☉江蘇省張家港市崇真中學(xué) 陳 斌

三角函數(shù)的求值問題一直是高考中常見的題型，2017年高考北京卷理第12題的三角求值問題，通過精妙的設(shè)計(jì)，把三角函數(shù)中角的推廣、三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換等相關(guān)知識(shí)巧妙地結(jié)合在一起，題小但量大.該題在解法上具有多樣性，解題切入口也不唯一，這樣能更好地考查學(xué)生思維的靈活性、多樣性、拓展性.

【高考原題】（2017·北京理·12）在平面直角坐標(biāo)xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.

思維分析1：根據(jù)角α與角β的始邊相同，終邊關(guān)于y軸對(duì)稱建立相應(yīng)的關(guān)系式，通過角之間的運(yùn)算，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式加以求解三角函數(shù)值問題.

解法1（對(duì)稱角關(guān)系法1）：因?yàn)榻铅僚c角β的始邊相同，終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則有α+β=（2k+1）π，k∈Z，

故β=（2k+1）π-α，k∈Z，即α-β=2α-（2k+1）π，k∈Z，

所以cos（α-β）=cos［2α-（2k+1）π］=-cos2α=2sin2α-

思維分析2：根據(jù)角α與角β的始邊相同，終邊關(guān)于y軸對(duì)稱建立相應(yīng)的關(guān)系式，通過關(guān)系式的轉(zhuǎn)化與誘導(dǎo)公式，并結(jié)合兩角差的余弦公式來求解三角函數(shù)值問題.

解法2（對(duì)稱角關(guān)系法2）：因?yàn)榻铅僚c角β的始邊相同，終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則有α+β=（2k+1）π，k∈Z，

故β=（2k+1）π-α，k∈Z，

則sinβ=sin［（2k+1）π-α］=sinα，cosβ=cos［（2k+1）πα］=-cosα，

思維分析3：先在角α的終邊上任取一點(diǎn)P（m，n）（n≠0），結(jié)合條件建立兩參數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義求解相應(yīng)的三角函數(shù)值，利用兩角差的余弦公式加以求解三角函數(shù)值問題.

解法3（定義法）：在角α的終邊上任取一點(diǎn)P（m，n）（n≠0），

由于角α與角β的始邊相同，終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則點(diǎn)Q（-m，n）在角β的終邊上，由三角函數(shù)的定義可得

所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

思維分析4：根據(jù)條件中角α的正弦值確定角α的終邊所在的象限，通過分類討論，選取相應(yīng)象限內(nèi)角α的終邊上的特殊點(diǎn)，結(jié)合對(duì)稱性質(zhì)與三角函數(shù)定義來求解對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值，再結(jié)合兩角差的余弦公式來處理即可.

（1）當(dāng)角α的終邊在第一象限內(nèi)時(shí)，可在角α的終邊上取特殊點(diǎn)P（2，1），點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q（-2，1），

【總結(jié)拓展】綜合比較以上各解法，各有特色，各有所長(zhǎng).解法1與解法2直接找出兩角之間的關(guān)系，然后利用誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式來求解三角函數(shù)值；解法3使用的是三角函數(shù)的定義，屬于一般方法，回歸定義；解法4根據(jù)角的三角函數(shù)值只與角的終邊位置有關(guān)，而與點(diǎn)的選取無關(guān)，通過直接選取終邊上的特殊點(diǎn)法，這樣處理可以減少運(yùn)算.其實(shí)，經(jīng)過進(jìn)一步分析，可以拓展以下一些具有一定創(chuàng)新性的問題.

變式方向一：條件簡(jiǎn)單化

【思維拓展1】（2017·北京文·9）在平面直角坐標(biāo)xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.

解析：因?yàn)榻铅僚c角β的始邊相同，終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則有α+β=（2k+1）π，k∈Z，故β=（2k+1）π-α，k∈Z，

變式方向二：對(duì)稱角度變化一

【思維拓展2】（原創(chuàng)）在平面直角坐標(biāo)xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱.若sinα=

解析：因?yàn)榻铅僚c角β的始邊相同，終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則有α+β=2kπ，k∈Z，

故β=2kπ-α，k∈Z，即α-β=2α-2kπ，k∈Z，

變式方向三：對(duì)稱角度變化二

【思維拓展3】（原創(chuàng)）在平面直角坐標(biāo)xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.若

解析：因?yàn)榻铅僚c角β的始邊相同，終邊關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則有β-α=（2k+1）π，k∈Z，

故β=α+（2k+1）π，k∈Z，即α+β=2α+（2k+1）π，k∈Z，

變式方向四：對(duì)稱角度變化三

【思維拓展4】（原創(chuàng)）在平面直角坐標(biāo)xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱.若

變式方向五：對(duì)稱角度變化四

【思維拓展5】（原創(chuàng)）在平面直角坐標(biāo)xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線y=-x對(duì)稱.若