☉江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué) 宋 衛(wèi)

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)怎樣才能保持課堂鮮活的生命力是廣大高中數(shù)學(xué)教師一直研究的問題.事實(shí)上，教師在復(fù)習(xí)課教學(xué)中僅僅關(guān)注知識(shí)的回顧和整理是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，數(shù)學(xué)思想方法的溝通才是復(fù)習(xí)課教學(xué)中最為重要的內(nèi)容.因此，教師在復(fù)習(xí)課教學(xué)中首先應(yīng)清楚課中各部分內(nèi)容的重要程度，在課堂教學(xué)中做到重點(diǎn)突出、有的放矢.另外，教師可以在復(fù)習(xí)教學(xué)中立足小切口設(shè)計(jì)出形式多樣的復(fù)習(xí)教學(xué)并因此實(shí)現(xiàn)連點(diǎn)成線、以線帶面的復(fù)習(xí)效果.同時(shí)，教師還可以不斷變換視角對(duì)復(fù)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行新的思考與設(shè)計(jì)，使學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)活動(dòng)保持持久的新鮮感與動(dòng)力.本文是筆者在觀摩一節(jié)公開課后，結(jié)合執(zhí)教教師在直線方程及其應(yīng)用這一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容及所獲得的認(rèn)識(shí)與理解來展現(xiàn)以下各教學(xué)環(huán)節(jié).

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

1.直線方程的各種形式，如表1.

表1

點(diǎn) 法 向 式 a（x-x0）+b（y-y0）=0 d=（b，-a） n=（a，b）（存在時(shí)）k=-a b點(diǎn)斜式 y-y0=k（x-x0） d=（1，k） n=（k，-1） k斜截式 y=kx+b d=（1，k） n=（k，-1） k一般式ax+by+c=0（a，b不同時(shí)為零）d=（-b，a） n=（a，b）（存在時(shí)）k=-a b

2.直線傾斜角和斜率的關(guān)系，如圖1.

二、分析例題，探求方法

圖1

例題 如圖2，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（3，4），C（12，5），求：

（1）BC邊所在直線的點(diǎn)方向式方程；

（2）BC邊上的中線AD所在直線的一般式方程；

（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.

圖2

解：（1）直線BC的一個(gè)方向向量是d=（9，1），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（3，4），因此BC邊所在直線的點(diǎn)方向式方程是

（3）直線AE的一個(gè)法向量是B—→C=（9，1），直線經(jīng)過A（0，0），因此直線AE的點(diǎn)法向式方程是9（x-0）+1（y-0）=0，即9x+y=0.

設(shè)計(jì)意圖：這是來自于學(xué)生作業(yè)題中的一個(gè)典型練習(xí)，教師在課堂上首先請(qǐng)一位學(xué)生上黑板板演并要求其他學(xué)生也在下面獨(dú)立解決，大多數(shù)學(xué)生都能較快地解決此題.教師在學(xué)生完成解題之后又引導(dǎo)學(xué)生對(duì)直線方程的常用求解辦法進(jìn)行了總結(jié)與表述，使學(xué)生在總結(jié)歸納的過程中很好地理解了直線方程的獲得需要滿足兩個(gè)條件：條件一即題中條件涉及的點(diǎn)應(yīng)該是不同的兩個(gè)點(diǎn)；條件二即求解直線方程需滿足一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)可以刻畫直線方程的量.

教師緊接著又提出以下問題：我們?cè)谌切沃羞€學(xué)過哪些重要的線呢？大家想一想還能求出哪些線的方程呢？學(xué)生的鉆研勁頭在教師的提問中一下子得到了激發(fā)，從而也使變式探究異常精彩，學(xué)生經(jīng)過一定的合作交流以后作出了以下變式：

變式1：在△ABC中，求∠A的平分線所在直線的方程.

解：∠A的平分線所在直線的方程：7x-9y=0.

變式2：過A作直線l，l將△ABC的面積分成13∶5兩部分，求直線l的方程.

解：直線l的方程為85x-171y=0或7x-9y=0.

（教師在講解過程中引導(dǎo)學(xué)生大膽發(fā)表自己的意見，使學(xué)生在闡述自己思路的過程中對(duì)直線方程的求解方法獲得了再一次的體驗(yàn)與感悟，同時(shí)要求學(xué)生在分類討論的過程中能夠畫出圖形并感悟各條件之間的關(guān)系）

（教師在講解過程中能注意知識(shí)的回顧、滲透以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，并在強(qiáng)化學(xué)生記憶的同時(shí)也為后續(xù)教學(xué)作好鋪墊）

變式3：過點(diǎn)B作直線與x、y軸的正半軸分別相交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)△OMN面積最小時(shí)該直線方程如何？此時(shí)△OMN面積的最小值又是多少？

解：（1）如果k不存在，此時(shí)所求直線方程為x=3，但這與條件是不吻合的.

（2）如果k存在，設(shè)直線的斜率是k，此時(shí)直線方程是：y=k（x-3）+4，由題意可知k＜0.

令x=0得y=4-3k，

此時(shí)直線方程是4x+3y-24=0.

設(shè)計(jì)意圖：教師在運(yùn)用斜率解題的教學(xué)中一定要讓學(xué)生意識(shí)到討論斜率是否存在十分重要，本題中k＜0的分析要結(jié)合圖形進(jìn)行，這一過程能夠引導(dǎo)學(xué)生感悟挖掘題中隱含信息對(duì)正確解題的重要價(jià)值.教師在直線方程得出之后又引導(dǎo)學(xué)生對(duì)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系展開進(jìn)一步的研究和討論，并引導(dǎo)學(xué)生大膽表達(dá)自己的想法與思路，本題多種解法也使學(xué)生對(duì)待定系數(shù)法與代數(shù)法在這一幾何問題的解決中的運(yùn)用過程與思想形成了清晰的認(rèn)識(shí)和體會(huì).

變式4（拓展）：過點(diǎn)B（3，4）作直線與x軸正半軸相交于R點(diǎn)，與直線y=4x于第一象限相交于S點(diǎn)，當(dāng)△ORS的面積最小時(shí)該直線方程如何？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在變式3的探究與討論中很容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)△OMN面積最小時(shí)，點(diǎn)B正好是M、N的中點(diǎn)，教師此時(shí)提出了下列問題來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：這會(huì)不會(huì)是一種巧合呢？如果不是巧合，那么我們又能得到哪些結(jié)論？隨后，教師安排學(xué)生在課下圍繞這些問題進(jìn)行分組討論.事實(shí)上，學(xué)生在變式的研究與討論中也確實(shí)更好地感受到了質(zhì)不變而形變的哲學(xué)思想，一題多解的探究更好地鍛煉了學(xué)生的解題思維，思維發(fā)散、拓展的過程使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)、方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生在不斷的觀察、思考與分析中也對(duì)問題背后所隱藏的真相形成了更加清晰的認(rèn)知與理解，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奇妙與美好也在這一過程中展現(xiàn)得淋漓盡致.

三、總結(jié)思考，提升能力

最后教師引導(dǎo)學(xué)生一起交流學(xué)習(xí)中的體會(huì)、感受與收獲，并圍繞本課教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行總結(jié).

1.知識(shí)點(diǎn)：本課知識(shí)點(diǎn)包含各種形式的直線方程、方程的應(yīng)用以及求直線方程的方法、求直線方程的方法包含待定系數(shù)法以及確定兩個(gè)獨(dú)立條件后再求解.

2.思想方法：本課基于基礎(chǔ)原題及其變式所進(jìn)行的復(fù)習(xí)教學(xué)涉及到了分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程等多種思想方法的運(yùn)用.

四、分層作業(yè)，鞏固拓展

1.面向全體學(xué)生布置的作業(yè)：（1）《導(dǎo)學(xué)》P13、P15-16、P18-19；（2）練習(xí)冊(cè)P14-3、8；

2.選做作業(yè)：結(jié)合本課研究?jī)?nèi)容自主設(shè)計(jì)一道練習(xí)題并完成.

點(diǎn)評(píng)：從本節(jié)課的觀摩與課后的交流中，我們不難看出，切口小、視角新是本課教學(xué)設(shè)計(jì)最為顯著的特征.切口小這一特征主要表現(xiàn)在所提的問題圍繞教學(xué)重點(diǎn)所設(shè)計(jì)，直線方程的求解方法以及過程中所涉及的數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸、方程等思想方法是本課復(fù)習(xí)教學(xué)的重點(diǎn).視角新這一特征主要表現(xiàn)在從新的問題角度來實(shí)現(xiàn)舊知識(shí)的串聯(lián)，并依此對(duì)學(xué)生知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)進(jìn)行了有意義的構(gòu)建.原有知識(shí)內(nèi)容的歸納和整理在切口小、視角新的設(shè)計(jì)理念中得到了很好的展現(xiàn).不僅如此，本節(jié)復(fù)習(xí)課教學(xué)在教師的精心設(shè)計(jì)與引導(dǎo)下實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的再創(chuàng)造，這與華羅庚教授所提倡的換角度進(jìn)行復(fù)習(xí)教學(xué)的理念是完全吻合的，學(xué)生在已學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)中也獲得了新的感受與體驗(yàn)，很多無效、無趣的教學(xué)也得到了很好的規(guī)避，多角度思考問題所進(jìn)行的教學(xué)對(duì)學(xué)生也產(chǎn)生了潛移默化的影響，我們經(jīng)常提及的高層次復(fù)習(xí)在本課的教學(xué)中得以有效達(dá)成.

總之，教師在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的教學(xué)中應(yīng)善于創(chuàng)設(shè)或引導(dǎo)學(xué)生自主創(chuàng)設(shè)能夠理解的學(xué)習(xí)過程，仍將學(xué)習(xí)定位在教師傳授、學(xué)生接受這一層面的行為早就與當(dāng)今教育理念相悖了，教師在教學(xué)中應(yīng)基于學(xué)生已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行課的設(shè)計(jì)與落實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成自主構(gòu)建知識(shí)的意識(shí)與習(xí)慣.概念教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生自主探究概念的形成；解題教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生對(duì)從無到有的思維與知識(shí)綜合應(yīng)用進(jìn)行自主體驗(yàn)、感悟并掌握方法，使學(xué)生在充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考、創(chuàng)新魅力與樂趣的過程中真正成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)生分析、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力才能真正得到有意義的鍛煉與提升，學(xué)生在不斷掌握“三基”基礎(chǔ)上才能在復(fù)習(xí)教學(xué)活動(dòng)中獲得更多的感悟與收獲.