周正龍,馬本江,胡鳳英

(中南大學(xué)商學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙410083)

1 引 言

早在公元前500年,拍賣就被用于出售各種物品.無(wú)論是藝術(shù)品還是古董,都會(huì)在拍賣會(huì)上落槌賣出.現(xiàn)在的許多商品(比如煙草、魚、鮮花、廢金屬等)都可以通過拍賣的方式進(jìn)行交易,甚至于一些公用事業(yè)的債券也可以通過拍賣出售給投資公司.而在當(dāng)今時(shí)代,不同市場(chǎng)的拍賣機(jī)制逐漸被細(xì)分,不同領(lǐng)域逐漸形成自己的拍賣版式.例如,在采購(gòu)市場(chǎng)中,通常采取數(shù)量拍賣(quantity auction)、供應(yīng)合同拍賣(supply contract auction)進(jìn)行交易[1,2],在考慮多屬性的情形下,也會(huì)采取(或改進(jìn))第一評(píng)分拍賣(first score auction)、第二評(píng)分拍賣(second score auction)進(jìn)行交易[3,4].因此,在中國(guó)P2P(peer-to-peer)網(wǎng)絡(luò)借貸市場(chǎng)中,簡(jiǎn)單地復(fù)制這些拍賣機(jī)制并不能有效解決P2P網(wǎng)絡(luò)借貸問題,無(wú)法使得資源配置達(dá)到帕累托最優(yōu)狀態(tài).進(jìn)一步地,中國(guó)P2P網(wǎng)絡(luò)借貸市場(chǎng)存在較大的風(fēng)險(xiǎn),很多貸款人(資金提供者)在進(jìn)行投資的過程中常常會(huì)存在羊群效應(yīng)、聚集效應(yīng)和菱鏡效應(yīng)[5],從而會(huì)加大市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn).在不完全信急背景下,中國(guó)P2P網(wǎng)絡(luò)借貸市場(chǎng)還可能出現(xiàn)套利交易(即借入后再借出進(jìn)行投資以獲得利急差)、暗箱操作(即P2P借貸變?yōu)镻2P暗箱投標(biāo))等影響交易正常運(yùn)行的不良行為,這些行為有可能導(dǎo)致市場(chǎng)失靈.所以,有必要對(duì)貸款人和借款人(資金需求者)的交易機(jī)制進(jìn)行詳細(xì)研究.

目前國(guó)外文獻(xiàn)主要集中于信用風(fēng)險(xiǎn)等相關(guān)問題的實(shí)證研究[6?8].同樣地,國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)也主要側(cè)重于風(fēng)險(xiǎn)控制、平臺(tái)發(fā)展、資產(chǎn)定價(jià)等問題的實(shí)證研究[9?11],較少涉及P2P網(wǎng)絡(luò)借貸交易機(jī)制方面的理論研究.僅少數(shù)學(xué)者從拍賣的角度說明了競(jìng)標(biāo)方式比文字描述更好解決P2P借貸問題,競(jìng)標(biāo)方式能夠更好地披露借款人信急,激勵(lì)借款人在還款過程中履行借款約定,有良好信譽(yù)記錄的借款人能夠獲得更低成本的借款[12].從實(shí)際情況來,一些P2P網(wǎng)絡(luò)借貸平臺(tái)也使用拍賣方式進(jìn)行交易.例如,Prosper,Funding Circle和Innovestment等都是關(guān)注拍賣交易的典型平臺(tái).這些平臺(tái)的主要交易模式是貸款人之間自行競(jìng)拍,通過貸款人拍賣確定借貸利率(2010年之前Prosper一直采用拍賣機(jī)制).因此,基于已有P2P借貸拍賣模式和第三方交易平臺(tái)的雙邊市場(chǎng)特征[13],提出一種雙邊密封競(jìng)價(jià)的動(dòng)態(tài)關(guān)閉式拍賣機(jī)制(簡(jiǎn)稱雙邊密封拍賣機(jī)制).相對(duì)于已有P2P借貸拍賣機(jī)制[14,15],這個(gè)機(jī)制最突出的特點(diǎn)是同時(shí)考慮了貸款人和借款人的報(bào)價(jià),使得借款人和貸款人在一定程度上把握了借貸的自主權(quán).進(jìn)一步地,該機(jī)制是在密封報(bào)價(jià)的模式下進(jìn)行的，有利于規(guī)避貸款人的羊群效應(yīng).此外,與中國(guó)目前較多采取借款人事前定價(jià)的機(jī)制相比,這類拍賣機(jī)制有利于激化貸款人之間的競(jìng)爭(zhēng),激勵(lì)貸款人報(bào)告自己的真實(shí)類型,可以對(duì)中國(guó)P2P網(wǎng)絡(luò)借貸機(jī)制的創(chuàng)新提供一定的啟示.

雙邊密封拍賣提供了兩種情形下的模型.第一種情形(基準(zhǔn)模型)是基于不完全密封約束得到的,即借款人和貸款人的報(bào)價(jià)屬于事前密封信急,而貸款人提供的資金數(shù)額(簡(jiǎn)稱為配額)是所有貸款人共同知道的信急.第二種情形(拓展模型)是基于完全密封約束得到的,即借款人和貸款人的報(bào)價(jià)、配額都屬于事前密封信急.此外,對(duì)不同模型提供了不同的拍賣策略.當(dāng)然,由于基準(zhǔn)模型中的配額是所有貸款人共同知道的信急,因此貸款人在基準(zhǔn)模型的拍賣機(jī)制中可以學(xué)習(xí)或模仿其他貸款人的決策,即貸款人之間可以通過配額推測(cè)其相應(yīng)報(bào)價(jià)信急,進(jìn)而會(huì)預(yù)想到所有貸款人的拍賣策略.所以,在不完全密封的關(guān)閉式拍賣中,雖然可以得到所有貸款人的真實(shí)報(bào)價(jià)構(gòu)成納什均衡解,滿足激勵(lì)相容性.但是貸款人之間的羊群行為會(huì)增加借貸交易的支付成本[16],因此可以將基準(zhǔn)模型進(jìn)一步拓展到完全密封的情形,以進(jìn)一步減少羊群行為對(duì)P2P網(wǎng)絡(luò)借貸交易機(jī)制的影響.通過數(shù)值算例的分析也表明,雙邊密封競(jìng)價(jià)的動(dòng)態(tài)關(guān)閉式拍賣從一定程度上可以制約貸款人的決策,有利于改進(jìn)借款人的支付水平.

2 基準(zhǔn)模型:不完全密封拍賣

2.1 拍賣模型及性能分析

在基準(zhǔn)模型中,設(shè)定貸款人提供的配額是根據(jù)其余競(jìng)爭(zhēng)貸款人的供給自行決定的(即當(dāng)前配額是其他貸款人所知的),貸款人可以模仿或?qū)W習(xí)其他貸款人的行為.因此,將基準(zhǔn)模型定義為不完全密封拍賣.下面用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)基準(zhǔn)模型加以描述.這里先給出幾個(gè)背景假設(shè):1)在整個(gè)拍賣的過程中不存在P2P平臺(tái)商的監(jiān)管套利問題.2)P2P網(wǎng)絡(luò)借貸平臺(tái)能夠有效監(jiān)管借貸行為,保證拍賣機(jī)制的正常執(zhí)行.現(xiàn)設(shè)定借款人的借款需求為D,在任意t時(shí)刻的報(bào)價(jià)為P(t),這個(gè)價(jià)格對(duì)所有參與競(jìng)標(biāo)的貸款人是事前密封的,滿足并且設(shè)定在第三方平臺(tái)事先規(guī)定的范圍內(nèi),屬于借貸雙方的共同知識(shí)[17].進(jìn)一步假設(shè)n個(gè)貸款人L1,L2,...,Ln參與競(jìng)標(biāo),并且在拍賣結(jié)束之前競(jìng)標(biāo)報(bào)價(jià)是事前密封的(即所有潛在的貸款人不知道其他貸款人提供的報(bào)價(jià)信急).同時(shí)假設(shè),任意一個(gè)貸款人Li參與競(jìng)標(biāo)并帶有一個(gè)真實(shí)的私人利率ri(t),i={1,2,...,n},ri(t)一般等價(jià)于貸款人Li最佳外部選擇的利率(0貸款人Li在任意t時(shí)刻參與拍賣競(jìng)標(biāo)的報(bào)價(jià)為bi(t),并且提供的配額為ai(t),其中這樣便可以定義,n個(gè)貸款人L1,L2,...,Ln在任意t時(shí)刻參與拍賣的報(bào)價(jià)集合和配額集合分別為B(t)={b1(t),b2(t),...,bn(t)}和A(t)={a1(t),a2(t),...,an(t)},滿足t=1,2,...,T.T表示拍賣規(guī)定的時(shí)間,T∈N?,N?是正整數(shù)集合.此外,規(guī)定借款人的借款需求D和配額ai(t)都是整數(shù),并且屬于共同知識(shí).這里需要強(qiáng)調(diào)的是,雙邊密封競(jìng)價(jià)主要指借款人和貸款人的報(bào)價(jià)都是事前密封的.

借款人向所有候選的貸款人宣布拍賣規(guī)則:首先,借款人宣布一個(gè)借款合同{D,Vi(t)},這個(gè)合同包含了借款需求D、借款人的密封報(bào)價(jià)P(t)以及定價(jià)函數(shù)Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))(這里設(shè)定定價(jià)函數(shù)滿足“小中取大、大中取小”的約束條件,即對(duì)bi(t)≤P(t)的貸款人,取最大報(bào)價(jià)的貸款人為這類貸款人的有效報(bào)價(jià);對(duì)bi(t)＞P(t)的貸款人,取最小報(bào)價(jià)的貸款人為這類貸款人的有效報(bào)價(jià)).隨后,貸款人Li從任意時(shí)間點(diǎn)t=1,2,...,T根據(jù)借款合同{D,Vi(t)}報(bào)出愿意供給的配額和報(bào)價(jià),并且第三方平臺(tái)按照“小中取大、大中取小”的約束條件來確定拍賣價(jià)格Vi(t)和有效借款配額數(shù)此時(shí),如果得到的有效借款數(shù)額那么宣布拍賣結(jié)束,并公布借款人和所有中標(biāo)貸款人的報(bào)價(jià)信急;否則,任意的貸款人Li進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)報(bào)出愿意供給的配額和報(bào)價(jià);如此重復(fù),直到有效借款數(shù)額時(shí)宣布拍賣結(jié)束.最后,如果得到的有效借款數(shù)額就以流標(biāo)方式結(jié)束,所有的配額通過第三方平臺(tái)退回貸款人,并宣布拍賣結(jié)束.

定義1對(duì)于滿足上述規(guī)則的任意P2P網(wǎng)絡(luò)借貸拍賣,如果同時(shí)滿足關(guān)閉式拍賣的約束條件,就可以稱為動(dòng)態(tài)的雙邊密封關(guān)閉式拍賣,簡(jiǎn)稱雙邊密封拍賣(D-DCA).

宣布這個(gè)規(guī)則后,借款人按如下過程執(zhí)行這個(gè)拍賣機(jī)制:1)借款人設(shè)定具體的競(jìng)拍時(shí)間T,并且宣布一個(gè)借款合同{D,Vi(t)}至指定的第三方平臺(tái),其中定價(jià)函數(shù)Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t)),并且滿足上述“小中取大、大中取小”的約束條件.2)所有貸款人被邀請(qǐng)或自愿參加拍賣.如果在規(guī)定時(shí)間內(nèi)沒有貸款人愿意報(bào)出任意的配額ai(t)和報(bào)價(jià)bi(t),宣布拍賣結(jié)束,沒有發(fā)生交易.否則,在拍賣給定定價(jià)Vi(t)時(shí),中標(biāo)貸款人獲得借款人提供的子合同{ai(t),Vi(t)}.3)重復(fù)步驟2)直到時(shí)間達(dá)到T時(shí),如果所有成功競(jìng)拍的貸款人提供的有效配額就以成功方式宣布拍賣結(jié)束,借款人提供給每個(gè)中標(biāo)貸款人相應(yīng)的子合同{ai(t),Vi(t)},t=1,2,...,T,并附上還款期、還款方式等相關(guān)的材料.4)如果在規(guī)定時(shí)間內(nèi)所有成功貸款人的有效配額就以流標(biāo)方式結(jié)束拍賣.

相對(duì)于Chen等[14]設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)Prosper拍賣而言,D-DCA機(jī)制最主要的突出特征是進(jìn)一步考慮了借款人的報(bào)價(jià),使得借款人在一定程度上把握了借貸的自主權(quán);同時(shí)以合同的方式結(jié)束拍賣,體現(xiàn)了法律上的保護(hù)權(quán)益.設(shè)計(jì)這個(gè)機(jī)制的動(dòng)機(jī)也是為了降低借款人的支付成本,減少貸款人在拍賣過程中的羊群效應(yīng)[16].為了驗(yàn)證這些結(jié)果,先給出如下的定義.

定義2給定k=min=2,3,...,T,m=1,2,...,n,滿足b1(s)≤b2(s)≤···≤bm(s)),當(dāng)i≤k時(shí),貸款人Li在時(shí)間點(diǎn)s的配額為ai(s),ak(s)=當(dāng)i＞k時(shí),貸款人Li在時(shí)間點(diǎn)s的配額為0.那么稱Lk為最后一個(gè)成功的貸款人,稱Lk+1為最早一個(gè)失敗的貸款人.特別地,當(dāng)s=1時(shí),k=min

進(jìn)一步地,給定t=1,2,...,T,B(t)={b1(t),b2(t),...,bk(t)},當(dāng)滿足≤ P(t) 時(shí),定價(jià)函數(shù)為Vi(t)=當(dāng)滿足＞ P(t) 時(shí),定價(jià)函數(shù)為Vi(t)=當(dāng)滿足j個(gè)貸款人的報(bào)價(jià)小于或等于P(t),k?j個(gè)貸款人的報(bào)價(jià)大于P(t)時(shí)(1≤j≤k),定價(jià)函數(shù)為

得到最后一個(gè)成功的貸款人和拍賣定價(jià)之后,根據(jù)拍賣的執(zhí)行過程給出具體的計(jì)算:當(dāng)t=1時(shí),如果滿足D,那么拍賣繼續(xù)直至下個(gè)時(shí)間點(diǎn)上不存在多余的供給,此時(shí)拍賣的截止時(shí)間t=1,且最后一個(gè)成功的貸款人Lk的配額為ak(1)=滿足=D;反之,進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)t=2.當(dāng)t=2時(shí),如果滿足=ai(2)≥ D,那么拍賣的截止時(shí)間t=2,并且最后一個(gè)成功的貸款人Lk的配額為ak(2)=D?滿足=D;反之,進(jìn)入下一個(gè)時(shí)間點(diǎn)t=3.如此進(jìn)行,在規(guī)定時(shí)間內(nèi),如果存在時(shí)間點(diǎn)s=2,3,...,T滿足那么時(shí)間點(diǎn)s為拍賣的截止時(shí)間,此時(shí)得到最后一個(gè)成功的貸款人Lk的配額為ak(s)=D?并且滿足=D.反之,如果不能滿足≥D,那么說明在規(guī)定時(shí)間內(nèi)無(wú)法使得貸款供給大于等于借款需求,拍賣視為失敗,配額通過第三方平臺(tái)退回貸款人,拍賣結(jié)束.

得到D-DCA機(jī)制之后,需要分析其是否滿足激勵(lì)相容性,具體如命題1所示.

命題1對(duì)定義1中的任意D-DCA機(jī)制,如果存在時(shí)間點(diǎn)s=2,3,...,T 滿足k個(gè)貸款人成功參與競(jìng)標(biāo),即那么D-DCA機(jī)制滿足激勵(lì)相容性.(證明見附錄1)

下面,進(jìn)一步分析激勵(lì)相容的D-DCA機(jī)制的均衡解,同時(shí)考慮貸款人和借款人之間的逆向選擇問題(即考慮借款人違約的概率),分析可能存在的均衡解扭曲問題.這里假設(shè)借款人的違約概率與定價(jià)函數(shù)存在某種函數(shù)關(guān)系,讓?duì)?Vi(t))表示給定Vi(t)下的違約率,滿足δ′(Vi(t))≥ 0.同時(shí),設(shè)定一個(gè)貸款人認(rèn)為提供貸款是有利可圖的條件是當(dāng)且僅當(dāng)1+ri(t)≤(1+Vi(t))(1?δ(Vi(t))),可以簡(jiǎn)化為ri(t)≤ Vi(t)?(1+Vi(t))δ(Vi(t)).讓 γ(Vi(t))=Vi(t)?(1+Vi(t))δ(Vi(t)),表示貸款的期望回報(bào)率.據(jù)此,可以通過命題2對(duì)D-DCA機(jī)制的均衡解加以描述.

命題2對(duì)于任意激勵(lì)相容的D-DCA機(jī)制,如果存在時(shí)間點(diǎn)s=2,3,...,T,滿足k個(gè)貸款人成功參與競(jìng)標(biāo),即并且滿足提供貸款是有利可圖時(shí),所有成功參與競(jìng)標(biāo)的貸款人的真實(shí)報(bào)價(jià)和配額構(gòu)成納什均衡解.(證明見附錄2)

通過命題2發(fā)現(xiàn),對(duì)于任意激勵(lì)相容的D-DCA機(jī)制而言,如果借貸交易成功,那么所有成功參與競(jìng)標(biāo)的貸款人的真實(shí)報(bào)價(jià)和配額構(gòu)成納什均衡解,并且借款人的違約率會(huì)影響整個(gè)機(jī)制的均衡狀態(tài).事實(shí)上,借款人的違約率對(duì)貸款人提供貸款的概率產(chǎn)生顯著影響,即當(dāng)1+ri(s)＞(1+Vi(s))(1?δ(Vi(s)))時(shí),貸款人不會(huì)提供貸款(貸款人會(huì)事后違約).此時(shí),所有貸款人不參與競(jìng)標(biāo),進(jìn)而導(dǎo)致市場(chǎng)不存在,因此激勵(lì)相容的D-DCA機(jī)制也就不存在納什均衡狀態(tài).所以,借款人的違約率會(huì)影響整個(gè)機(jī)制的均衡狀態(tài),并且當(dāng)借款人的違約率不可觀測(cè)時(shí),貸款人的事后違約也會(huì)導(dǎo)致拍賣機(jī)制失靈.

最終結(jié)合命題1和命題2指出,激勵(lì)相容的D-DCA機(jī)制存在的充分條件是貸款人所提供的貸款是有利可圖的,即滿足1+ri(s)≤(1+Vi(s))(1?δ(Vi(s))).因此,主要從貸款人的角度去設(shè)計(jì)拍賣機(jī)制,從貸款人追求期望收益最大化角度去研究拍賣機(jī)制.

2.2 拍賣策略分析

結(jié)合以上分析,進(jìn)一步探討D-DCA機(jī)制中有關(guān)借款人和貸款人的最優(yōu)拍賣策略.根據(jù)定價(jià)函數(shù)Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))中的激勵(lì)或懲罰系數(shù)λ來確定不同情形下的拍賣策略.

情形1當(dāng)λ=0時(shí),借款人和所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略均以的報(bào)價(jià)參與拍賣,并且獲得最優(yōu)定價(jià)為滿足

當(dāng)λ=0時(shí),Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))=bi(t),說明競(jìng)價(jià)策略完全取決于所有貸款人的報(bào)價(jià).所以對(duì)于所有理性的貸款人而言,選擇以的報(bào)價(jià)參與拍賣無(wú)疑是最優(yōu)的.這是因?yàn)?當(dāng)λ=0時(shí),對(duì)于所有小于等于借款人報(bào)價(jià)P(t)的貸款人而言,最終定價(jià)為對(duì)于所有大于借款人報(bào)價(jià)P(t)的貸款人而言,最終定價(jià)為滿足因此取時(shí),貸款人獲得局部最優(yōu)的報(bào)價(jià),這樣就可以進(jìn)一步得到最終的定價(jià)為進(jìn)一步地,借款人在設(shè)定λ=0時(shí)也已經(jīng)預(yù)想到所有成功貸款人的拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,所以借款人的最佳響應(yīng)策略也將是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,這樣可以有效規(guī)避期望損失.此外,值得關(guān)注的是,λ=0情形下的策略類似于Prosper動(dòng)態(tài)拍賣機(jī)制的競(jìng)價(jià)策略,即由貸款人競(jìng)價(jià)決定最終的交易利率.由此可見,當(dāng)λ被0替代,被0替代(對(duì)于i=j+1,j+2,...,k,bi(t)＞P(t))時(shí),Prosper動(dòng)態(tài)拍賣機(jī)制是D-DCA機(jī)制的一個(gè)特例.

情形2當(dāng)λ=1時(shí),所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,并且這個(gè)報(bào)價(jià)是借款人提供的,所以最優(yōu)定價(jià)為

當(dāng)λ=1時(shí),Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))=P(t),說明這時(shí)候的競(jìng)價(jià)策略取決于借款人的報(bào)價(jià)P(t),與貸款人的報(bào)價(jià)無(wú)關(guān).進(jìn)一步地,按照式(1)的解釋意義不難得到,不管所有貸款人的報(bào)價(jià)是小于等于借款人報(bào)價(jià)還是大于借款人報(bào)價(jià),拍賣的最終定價(jià)為P(t),滿足此時(shí),λ=1情形下的策略等價(jià)于拍拍貸撮合機(jī)制的競(jìng)價(jià)策略,即借款人給定一個(gè)借款需求D,并提供一個(gè)的最小值,隨后通過平臺(tái)發(fā)布信急;所有潛在的貸款人以報(bào)價(jià)參與競(jìng)標(biāo),并且不再提供任何報(bào)價(jià);最后如果競(jìng)拍成功,借款人以借款利率或報(bào)價(jià)提供相應(yīng)的支付.進(jìn)一步得到,拍拍貸撮合機(jī)制也是DCA機(jī)制的一個(gè)特例,即λ被1替代.

情形3當(dāng)0＜λ＜1時(shí),所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,借款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,并且獲得最優(yōu)定價(jià)為

根據(jù)式(1)得到,0＜λ＜1情形下的競(jìng)價(jià)策略主要取決于借款人和貸款人報(bào)價(jià)組合{P(t),bi(t)},并且滿足進(jìn)一步地,當(dāng)借款人和貸款人報(bào)價(jià)組合{P(t),bi(t)}取任意數(shù)值時(shí),不難得到,由此可見,對(duì)于理性的貸款人而言,選擇一個(gè)大于借款人報(bào)價(jià)的策略無(wú)疑是占優(yōu)的,但是具體的策略也需要依賴于借款人的報(bào)價(jià),所以在無(wú)法確定借款人報(bào)價(jià)的前提下,貸款人選擇是局部最優(yōu)的.因?yàn)閂i(t)=是一個(gè)增函數(shù),因此取時(shí),貸款人獲得局部最優(yōu)的定價(jià).這樣就可以得到最終定價(jià)為進(jìn)一步地,借款人在設(shè)定0＜λ＜1時(shí)也已經(jīng)預(yù)想到所有成功貸款人的拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,所以借款人的最佳響應(yīng)策略也是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,因?yàn)殛P(guān)于報(bào)價(jià)P(t)是一個(gè)增函數(shù),因此取時(shí),借款人能獲得局部最優(yōu)的定價(jià).

情形4當(dāng)λ＞1時(shí),借款人和所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,并且獲得最優(yōu)定價(jià)為

同理,根據(jù)式(1)得到λ＞1情形下的競(jìng)價(jià)策略主要取決于借款人和貸款人報(bào)價(jià)組合{P(t),bi(t)},并且滿足但是當(dāng){P(t),bi(t)}取任意值時(shí),容易得到

由此可見,對(duì)于理性的貸款人而言,選擇一個(gè)小于或等于借款人報(bào)價(jià)的策略無(wú)疑是占優(yōu)的,但是具體的策略也需要依賴于借款人的報(bào)價(jià),所以在無(wú)法確定借款人相關(guān)報(bào)價(jià)信急的前提下,貸款人選擇是局部最優(yōu)的.這是因?yàn)槭且粋€(gè)減函數(shù),因此取時(shí),貸款人獲得局部最優(yōu)的報(bào)價(jià).這樣就可以進(jìn)一步得到最終的定價(jià)為進(jìn)一步地,借款人在設(shè)定λ＞1時(shí)也已經(jīng)預(yù)想到所有成功貸款人的拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,所以借款人的最佳響應(yīng)策略也是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,因?yàn)殛P(guān)于報(bào)價(jià)P(t)是一個(gè)增函數(shù),因此取時(shí),借款人能獲得局部最優(yōu)的定價(jià).

結(jié)合情形1至情形4的分析,有如下結(jié)論.

結(jié)論1在不完全密封情形下,任意成功貸款人能通過最優(yōu)拍賣策略實(shí)現(xiàn)收益最大化.其中,當(dāng)λ=0時(shí),借款人和所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略均以的報(bào)價(jià)參與拍賣,滿足當(dāng) λ =1 時(shí),所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以借款人的報(bào)價(jià)參與拍賣;當(dāng)0＜λ＜1時(shí),所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,借款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣;當(dāng)λ＞1時(shí),借款人和所有成功貸款人的最優(yōu)拍賣策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣.

值得注意的是,結(jié)論1屬于完美定價(jià)狀態(tài).在實(shí)際的運(yùn)行過程中,借款人可能會(huì)結(jié)合借款需求的緊迫性等適當(dāng)抬高報(bào)價(jià),以增加密封報(bào)價(jià)的隨機(jī)性;同時(shí),犧牲部分收益以獲得密封報(bào)價(jià)隨機(jī)性的行為也有利于保持D-DCA機(jī)制的雙邊叫價(jià)特征,有利于保持貸款人之間的相對(duì)獨(dú)立性,而不至于產(chǎn)生借貸雙方的套利交易行為.除此之外,在實(shí)際運(yùn)行過程中,也會(huì)存在非理性的貸款人成功參與D-DCA機(jī)制,并且非理性貸款人在D-DCA機(jī)制中可以模仿其他貸款人的決策(羊群效應(yīng)).所以,可以將基準(zhǔn)模型進(jìn)一步拓展到完全密封的情形,以減少羊群效應(yīng)對(duì)P2P網(wǎng)絡(luò)借貸拍賣機(jī)制的影響.

3 拓展模型:完全密封拍賣

3.1 拍賣模型及性能分析

在拓展模型中,給定每個(gè)貸款人提供的配額不構(gòu)成其他貸款人的共同知識(shí),無(wú)法學(xué)習(xí)或模仿其他貸款人的行為決策.這種完全密封的關(guān)閉式拍賣類似于不完全信急下的密封拍賣模式,只是P2P網(wǎng)絡(luò)借貸交易機(jī)制中的拍賣模式屬于關(guān)閉式拍賣,因此不能直接采用不完全信急下的密封拍賣模式,但是不完全信急下的密封拍賣也說明了這種拍賣對(duì)于借款人是最優(yōu)的.

為了區(qū)別于不完全密封競(jìng)價(jià)情形,這里做如下幾點(diǎn)假設(shè):1)借款人的借款需求D帶有一個(gè)保留利率R.保留利率R可以理解為,借款需求D在實(shí)際經(jīng)營(yíng)過程中預(yù)期得到的邊際收益率,它表明一個(gè)投資項(xiàng)目的收益應(yīng)按何種比例增長(zhǎng)才能達(dá)到預(yù)期的收益,因此,它也代表了借款人通過借款需求D進(jìn)行投資而獲得的邊際利潤(rùn)率;2)在拍賣結(jié)束之前,貸款人的競(jìng)標(biāo)報(bào)價(jià)和配額都是事前密封的.這里可以將貸款人的報(bào)價(jià)和配額組合為φi(t)=(bi(t),ai(t)),并以?i(t)參與拍賣.這樣便得到n個(gè)貸款人L1,L2,...,Ln在任意t時(shí)刻的投標(biāo)集合為Φ(t)={φ1(t),φ2(t),...,φn(t)},其中t=1,2,...,T;3)完全密封情形的拍賣規(guī)則類似于不完全密封情形,只是將定價(jià)函數(shù)設(shè)為Vi(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t)).

所以,相對(duì)于基準(zhǔn)模型而言,拓展模型最主要的突出特征是進(jìn)一步考慮了貸款人相關(guān)配額的密封性,使得貸款人在投資決策過程中無(wú)法推測(cè)其他貸款人的投標(biāo)信急,保證借貸雙方真實(shí)披露各自的私人信急.對(duì)比基準(zhǔn)模型發(fā)現(xiàn),拓展模型的定價(jià)函數(shù)由Vi(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))變?yōu)閂i(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t)).所以,先給出拓展模型的相關(guān)定義.

定義3對(duì)于滿足定義1的任意P2P網(wǎng)絡(luò)借貸拍賣機(jī)制,如果能夠?qū)i(t)=bi(t)+λ(P(t)?bi(t))變換為Vi(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t)),就可以被稱為雙邊完全密封拍賣(簡(jiǎn)稱CD-DCA).

定義4給定= 2,3,...,T,m= 1,2,...,n,滿足 φ1(s)≤ φ2(s)≤ ···≤ φm(s),當(dāng) i≤ k時(shí),貸款人 Li在時(shí)間點(diǎn) s的配額為 ai(s),ak(s)=D ?當(dāng)i＞k時(shí),貸款人Li在時(shí)間點(diǎn)s的配額為0.那么稱Lk為最后一個(gè)成功的貸款人,稱Lk+1為最早一個(gè)失敗的貸款人.特別地,當(dāng)s=1時(shí),k=min

進(jìn)一步地,給定 t=1,2,...,T,Φ(t)={φ1(t),φ2(t),...,φk(t)},當(dāng)成立時(shí),定價(jià)函數(shù)為當(dāng)滿足時(shí),定價(jià)函數(shù)為當(dāng)滿足j個(gè)貸款人的報(bào)價(jià)小于或等于P(t),k?j個(gè)貸款人的報(bào)價(jià)大于P(t)時(shí)(1≤j≤k),定價(jià)函數(shù)為

得到拓展模型的定價(jià)函數(shù)和分配規(guī)則之后,給出拍賣的執(zhí)行過程:在規(guī)定時(shí)間內(nèi),如果存在時(shí)間點(diǎn)s=2,3,...,T滿足≥D,那么時(shí)間點(diǎn)s為拍賣的截止時(shí)間,這時(shí)得到最后一個(gè)成功的貸款人Lk的配額為ak(s)=D?并且滿足=D.反之,如果不能滿足D,那么說明在規(guī)定時(shí)間內(nèi)無(wú)法使得貸款供給大于等于借款需求,拍賣視為失敗,配額通過第三方平臺(tái)退回貸款人,拍賣結(jié)束.

對(duì)拓展模型的激勵(lì)相容性,有下列結(jié)論.

命題3對(duì)定義3中的任意CD-DCA機(jī)制,如果存在時(shí)間點(diǎn)s=2,3,...,T滿足k個(gè)貸款人成功參與競(jìng)標(biāo),即那么所有貸款人的真實(shí)競(jìng)標(biāo)構(gòu)成納什均衡解,并且滿足激勵(lì)相容特征.(證明見附錄3)

命題3同樣說明了,在貸款人成功參與拍賣時(shí),任意的CD-DCA機(jī)制是滿足激勵(lì)相容特征的,并且所有成功貸款人的真實(shí)競(jìng)標(biāo)構(gòu)成納什均衡解.進(jìn)一步地,在考慮借款人違約率的情形下,可以得到與命題2一致的結(jié)果,即只要滿足貸款人提供貸款是有利可圖的,那么CD-DCA機(jī)制也是激勵(lì)相容的(這里不再單獨(dú)展開證明過程),同時(shí)說明了借款人的違約率會(huì)影響整個(gè)機(jī)制的均衡狀態(tài).反之,當(dāng)貸款人提供貸款不是有利可圖的,貸款人不會(huì)提供貸款(貸款人會(huì)事后違約),那么CD-DCA機(jī)制會(huì)失靈.所以,從借款人違約的角度考慮,命題3的結(jié)論與命題2相似,即激勵(lì)相容的CD-DCA機(jī)制存在的充分條件是貸款人所提供的貸款是有利可圖的.差異性在于,命題3是基于完全密封的狀態(tài)下進(jìn)行的,不存在貸款人的模仿和學(xué)習(xí)策略.

3.2 拍賣策略分析

為了進(jìn)一步探討CD-DCA機(jī)制的拍賣策略,假設(shè)組合(bi(t),ai(t))具有相同的分布函數(shù)F和密度函數(shù)f.其中F(·|ai(t))和f(·|ai(t))分別表示為貸款人在配額為ai(t)時(shí)的條件分布函數(shù)和密度函數(shù).

因此,令

同時(shí)對(duì)于所有的ai(t),φi(t)關(guān)于bi(t)是非減的,對(duì)于所有的bi(t),φi(t)關(guān)于ai(t)是非增的[18,19].下面根據(jù)定價(jià)函數(shù)Vi(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t))中的激勵(lì)或懲罰系數(shù)λ來確定不同情形下的拍賣策略.

情形5當(dāng)λ=0時(shí),任意成功貸款人的最優(yōu)策略為并且滿足此時(shí)的最終定價(jià)為

當(dāng)λ=0時(shí),Vi(t)= φi(t)+λ(P(t)?φi(t))= φi(t),說明這時(shí)候的競(jìng)標(biāo)策略完全取決于貸款人Li的競(jìng)標(biāo)組合φi(t)=(bi(t),ai(t)).設(shè)ui(φi(t))=ai(t)(Vi(t)?ri(t))表示貸款人Li的利潤(rùn)函數(shù)(為了簡(jiǎn)化,這里不考慮違約率的影響).所以對(duì)于理性的貸款人Li而言,ui(φi(t))=ai(t)(Vi(t)?ri(t))=ai(t)(bi(t)+?(t))?ai(t)ri(t),此時(shí)結(jié)合不難得到ui(bi(t),ai(t))的最大值.不妨假設(shè)是 ui(φi(t))取最大值的點(diǎn),這樣就可以得到 λ =0 情形下貸款人Li的最優(yōu)競(jìng)標(biāo)策略是所以,在任意t時(shí)刻,任意成功貸款人的最優(yōu)策略為這也說明了,λ=0情形下的所有貸款人無(wú)法推測(cè)其他貸款人的拍賣策略,所以貸款人的最佳響應(yīng)策略是最大化ui(φi(t)),這樣可以從一定程度上規(guī)避貸款人之間的羊群效應(yīng).最終得到定價(jià)為

情形6當(dāng)λ=1時(shí),任意成功貸款人的最優(yōu)策略是以的競(jìng)標(biāo)參與拍賣,但是這個(gè)競(jìng)標(biāo)是借款人提供的,所以最優(yōu)定價(jià)為

當(dāng)λ=1時(shí),Vi(t)=φi(t)+λ(P(t)?φi(t))=P(t),說明此時(shí)的競(jìng)標(biāo)策略取決于借款人的報(bào)價(jià)P(t),與貸款人的競(jìng)標(biāo)組合無(wú)關(guān).

一方面,ui(φi(t))=ai(t)(Vi(t)?ri(t))=ai(t)P(t)?ai(t)ri(t),又因?yàn)樗評(píng)i(φi(t))=ai(t)P(t)?ai(t)ri(t)≥0,此時(shí)貸款人也無(wú)法推測(cè)其他貸款人的拍賣策略,其最佳響應(yīng)策略是最大化自己的配額,即耗盡自己的預(yù)算配額或提供自己的真實(shí)配額.

情形7當(dāng)0＜λ＜1時(shí),任意成功貸款人的次優(yōu)策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,借款人的次優(yōu)策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,并且獲得最優(yōu)定價(jià)為

當(dāng)0＜λ＜1時(shí),任意貸款人的競(jìng)標(biāo)策略主要取決于借款人和貸款人報(bào)價(jià)組合{P(t),φi},滿足

情形8當(dāng)λ＞1時(shí),借款人和任意成功貸款人的次優(yōu)策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣,并且獲得最終的定價(jià)為

當(dāng)λ＞1時(shí),同樣給出,任意貸款人的競(jìng)標(biāo)策略主要取決于借款人和貸款人報(bào)價(jià)組合{P(t),φi},滿足

因?yàn)?ui(φi(t))=ai(t)(1? λ)(bi(t)+?(t))+ai(t)(λP(t)?ri(t)),0＜ai(t)≤D,此時(shí)無(wú)法確定借款人報(bào)價(jià)信急,因此不能根據(jù)約束條件得到ui(bi(t),ai(t))的最大值.貸款人只能結(jié)合函數(shù)φi(t)關(guān)于bi(t)的非減性質(zhì)取時(shí),貸款人實(shí)現(xiàn)次優(yōu)策略.即任意成功貸款人的次優(yōu)策略是以的報(bào)價(jià)參與拍賣.

結(jié)合情形5至情形8的分析,有如下結(jié)論.

結(jié)論2在完全密封的情形下,任意成功貸款人能通過相應(yīng)拍賣實(shí)現(xiàn)最優(yōu)或次優(yōu)策略.其中,當(dāng)λ=0時(shí),任意成功貸款人能通過實(shí)現(xiàn)最優(yōu)策略;而當(dāng)λ＞ 0時(shí),任意成功貸款人只能通過的報(bào)價(jià)或者通過的報(bào)價(jià)參與拍賣,實(shí)現(xiàn)次優(yōu)策略,說明λ＞0情形下的拍賣機(jī)制使得貸款人的策略向下扭曲,小于最優(yōu)水平值.

結(jié)論2主要說明了完全密封競(jìng)標(biāo)情形的拍賣策略在λ＞0情形下被扭曲,使得貸款人無(wú)法直接獲得最大化的收益或利潤(rùn),同時(shí)也驗(yàn)證了這種拍賣機(jī)制可以從一定程度上制約貸款人的決策,有利于降低借款人的成本.進(jìn)一步地,λ=0或者λ＞0情形下的拍賣機(jī)制能保證所有貸款人無(wú)法推測(cè)到其他貸款人的拍賣策略,所以,貸款人的最佳響應(yīng)策略是最大化自己收益或者局部?jī)?yōu)化自己的收益,而不是依靠其他貸款人的競(jìng)標(biāo)信急.因此,這樣的機(jī)制可以從一定程度上規(guī)避貸款人之間的羊群效應(yīng),使得所有貸款人能盡量根據(jù)自己的實(shí)際情況做真實(shí)的決策.

4 算例分析與比較

下面通過數(shù)值算例說明所設(shè)計(jì)拍賣機(jī)制的執(zhí)行過程.由于篇幅有限,僅僅考慮D-DCA機(jī)制的拍賣策略和支付情況:假設(shè)借款人設(shè)定具體的競(jìng)拍時(shí)間為T=6 d,并且在t0=1 d內(nèi)宣布一個(gè)借款合同{500,Vi(t)}至指定P2P網(wǎng)絡(luò)借貸平臺(tái),其中Vi(t)=bi(t)+0.5(P(t)?bi(t)),定價(jià)函數(shù)滿足“小中取大、大中取小”的約束條件.進(jìn)一步設(shè)定,借款人的借款需求為D=500元,借款人提供的密封報(bào)價(jià)保持不變,即P(1)=P(2)= ···=P(T)=0.1,并且滿足P(t)∈[0.05,0.15].隨后,借款人邀請(qǐng)具有閑置資金的所有貸款人進(jìn)入指定P2P平臺(tái)參加這個(gè)D-DCA拍賣;并且在任意時(shí)間段內(nèi)的n個(gè)貸款人提供各自的配額ai(t)和報(bào)價(jià)bi(t).進(jìn)一步地,在整個(gè)拍賣結(jié)束時(shí)獲得所有成功參與的貸款人數(shù)為6人,分別為L(zhǎng)1,L2,...,L6,對(duì)應(yīng)的拍賣策略如表1所示,L6為最后一個(gè)成功的貸款人,并且不考慮借款人違約情況.按照式(1)可以計(jì)算出所有中標(biāo)貸款人的定價(jià)函數(shù),具體如表2所示.

表1 所有成功貸款人的投標(biāo)組合Table 1 All successful lenders’bid combinations

表2 λ=0.5情形下的定價(jià)函數(shù)Table 2 The pricing function in the case of λ=0.5

對(duì)比不同機(jī)制的結(jié)果得到,算例中的D-DCA機(jī)制的拍賣策略(λ=0.5)優(yōu)于Prosper的拍賣機(jī)制(λ=1),弱于拍拍貸的撮合機(jī)制(λ=0),因?yàn)镈-DCA機(jī)制的支付水平介于拍拍貸的撮合機(jī)制和Prosper的拍賣機(jī)制之間(Y(P(t),ai(t))≤Y(Vi(t),ai(t))≤Y(bi(t),ai(t))),其中拍拍貸的撮合機(jī)制相當(dāng)于λ=0情形下的D-DCA機(jī)制,Prosper的拍賣機(jī)制相當(dāng)于λ=1情形下的D-DCA機(jī)制,這也說明了D-DCA機(jī)制的支付水平是隨著λ的變化而變化的(站在借款人的角度去比較不同情形之間差異性).

特別地,當(dāng)0≤λ≤1時(shí),D-DCA機(jī)制的支付水平是隨著λ的增大而增大的.為了進(jìn)一步研究D-DCA機(jī)制的支付水平在λ＞1情形下的變化情況,假設(shè)定價(jià)函數(shù)Vi(t)=bi(t)+2(P(t)?bi(t)),并滿足“小中取大、大中取小”的約束條件.同樣按照公式(1)得到所有貸款人的定價(jià)函數(shù),具體如表3所示.

表3 λ=2情形下的定價(jià)函數(shù)Table 3 The pricing function in the case of λ=2

結(jié)合表1和表2得到,借款人給貸款人L1的總支付給貸款人L2的總支付Y2(V2(t),a2(t))=8.255,給貸款人L3的總支付Y3(V3(t),a3(t))=6.12,給貸款人L4的總支付Y4(V4(t),a4(t))=10.895,給L5的總支付Y5(V5(t),a5(t))=10.075,給貸款人L6的總支付Y6(V6(t),a6(t))=9.415.進(jìn)一步將所有貸款人的支付加總就可以得到借款需要支付的所有費(fèi)用.當(dāng)然,這里的支付費(fèi)用不包括貸款人的本金,所以借款需要支付的所有費(fèi)用等價(jià)于借款總共需要支付的利急.于是得到Y(jié)(Vi(t),ai(t))=52.59.此時(shí),如果按照拍拍貸的撮合機(jī)制,即按照借款人的統(tǒng)一報(bào)價(jià)P(1)=P(2)=···=P(T)=0.1,同樣可以給出借款需要支付的所有利急為Y(P(t),ai(t))=DP(t)=50.如果按照Prosper的拍賣機(jī)制,即按照貸款人各自的報(bào)價(jià)參與拍賣,同樣可以給出借款需要支付的所有利急為Y(bi(t),ai(t))=bi(t)ai(t)=57.56.

結(jié)合表1和表3得到,借款人給貸款人L1的總支付

給貸款人L2的總支付=7.865,給貸款人L3的總支付=6.66,給貸款人L4的總支付=8.42,給L5的總支付=8.35,給貸款人L6的總支付=7.57.進(jìn)一步將所有貸款人的支付加總就可以得到借款需要支付的所有費(fèi)用.于是得到=46.305.這說明,算例中的D-DCA機(jī)制的拍賣策略(λ=2)優(yōu)于拍拍貸的撮合機(jī)制(λ=0)和Prosper的拍賣機(jī)制(λ=1),因?yàn)榇藭r(shí)的支付水平明顯小于拍拍貸撮合機(jī)制和Prosper拍賣機(jī)制的支付水平所以,當(dāng)λ＞1時(shí),D-DCA機(jī)制的支付水平是隨著λ的增大而減小的.

5 結(jié)束語(yǔ)

目前中國(guó)很多P2P網(wǎng)絡(luò)借貸平臺(tái)只考慮借款人的報(bào)價(jià),使得這類拍賣機(jī)制無(wú)法獲知貸款人行為信急,并且在實(shí)際運(yùn)行中容易失靈或增加借款人的支付成本.因此設(shè)計(jì)了一種雙邊密封競(jìng)價(jià)的動(dòng)態(tài)關(guān)閉式拍賣(簡(jiǎn)稱雙邊密封拍賣),并提供了兩種不同情形下的模型.其中,第一種模型(基準(zhǔn)模型)是基于不完全密封約束下得到的,即借款人和貸款人的報(bào)價(jià)是密封的信急,而貸款配額是所有貸款人共同知道的信急.第二種模型(拓展模型)是基于完全密封約束下得到的,即借款人和貸款人的報(bào)價(jià)、配額都是密封的信急.通過算例分析也表明,雙邊密封拍賣機(jī)制的支付水平隨著激勵(lì)系數(shù)(或懲罰系數(shù))的變化而變化.特別地,在激勵(lì)系數(shù)(或懲罰系數(shù))不斷增大的過程中，貸款人的拍賣策略會(huì)不斷向下扭曲,使得貸款人無(wú)法實(shí)現(xiàn)收益最大化.因此,雙邊密封拍賣可以從一定程度上制約貸款人的決策,有利于降低借款人的支付成本.

最后指出,相關(guān)理論設(shè)計(jì)與分析是在有效監(jiān)管背景下進(jìn)行的,沒有充分考慮貸款人的逆向選擇、道德風(fēng)險(xiǎn)等問題,在實(shí)際應(yīng)用中可能存在一定的局限性,后續(xù)將進(jìn)一步放寬假設(shè).同時(shí)考慮到這類拍賣機(jī)制在實(shí)際中尚未得到應(yīng)用,無(wú)法收集相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析,后續(xù)將進(jìn)行實(shí)驗(yàn),分析貸款人和借款人的投標(biāo)策略、借款緊迫性等變量對(duì)該拍賣機(jī)制的影響.