新疆烏魯木齊市第五中學(xué) 劉 艷

人教版八年級下冊第十八章中，平行四邊形的判定中的一道數(shù)學(xué)例題，不僅證法多樣，而且包含多種條件變式、結(jié)論變式和圖形變式，通過變式可以衍變出許多美妙的題目，對于培養(yǎng)學(xué)生的靈活思維起到了很好的作用。

已知：平行四邊形ABCD，E，F(xiàn)是AC上的兩點，并且AE＝CF，如圖1。

圖1

求證：四邊形BFDE是平行四邊形。

一、一題多證

證法一：利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形來證明。連接BD，

證法二：利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形來證明。

證法三：利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形來證明。

證法四：利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形來證明。

證法五：利用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形來證明。

其他三種證明過程省略，本題可使用平行四邊形的五種證明方法。其中，添加對角線，并應(yīng)用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形的證明方法最為簡便。本題的證明由已知平行四邊形的性質(zhì)得到線段相等、角相等以及利用直線平行推出角相等，再與題目中`的其他已知條件結(jié)合起來，可以證明另外的四邊形是平行四邊形。以此類推，對平行四邊形的性質(zhì)和判定得以循環(huán)應(yīng)用。在證明本題時，我們反復(fù)應(yīng)用了三角形全等這一舊知識，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)通常都是用舊知識來解決新問題,三角形是學(xué)習(xí)多邊形的基礎(chǔ)，很多多邊形的問題都要借助三角形來解決。

二、一題多變

1.條件變式

將題目中的“AE＝CF”這一已知條件去掉，變?yōu)楫?dāng)E，F(xiàn)滿足什么條件時，可證明四邊形ABCD是平行四邊形？

變式（1）是用運動的觀點將AE＝CF這種一般情況轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥馇闆r。

變式（2）利用全等三角形證明，由ABCD得出證明全等條件是一邊一角，可添加一對邊相等的條件。（如原題與變式（1））也可添加一對角相等的條件。（變式（2））

2.結(jié)論變式

（1）由平行四邊形BFDE進(jìn)一步引出直線平行、線段相等、角相等。

（2）由證明過程中的全等三角形可得出線段相等、角相等。

這樣可使學(xué)生重復(fù)使用平行四邊形的性質(zhì)和判定，加深對知識的理解和應(yīng)用。

圖2

圖3

圖4

圖5

3.圖形變式將已知條件中的E，F(xiàn)是AC上的兩點變換成：（1）E，F(xiàn)是AC的延長線上的兩點，如圖2。（2）E，F(xiàn)是一組對邊上的兩點，如圖3。

（3）E，F(xiàn)是一組對邊的延長線上的兩點，如圖4。

（4）E，F(xiàn)是過對角線交點的直線與一組對邊的兩交點，（這種情況不用AE＝CF這一條件就可證明結(jié)論）如圖5。

如上圖所示,將圖形變形之后，還可以對這些變形后的圖形進(jìn)行條件和結(jié)論變式，又可以得到相關(guān)的許多題目。

在教學(xué)中，本例題可作為平行四邊形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用。本堂課是這樣設(shè)計的：（1）復(fù)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)和判定；（2）講授例題，讓學(xué)生自主探索例題的五種證明方法，比較之后從中得出最為簡便的證明方法。這樣有利于提高學(xué)生靈活應(yīng)用知識的能力。教師可將其中較為簡便的兩種證明方法示范給學(xué)生，或把學(xué)生分為五組，每組可用一種證明方法。通過實踐,讓學(xué)生體會平行四邊形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用以及應(yīng)用三角形全等來解決四邊形的問題。（3）通過對例題的條件和結(jié)論變式來培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想、嚴(yán)格推理、勇于實踐和歸納總結(jié)的能力。本環(huán)節(jié)的設(shè)計目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。（4）可將此題的“圖形變式”這一環(huán)節(jié)設(shè)計成學(xué)生練習(xí)，把學(xué)生分為四組，證明四種圖形變形，讓學(xué)生從中體會它們的證明方法與例題的證明大同小異,雖然圖形發(fā)生了變化,但是思維結(jié)構(gòu)并沒有發(fā)生變化，從而達(dá)到“以不變應(yīng)萬變”的效果。（5）作業(yè)的設(shè)計可讓學(xué)生課后對這四種圖形變式再進(jìn)行條件和結(jié)論變式，自己出題自己證明。

對于教材中的例題和習(xí)題，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，或改變題型，或改變條件和結(jié)論，或改變圖形的位置，或引申拓展，讓學(xué)生去探究、猜想，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是一種探究性的活動，具有一定的規(guī)律和方法，在探索中，這些規(guī)律和思維方法的實踐和領(lǐng)悟，必然會對學(xué)生智能的開發(fā)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展具有重要的推進(jìn)作用。

綜上所述，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多的條件與機會，讓他們參與其中,而這些條件和機會的創(chuàng)設(shè)需要教師不斷挖掘課本的內(nèi)容，充分利用課程資源，讓學(xué)生更好地掌握解題方法，最終達(dá)到“它山之石可以攻玉”的目的。比如對本道題的講解與探究，基本上解決了平行四邊形的性質(zhì)與判定的相關(guān)題型。