符運(yùn)選，黃己偉，肖 川，袁林新

(1.廣東鴻德建設(shè)工程有限公司，廣東 東莞 523000; 2.四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽(yáng) 618000；3.重慶交通大學(xué)，重慶 400074)

結(jié)構(gòu)可靠度是計(jì)算結(jié)構(gòu)在規(guī)定時(shí)間內(nèi)、規(guī)定條件下能夠完成預(yù)定功能的概率[1]。目前，計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度的常用方法有一次二階矩法、二次二階矩法、蒙特卡羅法、響應(yīng)面法及隨機(jī)有限元法等[2-3]。王志賢[4]等利用蒙特卡羅法中的重要抽樣法計(jì)算結(jié)構(gòu)體系的可靠度。馮曉波[5]等用Matlab實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅法計(jì)算結(jié)構(gòu)的可靠度。近年來(lái)，也有不少學(xué)者利用蒙特卡羅法進(jìn)行現(xiàn)役橋梁時(shí)變可靠度分析。但針對(duì)施工過(guò)程中橋梁可靠度方面的研究卻不是很多。

依托Matlab強(qiáng)大高效的數(shù)值計(jì)算功能，提出基于Matlab的蒙特卡羅法，介紹了其在Matlab環(huán)境下的實(shí)現(xiàn)方法。在闡述施工可靠度定義及其評(píng)判橋梁施工質(zhì)量基本原理的基礎(chǔ)上，以25 m后張法預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)T形梁橋?yàn)槔?，介紹了Matlab實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅法在T梁施工可靠度中的應(yīng)用。

1 蒙特卡羅法

蒙特卡羅法(Monte Carlo Method)是一種基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論，隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展而來(lái)的一種近似數(shù)值求解方法。該方法求解可靠度問(wèn)題的基本原理如下：

第一，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。建立與工程實(shí)際問(wèn)題相似的數(shù)學(xué)模型，并將該模型參數(shù)與實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解聯(lián)系起來(lái)。

第二，利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)M或統(tǒng)計(jì)抽樣。

第三，將統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果近似作為結(jié)構(gòu)的失效概率或可靠度。

蒙特卡洛法求解工程結(jié)構(gòu)失效概率的基本步驟[6]：

1)應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論中的抽樣方法獲得隨機(jī)變量樣本值X1，X2，…，Xn；

2)將樣本值帶入結(jié)構(gòu)功能函數(shù)并計(jì)算，得到值Z

Z=g(X1，X2，…，Xn).

(1)

3)抽樣N次后，統(tǒng)計(jì)Z<0的次數(shù)n，則失效概率的計(jì)算式為

(2)

蒙特卡洛法作為一種近似數(shù)值方法，為保證其計(jì)算精度，在統(tǒng)計(jì)抽樣時(shí)需要有足夠多的抽樣樣本。一般來(lái)說(shuō)，抽樣次數(shù)越多，可靠度計(jì)算結(jié)果穩(wěn)定性越好。在實(shí)際工程應(yīng)用中，抽樣次數(shù)一般按式(3)來(lái)確定。

(3)

蒙特卡洛法比較適用于離散型概率分布的數(shù)據(jù)抽樣。采用蒙特卡洛直接抽樣法針對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行直接抽樣，可有效避免數(shù)據(jù)擬合過(guò)程中造成的擬合偏差。其計(jì)算基本過(guò)程如下：

設(shè)離散型隨機(jī)變量X取值為xi的概率為Pi的分布函數(shù)為

(4)

則由(0，1)均勻分布隨機(jī)變量R產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)ri，如果滿足

F(xi-1)

(5)

則可取為xi離散型隨機(jī)變量X的隨機(jī)數(shù)，則有

(6)

這是因?yàn)?/p>

P{F(xi-1)≤R≤F(xi)}=F(xi)-F(xi-1).

(7)

確定相關(guān)抽樣次數(shù)及抽樣方法之后，可以用編程的方法來(lái)計(jì)算其可靠度。

2 Matlab介紹

2.1 Matlab簡(jiǎn)介

Matlab是一種功能十分強(qiáng)大的科學(xué)和工程計(jì)算數(shù)學(xué)軟件[7]。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化，以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，極大地方便了工程技術(shù)人員學(xué)習(xí)掌握。同時(shí)，它還提供了非常豐富的工具箱(Toolbox)，包括控制系統(tǒng)工具、通訊系統(tǒng)工具箱、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱、統(tǒng)計(jì)工具箱、小波工具箱等。利用這些工具箱，科研人員可以方便地進(jìn)行科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)和數(shù)值計(jì)算，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言(如C、Fortran)編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。

2.2 蒙特卡洛法在Matlab環(huán)境下的實(shí)現(xiàn)

根據(jù)蒙特卡洛法求解結(jié)構(gòu)失效概率的基本步驟，利用Matlab軟件強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算能力，可以實(shí)現(xiàn)蒙特卡洛法的高效應(yīng)用。其程序如圖1所示。

圖1 蒙特卡洛法在Matlab環(huán)境下實(shí)現(xiàn)的程序框圖

3 施工可靠度3.1 施工可靠度定義

參照結(jié)構(gòu)可靠度概念，施工可靠度可定義為：在使用完畢的狀態(tài)下，橋梁達(dá)到設(shè)計(jì)目標(biāo)承載能力的概率[8]。

3.2 施工可靠度評(píng)判橋梁施工質(zhì)量的基本原理

橋梁施工過(guò)程中受外部環(huán)境等因素影響會(huì)導(dǎo)致實(shí)際施工產(chǎn)品參數(shù)與結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)產(chǎn)生偏差。這種偏差最終會(huì)引起實(shí)際結(jié)構(gòu)抗力R′與設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)抗力R不完全一致，會(huì)出現(xiàn)以下3種情形(見表1)。

表1 結(jié)構(gòu)狀態(tài)描述

表1中所述不達(dá)標(biāo)并非表示結(jié)構(gòu)完全處于失效狀態(tài)，只是說(shuō)明橋梁施工質(zhì)量未達(dá)到設(shè)計(jì)要求。若實(shí)測(cè)參數(shù)樣本足夠多，可利用可靠度理論計(jì)算橋梁施工的可靠度，反映施工質(zhì)量好壞，有助于工程項(xiàng)目管理人員提高橋梁施工管理水平。

4 算 例

以25 m后張法預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)T形梁為例，上部構(gòu)造形式采用5梁式，其邊梁和中梁橫截面如圖2、圖3所示。受實(shí)際調(diào)查條件限制，不易取得所有樣本值。所以選取有代表性的參數(shù)設(shè)計(jì)值如下：T梁梁寬B=2.4 m，梁高H=1.7 m，腹板厚度t=0.20～0.48 m，混凝土強(qiáng)度等級(jí)C50，其抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為22.4 MPa，邊梁一側(cè)頂板厚度h1=0.15 m，另一側(cè)頂板厚度h2=0.20 m，中梁兩側(cè)頂板厚度均為0.20 m。具體如表2所示。

表2 參數(shù)設(shè)計(jì)值 m

圖2 T形梁邊梁橫截面(單位：cm)

圖3 T形梁中梁橫截面(單位：cm)

將參數(shù)設(shè)計(jì)值代入T梁正截面抗彎極限承載力公式，作為荷載值S；將實(shí)測(cè)參數(shù)代入T梁正截面抗彎承載力公式，得到抗力值R。由此，構(gòu)建功能函數(shù)Z=R-S。若計(jì)算得Z<0，其含義為實(shí)際T梁承載力并未達(dá)到設(shè)計(jì)要求承載力。

為評(píng)判蒙特卡洛法計(jì)算T梁施工可靠度的收斂性，分別計(jì)算了502～8002次抽樣，并且每種抽樣次數(shù)均分別計(jì)算了5次。計(jì)算得到T梁正截面抗彎極限承載力可靠度(見表3、表4)。

表3 T形梁邊梁可靠度

表4 T形梁中梁可靠度

采用蒙特卡洛法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度時(shí)，結(jié)果的穩(wěn)定性對(duì)抽樣次數(shù)比較敏感[6]。一般來(lái)說(shuō)，抽樣次數(shù)越少，可靠度結(jié)果穩(wěn)定性越差；抽樣次數(shù)越多，可靠度結(jié)果穩(wěn)定性越好。為滿足實(shí)際工程所需要精度，一般認(rèn)為抽樣次數(shù)應(yīng)達(dá)到16萬(wàn)次，即4002次。由于Matlab計(jì)算的高效性，采用該法時(shí)的計(jì)算用時(shí)總計(jì)不應(yīng)超過(guò)2 s。

取4002次抽樣結(jié)果，邊梁T梁施工可靠度(平均值)為0.965 21，失效概率為1-0.965 21=0.034 8。中梁T梁施工可靠度(平均值)0.964 12，失效概率為1-0.964 12=0.034 8。

5 結(jié) 語(yǔ)

1)在實(shí)際施工過(guò)程中，采用基于結(jié)構(gòu)可靠度方法的施工質(zhì)量管理會(huì)提高施工質(zhì)量，降低橋梁在運(yùn)營(yíng)中的風(fēng)險(xiǎn)，減少各類安全事故的發(fā)生。

2)蒙特卡羅法計(jì)算可靠度時(shí)，若抽樣次數(shù)不大，采用傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言編程(如Fortran、C、C++)計(jì)算效率還行。但當(dāng)失效概率很小，所需抽樣次數(shù)要求很大時(shí)，計(jì)算負(fù)荷會(huì)增加很大，若仍采用傳統(tǒng)方法編程計(jì)算，會(huì)直接影響計(jì)算效率。借助Matlab軟件，充分發(fā)揮其矩陣運(yùn)算功能及統(tǒng)計(jì)工具箱的作用，可大幅提高計(jì)算效率。文中抽樣8002次，計(jì)算總用時(shí)也不過(guò)幾秒，效率非常高。