江蘇省鹽城市實驗高級中學高三（28）班 周文昊

數學思想是從數學內容中提煉出來的數學知識的精髓，是將知識轉化為能力的橋梁，它有著普遍的應用意義，是歷年高考的熱點與難點。函數作為高中數學的重要組成部分，有關函數問題的解題中蘊含著豐富的數學思想方法。同學們在解題的過程中若是能夠充分、靈活地運用數學思想方法，則可以使得許多問題快速、準確地得到解答。筆者結合做題實踐，現將一些常見的數學思想方法通過函數例題的形式給同學們做一簡單呈現，希望為讀者了解數學思想方法以及對函數的學習提供一些幫助。

一、換元思想

換元是通過引入一個或者多個新元來替換題目中的舊元，從而創(chuàng)造條件，化難為易，變繁為簡，使得問題得以解決。

分析：本題看似無從下手，但是通過分析可以發(fā)現4x是2x的平方，因此本題可以轉化為關于2x的二次函數，利用換元法將2x替換出來。

解：令t=2x，因為x∈[0,2]，所以t=2x∈[1,4]。

評注：本題屬于可轉化為二次函數的最值問題的求解，這類題型一般與換元法相結合，但是要注意換元后的新函數的定義域的變化對解題的影響。

二、數形結合思想

所謂數形結合思想，是指在一定條件下將數與形進行相互轉化。借助圖形的性質將那些抽象的概念、復雜的數量關系變得直觀形象，以便于探究解題思路或找到問題的結論。數形結合思想方法具有直觀性與靈活性等特點。

評注：“以形助數”是已知兩個圖象交點問題求參數范圍常用的方法，解決此類問題的關鍵在于準確作出不含參數的函數圖象，并標清關鍵點，對于含參數的圖象，要注意結合條件作出符合題意的圖形。

三、分類討論思想

分類討論思想具有明顯的邏輯特點，利用分類討論的方法解決問題的實質就是將整體問題化成部分來解決。注意要化成部分問題，就要增加題設的條件。

即x（x+a-2）≤0，

由f '（x）=0得x=0或x=2-a，又因為0＜a＜4，

所以：當 0＜a＜2 時，由 f '（x）＜0 得 0＜x＜2-a；

當a=2時，f '（x）≥0；

當 2＜a＜4 時，由 f '（x）＜0 得 2-a＜x＜0。

綜上：當0＜a＜2時，f（x）的單調減區(qū)間為（0，2-a），

當2＜a＜4時，f（x）的單調減區(qū)間為（2-a，0）。

評注：本題中求單調減區(qū)間的實質是解含參數的不等式f '（x）≤0。分類討論的標準是f '（x）=0的兩個根0和2-a的大小。

四、轉化與化歸思想

轉化與化歸思想方法是數學中最基本的思想方法，使用該思想方法來解題時的原則是將所求問題轉化為熟知的、易解的或者已經解決的問題來進行求解。

則對任意a∈（0，+∞），g（a）＞0恒成立的充要條件是g（0）≥0，

評注：變量分離是求解含參問題的重要方法。

五、函數與方程思想

所謂函數思想是指用運動和變化的觀點，集合與對應的思想去分析和研究數學問題中的數量關系。方程思想是分析數學問題中變量間的等量關系。

分析：函數在某一點的切線斜率就是在某點處的導數值，因此可以利用函數的切線的斜率及點 列方程組，求出a，b。

由切點 在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9。

評注：導數的幾何意義為該點處的切線斜率。

六、構造思想

所謂構造思想就是指在對問題進行透徹分析，對其實質進行深刻了解的基礎上，借助于邏輯分析和長期積累的經驗，發(fā)揮高度想象和創(chuàng)造性，將原來的問題從原來的模式轉化為更能反映其本質特征的新模式的思想方法。

例6 假設x，y，z∈R，且x，y，z的絕對值均不大于1，求證：xy+yz+zx+1≥0。

分析：本題變量太多，且題設條件太少，若是直接通過不等式的相關知識直接求證，則困難較大。此時我們可以構造一個關于x的函數，利用函數的知識來解決可能要容易的多。

評注：本題在多個變量的情況下，應該抓住一個主元作為變量，根據題目給定的式子的基本特征，成功地構造出關于x的一次函數，再根據一次函數的圖象性質，使問題簡單化，也就容易對問題進行解決。

以上例舉了幾種常見的數學思想方法在函數問題解決中的運用。由于數學思想方法的運用非常廣泛而且靈活，因此,要想熟練自如地運用它來解決數學問題，還需要同學們在平時的學習過程中學會歸納與總結。