江蘇省鎮(zhèn)江市丹徒高級(jí)中學(xué) 宗麗華

所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答。

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要數(shù)學(xué)思想，由于它能訓(xùn)練和培養(yǎng)思維品質(zhì)的條理性和概括性，因此是高考重點(diǎn)考查的思想方法之一。明確分類標(biāo)準(zhǔn)，是準(zhǔn)確解決分類討論問題的前提，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定類型主要有三種：一是根據(jù)數(shù)學(xué)概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn)；二是根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)；三是根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)。

一、根據(jù)數(shù)學(xué)概念來確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如，根據(jù)集合元素的性質(zhì)；空集是任何集合的子集；去絕對(duì)值需要分正數(shù)、零和負(fù)實(shí)數(shù)三類情況討論等。

二、根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理、公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn)

例如，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到指數(shù)函數(shù) 的單調(diào)性因底數(shù)a的取值范圍不同而不同，即：當(dāng)a＞1時(shí)， 在定義域內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng) 0＜a＜1 時(shí)， 在定義域內(nèi)為減函數(shù)。再比如，在利用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到求和公式是受到公比q限制的，即：當(dāng)q＝1時(shí)， ；當(dāng)q≠1 時(shí)，

例3 已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為－4。

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn＝（4－an）qn－1（q≠0，n∈N＊），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。

三、根據(jù)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

參數(shù)廣泛地出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的各種問題之中，參數(shù)的存在會(huì)對(duì)問題的解決產(chǎn)生種種影響。一個(gè)問題中的參數(shù)通?？梢匀讉€(gè)不同的數(shù)值，而在不同取值情況下，所采用的解決策略和處理方式都不盡相同，因而會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果，這就要求我們必須對(duì)參數(shù)取不同值時(shí)的各種情況分別加以討論。比如在習(xí)題教學(xué)中，含有參數(shù)的方程、不等式等問題是比較常見的。

分析：首先這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，學(xué)生很容易認(rèn)為是一個(gè)二次不等式，實(shí)際上不一定。因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)是含參數(shù)的，取值不同使不等式類型發(fā)生變化，故需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類：（1） ；（2）a=0。對(duì)于（2），不等式易解，而對(duì)于（1），又需要再次分類：

或 ，因?yàn)檫@兩種情形下，不等式解集的形式是不同的。不等式的解是在兩根之外，還是在兩根之間，而確定這一點(diǎn)之后，又會(huì)遇大誰(shuí)小的問題。因而又需要做一次分類討論。故而在解題時(shí)，需要做三次分類討論。

總之，分類討論思想能夠促使學(xué)生全面而周密地分析和思考問題，有助于提高思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性。因而，在教學(xué)中對(duì)分類討論思想進(jìn)行教學(xué)滲透時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生挖掘分類標(biāo)準(zhǔn)，可以優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，達(dá)到事半功倍的效果。