☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)檳榔路星灣學(xué)校（西校區(qū)） 湯義佳

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下），有同行談及教師的基本功應(yīng)該包括“答疑解惑”（詳見文［1］）.作者引韓愈的《師說》：師者，所以傳道、授業(yè)、解惑也.并類比數(shù)學(xué)教學(xué)，指出：教師解惑質(zhì)量的高低也影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)教師專業(yè)基本功的認(rèn)可.筆者深有同感，結(jié)合近期給學(xué)生個(gè)別答疑的一些題例，闡釋筆者的一些體會(huì)，提供研討.

一、答疑解惑的案例呈現(xiàn)

例1 過鈍角的頂點(diǎn)向一邊作垂線，將該鈍角分成兩個(gè)角之比1∶6，求這個(gè)鈍角的度數(shù).

學(xué)生解法：該學(xué)生成績(jī)優(yōu)秀，向筆者求助，說畫出圖形，如圖1，設(shè)出x，6x之后，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程是恒等的，但又不知道錯(cuò)誤在什么地方.

圖1

答疑記錄：首先該學(xué)生有一個(gè)潛在假設(shè)，就是認(rèn)為這道習(xí)題沒有給出圖形，當(dāng)他看到過鈍角頂點(diǎn)向一邊作垂線時(shí)，就想當(dāng)然地認(rèn)為是一個(gè)鈍角三角形，然后過鈍角頂點(diǎn)向該鈍角的對(duì)邊作垂線，從而走進(jìn)錯(cuò)誤的解題方向.以下是答疑時(shí)的一些引導(dǎo)性問題：

問題1：你是怎么理解角的概念的？什么是角的頂點(diǎn)？什么是角的邊？你可畫圖說明.（學(xué)生畫圖指出了有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，公共端點(diǎn)為角的頂點(diǎn)，兩條射線稱為角的邊）

問題2：你是如何理解作垂線的，你學(xué)過哪些作垂線的方法？舉例說說.（學(xué)生結(jié)合畫圖說出了兩種情形，過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線，過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線）

問題3：這道題中涉及的圖形是角還是三角形？（學(xué)生：是角.但向一邊，就理解成了三角形的邊）

問題4：如果是確認(rèn)是角這個(gè)圖形的，過鈍角頂點(diǎn)作一邊的垂線，屬于過直線上一點(diǎn)作該直線的垂直，你該如何調(diào)圖形呢？

學(xué)生畫出圖2，解出x＝15°，于是該鈍角度數(shù)為105°.

圖2

圖3

問題5：由于該題沒有明確是角的哪一條邊，你覺得還有不同的情形嗎？

經(jīng)過追問，學(xué)生想到了另一種情況，畫出圖3，計(jì)算出來的結(jié)果仍然是105°.

教師小結(jié)：很好，這道題是兩種可能的圖形，答案都是105°.需要指出的是，該題是教輔資料上的一道習(xí)題，你想偏方向固然有對(duì)角的概念和三角形的概念混淆的原因，另外就題目本身來說也有表述不當(dāng)?shù)膯栴}，比如題目應(yīng)該重新表述如下：

過鈍角的頂點(diǎn)作其中一邊的垂線，若該垂線將鈍角分成兩個(gè)角之比1∶6，求這個(gè)鈍角的度數(shù).

這樣就是比較規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)了，不容易產(chǎn)生你聯(lián)想到的三角形的邊.“向”某邊作垂線，常常是三角形中過一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€的說法.

例2 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P，分析△PAB面積的最大值.

相關(guān)說明：限于篇幅我們沒有展示該題的前面兩問（分別是探究線段CE1與BD1的數(shù)量和位置關(guān)系），該提問學(xué)生對(duì)前面兩問也很熟悉，不存在問題.

圖4

圖5

學(xué)生主要困惑：學(xué)生探究的進(jìn)展是先畫圖4，分析出CE1，BD1的數(shù)量關(guān)系是相等，位置上一定是相互垂直.而且也想清了問題的結(jié)構(gòu)是圖5這樣，點(diǎn)D1，E1都在同一個(gè)圓A上，當(dāng)PG最大時(shí)，相應(yīng)的△PAB面積最大.但不能理解參考答案上所指出的當(dāng)PB與圓A相切時(shí)△PAB面積取最大值.

答疑記錄：首先肯定學(xué)生的提問很有質(zhì)量，一是不滿足于參考答案的流水解答，對(duì)其中關(guān)鍵一步的理由深入追求，是數(shù)學(xué)理性的體現(xiàn)，反映了很好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).接下來，仍然以系列問題來引導(dǎo)學(xué)生理解.

問題1：你是如何證出BP⊥CE1？（學(xué)生說出由全等性質(zhì)，再結(jié)合“8字形”可證）

問題2：在Rt△BCP中，BP的長(zhǎng)度何時(shí)取得最大值？（學(xué)生經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)∠BCP最大時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)結(jié)合BC是定長(zhǎng)可確認(rèn)BP取得最大值）

問題3：∠BCP最大與哪個(gè)角有關(guān)？（與∠ACP）而該角對(duì)應(yīng)的角是（∠ABP）.

問題4：當(dāng)BP與圓A相切時(shí)，∠ABP取得最大值嗎？（是的）

問題5：把目光轉(zhuǎn)向圖5中的△BPG，該三角形中PB最大時(shí)，PG是否相應(yīng)的最大？（是的，懂了，此時(shí)△PAB的面積就最大了）

教師評(píng)析：這樣也就解釋了當(dāng)PB與圓A相切時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最大，也即△PAB的面積最大.

二、關(guān)于答疑解惑的三點(diǎn)思考

近年來，章建躍博士提出的“三個(gè)理解”得到了廣大一線教師的積極響應(yīng)，在很多課例設(shè)計(jì)中都體現(xiàn)了“三個(gè)理解”理念.我們認(rèn)為，在為學(xué)生答疑解惑時(shí)，也需要基于“三個(gè)理解”開展答疑.比如“理解數(shù)學(xué)”對(duì)應(yīng)著理解學(xué)生提到的數(shù)學(xué)問題；“理解學(xué)生”對(duì)應(yīng)著精準(zhǔn)診評(píng)學(xué)情；“理解教學(xué)”對(duì)應(yīng)著如何開展答疑，怎樣設(shè)計(jì)出鋪墊式問題來達(dá)到較好的答疑效果.以下就圍繞相關(guān)話題給出三點(diǎn)思考.

1.教師要精準(zhǔn)診評(píng)學(xué)生的疑惑所在

對(duì)不同層次學(xué)生出現(xiàn)的疑惑深度往往也不一樣，這是教師在答疑解惑之前需要注意的.一般來說優(yōu)秀學(xué)生在作業(yè)中出現(xiàn)的疑惑或錯(cuò)誤往往比較隱蔽，常常自己不能順利糾錯(cuò)和究錯(cuò)，教師不但要深刻理解習(xí)題的題設(shè)與解題思路，還要辨析這道習(xí)題的易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)等，再結(jié)合學(xué)生已有進(jìn)展或解答進(jìn)行研判，精準(zhǔn)診評(píng)出學(xué)生的問題所在，才是后續(xù)答疑解惑的前提.像上文中的題1一樣，由于我們看出來了學(xué)生在理解題意上就出現(xiàn)了偏差，想當(dāng)然地把角誤作三角形，把垂線的位置畫錯(cuò)，對(duì)于這類高位錯(cuò)誤，是全局性的錯(cuò)誤，起點(diǎn)出錯(cuò)、方向出錯(cuò)，就需要引導(dǎo)學(xué)生從讀題開始，自主查錯(cuò)、糾錯(cuò)與究錯(cuò).

2.恰當(dāng)設(shè)計(jì)問題促進(jìn)學(xué)生自主厘清思路

在想清辨明學(xué)生的錯(cuò)誤、漏洞或可能的疑難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)之后，教師可預(yù)設(shè)系列問題開展答疑解惑，而不是直接告知學(xué)生解答.在對(duì)像上面兩道例題的答疑之前，我們先預(yù)設(shè)了一些鋪墊式問題，這些問題都是針對(duì)學(xué)生的疑惑點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)，并由淺及深促進(jìn)學(xué)生想通思路，以達(dá)到潤物細(xì)無聲的答疑效果.比如在例2的答疑進(jìn)程中，學(xué)生的主要難點(diǎn)并不是全等三角形的證明，也不是切線的位置，而是為什么想到在BP與圓A相切時(shí)出現(xiàn)點(diǎn)P到BA的距離最大.而要想說清這個(gè)難點(diǎn)，教師首先要想清理由，這就需要從“外圍”入手，利用Rt△BCP來想清PB在什么位置時(shí)獲得最大值，由此出發(fā)再把目光聚焦到△BPG上，就容易想清問題了，于是可設(shè)計(jì)一系列的鋪墊式問題，讓學(xué)生在這些問題的引導(dǎo)之下想清△BPG的面積最大值.

3.在答疑解惑中引導(dǎo)學(xué)生收獲經(jīng)驗(yàn)

為達(dá)到答疑解惑的更高追求，讓學(xué)生問一題、會(huì)一類、通一片，我們可以開展同類鏈接或者變式再練，幫助學(xué)生對(duì)疑惑問題有更深的理解.此外，還可以通過答疑解惑向?qū)W生傳遞解題經(jīng)驗(yàn)，比如例1的系列問題，不但讓學(xué)生修正了錯(cuò)漏，而且向?qū)W生傳遞了這類問題在求解時(shí)要善于“回到定義”，學(xué)生的“走偏方向”根本上是由于對(duì)角的邊、三角形的邊理解不深，產(chǎn)生了“潛在假設(shè)”和想當(dāng)然.而例2的答疑，則可讓學(xué)生善于轉(zhuǎn)化，當(dāng)待分析的最值問題難以找到模型或方法處理時(shí)，要善于將其轉(zhuǎn)化到另外的直角三角形中進(jìn)行思考，逐個(gè)突破，轉(zhuǎn)換聚焦的目標(biāo)三角形，使之獲得解決.

三、寫在后面

如文［1］作者所說，答疑解惑能力也是教師的專業(yè)基本功，不僅需要相應(yīng)的解題能力，更重要的是需要“理解學(xué)生”的專業(yè)能力.這里的理解學(xué)生也包括多個(gè)層面，比如學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、學(xué)生的思維特點(diǎn)、學(xué)生解該題時(shí)的思路和出發(fā)點(diǎn)，等等，教師需要像專家醫(yī)生一樣“望、聞、問、切”然后作出專業(yè)研判，再跟進(jìn)鋪墊式問題，為學(xué)生帶來一次高質(zhì)量、富有啟發(fā)性的答疑解惑.知易行難，我們所舉的答疑題例還偏少，個(gè)性化成份也居多，期待更多同行收集、分享精彩的答疑案例，促進(jìn)我們?cè)谶@個(gè)專業(yè)能力上的共同精進(jìn).