李國(guó)東

摘 要：解二元一次方程組的關(guān)鍵是，抓住方程的結(jié)構(gòu)特征或某種規(guī)律，這些結(jié)構(gòu)特征以及某種規(guī)律就包括了代入消元法以及加減消元法，還要聯(lián)想其他的解題方法和技巧，充分發(fā)揮一題多解的魅力。

關(guān)鍵詞：消元 代入法 加減法 方法 技巧 一題多解

運(yùn)算能力是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力的重要組成部分，不僅是指數(shù)的運(yùn)算能力，式子的計(jì)算能力等。在數(shù)學(xué)的運(yùn)算過(guò)程中，運(yùn)算是非常重要的一項(xiàng)基本要求，也是最基本的操作，而且，在以后所學(xué)的內(nèi)容包括 “圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”等都會(huì)與運(yùn)算產(chǎn)生某種聯(lián)系。也就是說(shuō)，運(yùn)算能力是考察對(duì)數(shù)學(xué)操作能力的熟練程度，也是一種對(duì)數(shù)學(xué)思維的鍛煉能力。

上初中的中學(xué)生的天性是比較活潑的，而且這些學(xué)生也都比較聰明，對(duì)所有的事物都有很大的興趣，對(duì)自身的感覺(jué)也是非常的自信，但是他們身上有一個(gè)缺點(diǎn)，就是沒(méi)有一個(gè)很好的習(xí)慣，也沒(méi)有很強(qiáng)的學(xué)習(xí)意愿。學(xué)生沒(méi)有很好的基礎(chǔ)，也對(duì)于基礎(chǔ)沒(méi)有明確的概念，同時(shí)對(duì)麻煩也十分的害怕，在面對(duì)困難的時(shí)候沒(méi)有一個(gè)必勝的信念。尤其是數(shù)學(xué)課，學(xué)生們都沒(méi)有想要學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，若不能激發(fā)學(xué)生興趣，吸引學(xué)生的注意力，那學(xué)生很快就會(huì)厭倦學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

在講二元一次方程組的解法時(shí)，學(xué)生已通過(guò)大量的練習(xí)，能初步掌握二元一次方程組的解法，但是這些學(xué)生卻很難具有靈活運(yùn)用的思維，因?yàn)檫@也是一種運(yùn)算，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，這項(xiàng)技能是學(xué)生必須要掌握的，在解決中這種問(wèn)題的時(shí)候老師要教會(huì)學(xué)生解題的方法，仔細(xì)觀察這種題型的特征，在解決了以后要學(xué)會(huì)舉一反三。在此基礎(chǔ)上，要反復(fù)不斷的進(jìn)行練習(xí)，但是也不要過(guò)分的練習(xí)，因?yàn)檫@會(huì)打擊學(xué)生的積極性，讓學(xué)生感覺(jué)到?jīng)]有任何的樂(lè)趣，所以，要適中而行，讓學(xué)生產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的情感的同時(shí)教會(huì)學(xué)生這項(xiàng)技能。但是究竟怎么做才能讓學(xué)生欣然地掌握這種技能呢，同時(shí)也在其他的方面包括思維能力、價(jià)值觀念等也有發(fā)展呢？

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)完了這兩種基本方法以后，我又進(jìn)行了一次比較有冒險(xiǎn)性的實(shí)驗(yàn)。

一、課堂記錄

在上課鈴聲響了以后，學(xué)生了陸續(xù)的進(jìn)入了教室，我也緊隨著進(jìn)入了教室，然后說(shuō)：“同學(xué)們，現(xiàn)在我們來(lái)復(fù)習(xí)下上節(jié)課所學(xué)的有關(guān)二元一次的方程的問(wèn)題。” 聽(tīng)見(jiàn)我這么一說(shuō)，學(xué)生像泄了氣的皮球，頓時(shí)沒(méi)有了興趣，也失去了學(xué)習(xí)的熱情，我向下看了一眼，同學(xué)都沒(méi)有任何的反應(yīng)，有的同學(xué)在拿出自己的書(shū)，有的則是和同學(xué)說(shuō)笑……

“上節(jié)課我們講了有關(guān)二元一次方程的有關(guān)問(wèn)題，解決這種問(wèn)題的思路包括？”

“消……元……”同學(xué)無(wú)精打采的回復(fù)。接著，我將列好的方程組顯示在了幻燈片上

稍做停頓，我靈機(jī)一動(dòng)：“今天，我們只解一道題?！?/p>

我剛說(shuō)完，同學(xué)們瞬間來(lái)了精氣神，都比較的好奇的抬頭向前看，看來(lái)我的方法產(chǎn)生效果了。

“咳，我來(lái)解這道題?！蓖瑢W(xué)甲將手舉起來(lái)，然后他走上講臺(tái)，用加減法來(lái)解決這道題。

解法1：①×4得：12x+16y=10 ③

③-②得：25y=-5……

他還沒(méi)有完全得出答案，下面的同學(xué)就開(kāi)始躁動(dòng)了：“他的思路錯(cuò)了，……”此時(shí)我還是有一點(diǎn)小開(kāi)心的，因?yàn)檫@正是同學(xué)們經(jīng)常犯的錯(cuò)誤，我正好可以根據(jù)這個(gè)錯(cuò)誤來(lái)向大家解釋一下這個(gè)方法。他剛解答完，有一個(gè)同學(xué)就舉起了手，對(duì)我說(shuō)：“老師，我來(lái)改這個(gè)錯(cuò)誤……”

12x+16y=40

∴25y=25，y=1將y=1代入①，求得x=2，

∴解為

x=2

y=1

學(xué)生乙同學(xué)非常有自信的將這個(gè)錯(cuò)誤改了過(guò)來(lái)。我心里想還是讓同學(xué)們自己改一遍才能達(dá)到想要的效果??！

接著我說(shuō)：“你們還有其他的方法么”“有，代入法?！北瑢W(xué)說(shuō)的聲音非常大。過(guò)了一會(huì)，下面的同學(xué)有些躁動(dòng)，有的同學(xué)再說(shuō)：“太麻煩了……”我提醒了一下丙同學(xué)：“解決這個(gè)問(wèn)題可不可以試試代入法？”這次，躁動(dòng)的聲音明顯小了：“但是也有一點(diǎn)復(fù)雜啊?！薄翱纯催€能不能把代入法變得簡(jiǎn)單呢？”我對(duì)那個(gè)同學(xué)說(shuō)?！芭?！我知道可以用什么方法來(lái)解決啦……”

解法2：“因?yàn)榈谝粋€(gè)方程中 的系數(shù)是第二個(gè)方程中 系數(shù)的四分之一，所以我們還可以使用整體帶入的方法，可以把3x最為一個(gè)整體。由方程式可以算出3x=10-14y，然后將其帶入方程2就可以得出答案了?！?/p>

“我怎么沒(méi)有想到用這個(gè)方法來(lái)解決呢……”這時(shí)一些同學(xué)在用手拍打自己的腦袋，也有的同學(xué)在暗暗地低下了頭……

“丙同學(xué)是最開(kāi)始使用這種方法的，但是，不要緊，咱們大家在仔細(xì)想想看看還有沒(méi)有什么其他的方法可以解決這個(gè)問(wèn)題。現(xiàn)在，一個(gè)小組的四個(gè)人來(lái)一起討論。這一次，必須要爭(zhēng)取拿個(gè)第一嘍！”

學(xué)生們開(kāi)始了你一言我一語(yǔ)地討論了。我看每一個(gè)同學(xué)的神情，都看出了他們也都在積極的尋找解決這個(gè)問(wèn)題的方法。過(guò)了一會(huì)，學(xué)生們有了自己的答案，看到這些學(xué)生的解決問(wèn)題的方法，我感到非常欣慰，他們竟然能想到這么多方法，真的是太有潛力了！

解法3：將3x+4y看做一個(gè)整體

將②代為12x+16y-25y=15

4（3x+4y-25y=15）

①為3x+4y=10整體代入上式

4×10-25y=15這樣就可以得到方程組的解

這是一種換元的思想，這種思想用的非常巧妙。

解法4：將第二個(gè)方程改寫(xiě)為4x-3y=5 ③

x+4y=10 ①

4x-3y=5 ③

一般解法①×3+③×4

得25x=50 x=2

解法5：觀察方程②，化為4x-3y=5 ③

4x-3y=5 ③

①+③得7x+y=15由此代為y=15-7x代入①求解。

我真的不敢想象現(xiàn)在學(xué)生具有這么大的潛力啊。然后我在此基礎(chǔ)上又重新出了一個(gè)問(wèn)題。于是給出了一個(gè)變式：

解方程組：3x+4y=10 ①

4x+3y=5 ②

這個(gè)方程可以讓學(xué)生們培養(yǎng)觀察方程系數(shù)的習(xí)慣，從舉一反三，可以解決這種問(wèn)題了。

①+②得： ③

②-①得： x-y=-5 ④

聯(lián)立③④，解得方程組。

此時(shí)的學(xué)生很興奮。

于是我不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)：“達(dá)到一樣的結(jié)果也可以使用不同的方法呀，但是我們應(yīng)該怎樣看待這種解決二元一次方程組的問(wèn)題呢？”學(xué)生們興致勃勃，沸沸揚(yáng)揚(yáng)地講了很多……

二、教學(xué)領(lǐng)悟

眼睛，是數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)特點(diǎn)，也正是其特點(diǎn)，決定了數(shù)學(xué)和其他的學(xué)科不一樣，其他的學(xué)科有實(shí)驗(yàn)，有現(xiàn)象，可以讓學(xué)生在動(dòng)手操作的同時(shí)就掌握了某些知識(shí)，但是數(shù)學(xué)是比較抽象的，也是很枯燥的。這就要求了數(shù)學(xué)老師在上課的時(shí)候一定要引導(dǎo)孩子一個(gè)正確的方向，引起學(xué)生在數(shù)學(xué)上的興趣。這是一個(gè)很值得思考的問(wèn)題。本文就是將傳統(tǒng)的教學(xué)特點(diǎn)打破而采取了一個(gè)新的方法，這也是在《課標(biāo)》的要求在進(jìn)行的一次新的創(chuàng)新，這種方法是真正的體現(xiàn)在課堂上，體現(xiàn)了以學(xué)生為主的這一主要?jiǎng)恿?，在教學(xué)的方法上以學(xué)生的實(shí)際需要為基礎(chǔ)，吸引了學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)的注意力。

到底是使用哪種方法來(lái)解二元一次方程組呢？實(shí)際哪種方法都可以解決，但是我們要具體情況就分析，減小計(jì)算步驟，加快計(jì)算的速度，可以使結(jié)果更加的準(zhǔn)確，這不就是學(xué)生的運(yùn)算能力嗎？相信學(xué)生們?cè)谶@節(jié)課上學(xué)習(xí)到了很多的知識(shí)，也都對(duì)二元一次方程組有了更深刻的認(rèn)識(shí)，學(xué)生們明白了解決問(wèn)題方式是非常重要的。同時(shí)，要積極的將思維轉(zhuǎn)換過(guò)來(lái)，注意將方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這也就說(shuō)要仔細(xì)的觀察方程組的特點(diǎn)，采用合適的方法來(lái)解決問(wèn)題。

在數(shù)學(xué)課堂上，我覺(jué)得適時(shí)地通過(guò)一道簡(jiǎn)單的題目，讓學(xué)生自己尋找多種的解法，這樣可以大大地激發(fā)出學(xué)生的智慧，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，數(shù)學(xué)基本都是一個(gè)題目有很多的解決方法，所以我們必須積極培養(yǎng)學(xué)生的思維，這也是數(shù)學(xué)的魅力。