1∧θ2∈ (τP],則θ1∧θ2≤τP≤θP,由引理4知,θ1≤θP或θ2≤θP。

        若θ1≤θP,對(duì)于x,y∈L,x≡y(θ1),則xo≡yo(θ1),x*≡y*(θ1),從而有xo≡yo(θP),x*≡y*(θP)。類似于定理4的證明可得x≡y(θP°),x≡y(θP*),所以θ1≤θP°,θ1≤θP*,因此θ1≤θP∧θP°∧θP*=τP。

        同理可證,若θ2≤θP,則θ2≤θP∧θP°∧θP*=τP。因此(τP]是Con(L)的一個(gè)素理想。

        由定理3、定理4、定理5可直接得到下列結(jié)論。

        推論3設(shè)L是一個(gè)次直不可約的pMS-代數(shù),則L≤6。

        推論4設(shè)L是一個(gè)次直不可約的pMS-代數(shù),則L與圖1中Hasse圖決定的pMS-代數(shù)的子代數(shù)同構(gòu)或是單點(diǎn)集。

        圖1pMS-代數(shù)的Hasse圖

        3結(jié)束語(yǔ)

        素理想是研究Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個(gè)重要工具,結(jié)合素理想的性質(zhì),對(duì)偽補(bǔ)MS-代數(shù)的結(jié)構(gòu)作一劃分,有助于了解偽補(bǔ)MS-代數(shù)的結(jié)構(gòu),所得結(jié)論為其它Ockham代數(shù)類素理想性質(zhì)的研究提供了方法,同時(shí)豐富了序代數(shù)結(jié)構(gòu)理論。

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