江蘇省常熟外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 孔令華

不等式在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中占據(jù)著重要地位，與函數(shù)、方程、數(shù)列、立體幾何等知識(shí)都有一定的交集，并對(duì)學(xué)生的問(wèn)題解決能力產(chǎn)生著極大影響，是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)情況的重要介質(zhì)。鑒于不等式的重要作用，近年來(lái)，高考試題中也逐漸加大了不等式題型的所占比重，這些試題涵蓋了不等式的概念、解法、證明、線性規(guī)劃等多項(xiàng)內(nèi)容，考驗(yàn)著學(xué)生對(duì)不等式知識(shí)的掌握程度，同時(shí)也檢驗(yàn)著教師教學(xué)策略的有效性。對(duì)近年來(lái)高考試題中出現(xiàn)的不等式問(wèn)題進(jìn)行全面分析，其目的是為了制定具有針對(duì)性的教學(xué)策略，籍此以最大限度發(fā)掘不等式的教育潛力，培養(yǎng)高中生的學(xué)科素養(yǎng)。本文現(xiàn)結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，圍繞高考試題分析與教學(xué)策略探究?jī)蓚€(gè)維度進(jìn)行探究。

一、高考試題中不等式問(wèn)題的考查分析

近年來(lái)，高考試題中逐漸增多了不等式考題。以2015年高考為例，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，2015年全國(guó)卷理科考試中與不等式相關(guān)的試題約占全部試題總數(shù)的18.5%，試題以必修作為考試的重點(diǎn)對(duì)象。其中，不等式概念類試題約占不等式試題總數(shù)的2%；解不等式類試題占不等式試題總數(shù)的36.7%；證明不等式類試題占不等式試題總數(shù)的8.2%；含參數(shù)不等式的成立問(wèn)題占不等式試題總數(shù)的18.4%；線性規(guī)劃類問(wèn)題占不等式試題總數(shù)的16.3%；基本不等式類占不等式試題總數(shù)的10.2%；取值范圍和最值占不等式試題總數(shù)的8.2%。

具體形式方面，很多試題是與其他知識(shí)相結(jié)合后再求解的題型，如不等式與函數(shù)結(jié)合、與數(shù)列結(jié)合等等。

試題分析：答案B。這是一道典型的關(guān)于不等式性質(zhì)的試題，這道題的特別之處在于它將函數(shù)與不等式相結(jié)合，考驗(yàn)學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)能否靈活運(yùn)用知識(shí)以及能否正確處理函數(shù)與不等式的關(guān)系。由此可見(jiàn)，每一項(xiàng)知識(shí)都不是獨(dú)立的，在教學(xué)過(guò)程中，教師需將不同類型的知識(shí)進(jìn)行糅合，著力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而不能讓學(xué)生通過(guò)死記硬背來(lái)掌握知識(shí)。

例2 （2011上海卷·理15）若 且 ，那么，下列不等式關(guān)系中恒成立的是（ ）

試題分析：答案為D,這道題屬于不等式的應(yīng)用這一范疇，考驗(yàn)的是學(xué)生對(duì)不等式知識(shí)的掌握情況，包括不等式應(yīng)用和成立條件的判斷等等。題的特點(diǎn)在于它將“ ”這一關(guān)鍵條件置于題的第二項(xiàng)，一旦學(xué)生在讀題時(shí)忽略這一關(guān)鍵，則必將影響解題的結(jié)果。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于觀察和思考，對(duì)不等式的各項(xiàng)構(gòu)成要素進(jìn)行充分的揣摩和掌握，從而提高問(wèn)題解決能力。

試題分析：這道題也是一道典型的不等式求參類試題，通過(guò)讀題可知，試題仍然是將不等式與函數(shù)相結(jié)合，通過(guò)函數(shù)性質(zhì)、最值問(wèn)題與不等式恒成立問(wèn)題的相互作用來(lái)加強(qiáng)解題的難度。然而，這道題卻有著很多種解法，而關(guān)鍵在于學(xué)生是否具備化歸思想，能否化繁為簡(jiǎn)，找準(zhǔn)解題的切入點(diǎn)。因此，教師在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)進(jìn)行一題多解的嘗試，籍此讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的思想方法，從而提高解題效率。

通過(guò)上述高考中出現(xiàn)的三道不同類型的不等式試題可以看出，目前高考評(píng)測(cè)學(xué)生的主要標(biāo)準(zhǔn)已不再是“知識(shí)儲(chǔ)備”和“臨場(chǎng)發(fā)揮”，而是“數(shù)學(xué)思維”和“問(wèn)題解決”。其中，數(shù)學(xué)思維是解決一切數(shù)學(xué)問(wèn)題的“萬(wàn)能鑰匙”，而“問(wèn)題解決”則強(qiáng)調(diào)知識(shí)的靈活運(yùn)用，兩者相輔相成，是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的重要依據(jù)。因此，高中數(shù)學(xué)日常教學(xué)的設(shè)計(jì)和組織也應(yīng)針對(duì)高考試題有所調(diào)整，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和問(wèn)題解決能力作為一項(xiàng)常態(tài)任務(wù)納入教學(xué)目標(biāo)體系，從而提高教學(xué)質(zhì)量，推動(dòng)學(xué)生不斷發(fā)展。

二、高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)策略探究

1.基于數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)思維的形成是一個(gè)逐漸積累的過(guò)程，因此，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)也應(yīng)由淺至深，通過(guò)讓學(xué)生掌握解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法，形成數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)科素養(yǎng)。

以“解一元二次不等式”教學(xué)為例，對(duì)于這一課，學(xué)生們之前曾學(xué)習(xí)過(guò)一元一次不等式的解法，那么，在學(xué)習(xí)一元一次不等式時(shí)運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？是否可以運(yùn)用相同的方法來(lái)解一元二次不等式？帶著疑問(wèn)，筆者以解一元一次不等式為突破口，讓學(xué)生通過(guò)回顧舊知識(shí)來(lái)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法的共通性，籍此形成數(shù)學(xué)思維，提高問(wèn)題解決能力。

在課堂開(kāi)篇，筆者首先設(shè)計(jì)了探究小課題：一元一次不等式與一元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)聯(lián)。

探究過(guò)程：

（1）以多媒體展示函數(shù)圖象：

x 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y -3 -2 -1 0 1 2 3

分析上表可知：

（3）提問(wèn)：如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法列式？

（4）學(xué)生合作探究。

利用數(shù)形結(jié)合，可得出結(jié)論：

解集為……

如此，則讓學(xué)生們歸納出了解一元一次不等式所用的數(shù)學(xué)思想方法，而在此基礎(chǔ)上，筆者導(dǎo)入新課，再圍繞解一元二次不等式設(shè)計(jì)探究小課題。

師：前面的探究主要針對(duì)的是三個(gè)“一次”之間的關(guān)系，那么對(duì)于三個(gè)“二次”，即一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系，又該運(yùn)用怎樣的探究方法？

探究過(guò)程：

（1）多媒體展示函數(shù)圖象：

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

結(jié)合上表分析：

（3）合作探究：再次利用分析三個(gè)“一次”時(shí)所運(yùn)用的數(shù)形結(jié)合的思想方法，分析一元二次不等式的解集，則結(jié)果如下……

綜上所述，通過(guò)新舊知識(shí)的相互印證，使學(xué)生們體驗(yàn)了數(shù)學(xué)思想方法的共通性。通過(guò)兩次解題的對(duì)比，學(xué)生們自然而然地會(huì)對(duì)“數(shù)形結(jié)合”這一思想方法產(chǎn)生深刻印象，從而形成“數(shù)學(xué)思維的作用大于知識(shí)儲(chǔ)備”這一觀念，由此則培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)思維，加強(qiáng)了日常教學(xué)與高考試題之間的聯(lián)系。

2.基于問(wèn)題解決培養(yǎng)的不等式教學(xué)設(shè)計(jì)

通過(guò)分析高考中關(guān)于不等式的相關(guān)試題可知，問(wèn)題解決是考驗(yàn)學(xué)生綜合能力的一項(xiàng)重要標(biāo)準(zhǔn)。高考試題慣于將不同類型的知識(shí)相結(jié)合，其主旨不是為了檢驗(yàn)學(xué)生的知識(shí)量，而是檢驗(yàn)學(xué)生是否具備靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，因此，在教學(xué)中，教師需將培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力作為一項(xiàng)重點(diǎn)目標(biāo)來(lái)加以落實(shí)，讓學(xué)生能夠?qū)W有所用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在實(shí)踐中，教師可將解不等式與生活實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，將解不等式的過(guò)程轉(zhuǎn)化為解決生活實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，以此來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力。

如題：某漁場(chǎng)為擴(kuò)大產(chǎn)量，計(jì)劃建造一個(gè)新養(yǎng)魚(yú)池。新池容積為4800m2，深度為3m，假設(shè)新池的池底每平方米預(yù)算為150元，池壁每平方米預(yù)算為120元，那么，怎樣設(shè)計(jì)才能將使造價(jià)最低？預(yù)算最低價(jià)為多少？

針對(duì)這道題，教師需要讓學(xué)生首先將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，繼而讓學(xué)生們運(yùn)用自己熟悉的解不等式的方式來(lái)歸納答案，而學(xué)生解不等式的過(guò)程，即是培養(yǎng)問(wèn)題解決能力的過(guò)程。

此外，教師還可直接引用發(fā)生在學(xué)生身邊的一些具體實(shí)例，讓學(xué)生通過(guò)分析將實(shí)例抽象為不等式。例如：質(zhì)檢部門(mén)規(guī)定酸奶中脂肪含量不得低于2.5%，蛋白質(zhì)含量不得低于2.3%，而怎樣才能將兩個(gè)數(shù)據(jù)抽象為不等式組？通過(guò)這些生活化問(wèn)題，能讓學(xué)生在潛意識(shí)里將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來(lái)，形成知識(shí)應(yīng)用意識(shí)，提高問(wèn)題解決的能力。

嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，高考試題是高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)的“風(fēng)向標(biāo)”，它隱含了社會(huì)發(fā)展對(duì)學(xué)生素質(zhì)提出的要求，因此，考查高考試題的類型和特點(diǎn)，為日常教學(xué)提供參考依據(jù)，是提高教學(xué)質(zhì)量、推動(dòng)學(xué)生不斷成長(zhǎng)的重要途徑。