李強(qiáng)，董光旭，張希農(nóng)，羅亞軍，張亞紅，謝石林

西安交通大學(xué) 航天航空學(xué)院，機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049

振動(dòng)控制在航天航空領(lǐng)域里具有舉足輕重的作用。空間站、航天器以及軍民用飛機(jī)中由機(jī)械旋轉(zhuǎn)不平衡、熱變形或流體運(yùn)動(dòng)等引發(fā)的零部件震動(dòng)、機(jī)翼顫振等，極易造成結(jié)構(gòu)變形損傷等嚴(yán)重后果[1-3]。Boucher[1]詳細(xì)分析了空間站不同部件中的振動(dòng)源，包括太陽能陣列和熱輻射器旋轉(zhuǎn)接頭、通訊天線、姿態(tài)控制陀螺儀等，指出由旋轉(zhuǎn)接頭等誘發(fā)的機(jī)械振動(dòng)往往頻率較低。吸振器作為一種常用振動(dòng)控制設(shè)備，其中的線性吸振器由于結(jié)構(gòu)簡單、安裝方便等優(yōu)勢已在振動(dòng)控制領(lǐng)域內(nèi)得到大量應(yīng)用[4-8]，然而其狹小的減振帶寬及常規(guī)吸振頻帶往往無法滿足航天設(shè)備實(shí)際設(shè)計(jì)中對低頻振動(dòng)控制的需求。為此，學(xué)者們積極尋找解決方法，其中的一個(gè)主要觀點(diǎn)是引入非線性吸振器[9-13]。

作為一種研究最為廣泛的非線性吸振器——非線性能量吸收器(NES)，因其無固有頻率，故而能與任意振動(dòng)頻率相適應(yīng)[14-15]。定向能量轉(zhuǎn)移(TET)是NES的重要特性，可實(shí)現(xiàn)能量不可逆轉(zhuǎn)移，該特性已在理論和實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)[16-18]。Gendelman等在文獻(xiàn)[19-20]中先后詳細(xì)研究了NES的非線性特性，并指出處于強(qiáng)調(diào)制(強(qiáng)準(zhǔn)周期)的NES具有優(yōu)越的振動(dòng)抑制性能。Hubbard等[21]在將其應(yīng)用于機(jī)翼振動(dòng)控制時(shí)表明，NES的TET特性在氣動(dòng)穩(wěn)定性方面極具研究前景。但由于缺少線性剛度項(xiàng)，使其承載能力弱，而共振頻率隨振幅變化的特性，增大了NES對固定頻率振動(dòng)抑制的實(shí)現(xiàn)難度。

引入線性剛度項(xiàng)的非線性吸振器，通常被稱為非線性調(diào)諧吸振器(NTVA)，其具有本征頻率，非線性剛度項(xiàng)使共振頻率在本征頻率附近偏移。Roberson[9]在理論研究具有立方恢復(fù)力項(xiàng)的NTVA中發(fā)現(xiàn)該類吸振器具有拓寬吸振頻帶的特性，引起學(xué)者對此極大關(guān)注。Nissen等[10, 22]采用碟形線圈對構(gòu)成具有軟彈簧特性的NTVA，使得吸振帶寬約達(dá)到線性吸振器的2倍。為充分利用該類吸振器進(jìn)行振動(dòng)控制，學(xué)者們提出各種結(jié)構(gòu)形式，實(shí)現(xiàn)該類吸振器設(shè)計(jì)。Rice和McCraith[11]提出兩端固定梁的中心位置變形時(shí)恢復(fù)力呈非線性特性，利用該特點(diǎn)進(jìn)而形成由對稱斜彈簧構(gòu)成非線性剛度[23]，而劉海平等[24]則在此基礎(chǔ)上提出使用歐拉屈曲梁代替斜彈簧。采用磁性機(jī)構(gòu)則為另一種常見方式[25-26]，采用該方式設(shè)計(jì)出的吸振器往往具有結(jié)構(gòu)簡單、占用空間小、便于控制等優(yōu)點(diǎn)。Natsiavas[27]通過深入分析引入NTVA后的系統(tǒng)頻響曲線中所出現(xiàn)各種情況，指出須選擇適當(dāng)?shù)奈衿鲄?shù)，才可避免不穩(wěn)定響應(yīng)，并有效抑制主系統(tǒng)振動(dòng)，否則，將導(dǎo)致多值振動(dòng)、組合共振、分岔混沌等復(fù)雜非線性現(xiàn)象[28-30]。

在航天器及空間站中，為應(yīng)對多種或可變共振頻率振動(dòng)，實(shí)現(xiàn)調(diào)諧特性在吸振器設(shè)計(jì)中將顯得尤為重要。Keye等[31]指出渦輪螺旋漿飛機(jī)噪聲與螺旋葉片數(shù)與轉(zhuǎn)數(shù)積相關(guān)，不同飛行階段引擎轉(zhuǎn)數(shù)變化使得共振頻率不同，固定本征頻率的NTVA往往難以有所建樹，為此提出一種軸向預(yù)壓懸臂梁的吸振器模型，用于實(shí)現(xiàn)調(diào)諧特性。Deng等[32]研究基于磁流變彈性體特性的NTVA時(shí)，實(shí)驗(yàn)證明通過改變磁場強(qiáng)度，可實(shí)現(xiàn)固有頻率在55～82 Hz范圍內(nèi)變化。Bonello等[33]則基于可變剛度單元概念采用3種設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)剛度可調(diào)特性。Franchek[34]設(shè)計(jì)了一種類反饋控制的基于最小化輸入電壓調(diào)諧電路實(shí)現(xiàn)剛度調(diào)節(jié)，實(shí)驗(yàn)證明了該設(shè)計(jì)的可行性。

然而, 遺憾的是，常規(guī)NTVA振動(dòng)控制頻帶往往難以向低頻/超低頻范圍擴(kuò)展。負(fù)剛度，因可實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，而被成功應(yīng)用于隔振器對低頻/超低頻振動(dòng)的有效隔離中[35]，這啟示著學(xué)者們將其應(yīng)用于吸振器設(shè)計(jì)。Shen等[36]提出一種負(fù)剛度吸振模型，應(yīng)用定點(diǎn)理論得到最優(yōu)吸振器參數(shù)，從理論上證明了負(fù)剛度可提高吸振器對主系統(tǒng)振動(dòng)幅值的抑制能力。Acar和Yilmaz[37]則提出一種配有負(fù)剛度張力調(diào)整機(jī)制的弦-質(zhì)量可調(diào)吸振器，實(shí)驗(yàn)表明，負(fù)剛度的移頻特性在低頻振動(dòng)有效控制中作用極為顯著。在前述學(xué)者們的研究中，負(fù)剛度被認(rèn)定為線性，然而絕大多數(shù)負(fù)剛度實(shí)現(xiàn)方式在本質(zhì)上是非線性的。在吸振器設(shè)計(jì)中，負(fù)剛度的非線性特性往往更難以被忽略，卻少有學(xué)者對此深入研究。

為實(shí)現(xiàn)低頻振動(dòng)控制，擴(kuò)展其可應(yīng)用頻率范圍，本文提出一種負(fù)剛度實(shí)現(xiàn)機(jī)制，并在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)出一種新型可調(diào)動(dòng)力吸振器(NDVA)。將提出的吸振器用于低頻振動(dòng)控制時(shí)，由于負(fù)剛度的非線性特性，為避免傳統(tǒng)非線性參數(shù)優(yōu)化方法耗時(shí)低效等缺陷，提出一種基于穩(wěn)定性分析的參數(shù)優(yōu)化方法，通過簡單迭代獲取最優(yōu)吸振器參數(shù)。此外，提出的吸振器的優(yōu)越魯棒穩(wěn)定性使其在低頻/超低頻振動(dòng)控制中的應(yīng)用價(jià)值和潛力顯著提高。

1 新型可調(diào)動(dòng)力吸振器

如圖1所示，新型可調(diào)動(dòng)力吸振器由螺旋柔性彈簧(SFS)、剛性桿、磁性負(fù)剛度彈簧(MNSS)及其他輔助部件組成。螺旋柔性彈簧承載位于其腔室內(nèi)的環(huán)形永磁體6，螺旋臂提供軸向正剛度，在環(huán)形永體6位移不大時(shí)，其剛度保持不變[38]。法蘭直線軸承2、11外壁底部及端部帶有外螺紋，與外圓柱壁19的內(nèi)螺紋相互嚙合，上下旋轉(zhuǎn)時(shí)，可移動(dòng)固定于其外側(cè)的環(huán)形永磁體4、13，從而調(diào)整相對于環(huán)形永磁體6的相對距離。剛性桿與螺旋柔性彈簧及環(huán)形永磁體6內(nèi)壁固定，通過軸承中心通孔與主系統(tǒng)相連接。

如圖2所示，磁性負(fù)剛度彈簧由4、6、13這3個(gè)環(huán)形永磁體組成，3個(gè)環(huán)形永磁體均沿軸向磁化，環(huán)形永磁體4和13對環(huán)形永磁體6的作用力表現(xiàn)為吸引形式?；诜肿与娏骷僬f，磁性負(fù)剛度彈簧的理論等效剛度為[38]

圖1 新型可調(diào)動(dòng)力吸振器剖面圖Fig.1 Cross-section of new tunable dynamic vibration absorber

(1)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，μ0=4π×10-7N·A-2;M1和M2為環(huán)形永磁體6和環(huán)形永磁體4、13的磁化強(qiáng)度大??；Φ1和Φ2的表達(dá)式為

(2)

其中：z1和φ1為環(huán)形永磁體6的局部柱坐標(biāo)；z2和φ2為環(huán)形永磁體4、13的局部柱坐標(biāo)；z為環(huán)形永磁體6的位移；r(1)和r(2)為環(huán)形永磁體6的內(nèi)外半徑；rin,2和rout,2為環(huán)形永磁體4、13的內(nèi)外半徑；h1和h2分別為環(huán)形永磁體6和環(huán)形永磁體4、13的厚度；z(1)和z(2)為環(huán)形永磁體6的上下表面在z軸方向上的位置，z(1)=z-h1，z(2)=z+h1。圖3(a)為磁剛度隨位移z的變化曲線，仿真參數(shù)如表1所示。從圖3(a)中可以看出：磁剛度隨環(huán)形永磁體6距靜平衡位置的距離的增大先增大而后在越過點(diǎn)Q1和Q2后有所下降，且在其位移不超過Q1和Q2限定范圍時(shí)，如圖3(b)所示，理論磁剛度可被近似為

km=k11+k33z2

(3)

圖2 磁性負(fù)剛度彈簧(MNSS)設(shè)計(jì)Fig.2 Layout of Magnetic Neagtive Stiffness Spring(MNSS)

式中：k11和k33為系數(shù)。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，若使環(huán)形永磁體6的位移始終處于(-l/2,l/2)范圍，改變磁間距l(xiāng)時(shí)磁剛度仍可用式(3)的多項(xiàng)式擬合，僅其各項(xiàng)系數(shù)k11和k33有所變化。如圖4所示，k11和k33與磁間距l(xiāng)滿足函數(shù)關(guān)系，可用式(4)和式(5)進(jìn)行描述：

k11=f1(l)=-16.87-

(4)

圖3 磁剛度隨環(huán)形永磁體6位移的變化曲線Fig.3 Curves of magnetic stiffness vs displacement of annular permanent magnet 6

表1 磁環(huán)參數(shù)Table 1 Parameters of magnetic rings

圖4 等效磁剛度系數(shù)隨磁間距l(xiāng)的變化曲線Fig.4 Curves of equivalent magnetic stiffness coefficients vs gap l

k33=f3(l)=-2.92×108+8.03×106·

(5)

若螺旋柔性彈簧剛度為kSFS，則吸振器所提供的恢復(fù)力為

(6)

式中：k1=kSFS+k11,k3=k33/3。

2 動(dòng)力學(xué)方程的建立

圖5 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Systemic dynamical model

將提出的吸振器用于主系統(tǒng)振動(dòng)控制時(shí)，其動(dòng)力學(xué)模型可簡化為如圖5所示。利用牛頓第二定律，結(jié)合式(6), 可得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(7)

式中：ms、cs和ks為主系統(tǒng)的質(zhì)量、等效黏性阻尼系數(shù)和剛度；m和c分別為吸振器的質(zhì)量和等效黏性阻尼系數(shù)；F為激振力幅;ω為外激勵(lì)頻率；t為時(shí)間。

引入無量綱量：

式(7)可化為

(8)

進(jìn)一步令

則由式(8)可得到

(9)

將式(9)寫為矩陣形式為

(10)

式中：

3 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)為

X=ucosτ+vsinτ

(11)

式中：u=[us,u]T,v=[vs,v]T。u和v關(guān)于時(shí)間慢變，慢變假設(shè)為

u′cosτ+v′sinτ=0

(12)

結(jié)合式(12), 將式(11)代入式(10)，可得到

(Mv′-Mu+Cv+Ku)cosτ-

(Mu′+Mv+Cu-Kv)sinτ=f(u,v,τ)

(13)

結(jié)合式(12)和式(13)，在(0, 2π)上關(guān)于cosτ與sinτ積分并求平均，可得到

(14)

(15)

u′=0,v′=0

(16)

將式(16)代入式(14)和式(15)，可得到頻響方程組為

(17)

(18)

相位為

(19)

(20)

為分析穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，引入攝動(dòng)量，即

{u→u0+Δu

v→v0+Δv

(21)

式中：u0和v0為穩(wěn)態(tài)解；Δu和Δv為攝動(dòng)量。將式(21)代入式(14)和式(15)中，忽略二次及其以上項(xiàng)，可得攝動(dòng)方程為

(22)

其中：J為雅克比矩陣，其具體表達(dá)式見附錄A。若矩陣J所有特征值的實(shí)部小于零，則認(rèn)為穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定，否則認(rèn)為不穩(wěn)定。

非線性吸振器相比于線性吸振器(LDVA)，目前被學(xué)者廣泛認(rèn)可的優(yōu)勢在于有效拓展吸振帶寬，該特性在本文所提出的吸振器中得到體現(xiàn)，如圖6所示。從圖6可以看出，存在最優(yōu)磁間距l(xiāng), 將NDVA的吸振帶寬BNDVA拓寬至約為線性吸振器BLDVA的2.5倍。但值得注意的是，帶寬雖得以拓寬，但仍難以有效抑制由頻帶較寬的外干擾引起的振動(dòng)，且因吸振器阻尼較小，振動(dòng)衰減時(shí)間一般較長。因此，為迅速衰減較寬頻帶振動(dòng)，通常以振幅最小化為吸振參數(shù)優(yōu)化目標(biāo)。本文所提出吸振器采用磁性剛度，對磁間距l(xiāng)敏感，因而調(diào)整磁間距l(xiāng)對振動(dòng)響應(yīng)的影響將顯得極為明顯。從圖7中看，將l從20.0 mm調(diào)整到22.5 mm時(shí)，高幅響應(yīng)曲線分離出獨(dú)立于主低幅響應(yīng)曲線之外的高幅游離環(huán)，而進(jìn)一步增大到25.0 mm時(shí)，游離環(huán)消失，僅剩幅值較小的主響應(yīng)曲線，使共振頻率附近較大頻帶內(nèi)的振動(dòng)得到控制。因此，為獲得最優(yōu)振動(dòng)控制效果，選擇適當(dāng)?shù)奈衿鲄?shù)，尤其是磁間距l(xiāng), 其意義將顯得尤為重大。為避免傳統(tǒng)非線性吸振器參數(shù)優(yōu)化算法耗時(shí)長、效率低等缺點(diǎn)，第4節(jié)中將基于穩(wěn)定性分析，提出一種參數(shù)優(yōu)化方法，通過簡單迭代獲得以磁間距為主要優(yōu)化對象的最優(yōu)參數(shù)值。

圖6 減振帶寬比隨磁間距l(xiāng)的變化曲線Fig.6 Curve of absorption bandwidth ratio vs gap l

圖7 磁間距l(xiāng)對頻響曲線的影響Fig.7 Effect of gap l on frequency response curves

4 參數(shù)優(yōu)化

穩(wěn)定性分析作為非線性系統(tǒng)中必不可少的部分，在吸振器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)中必然涉及避免不穩(wěn)定性振動(dòng)的出現(xiàn)。平衡點(diǎn)附近存在的分岔常見的有鞍結(jié)分岔和霍普夫分岔?；羝辗蚍植砭哂休^強(qiáng)條件性，鞍結(jié)分岔則常存在于一般非線性系統(tǒng)中。當(dāng)其出現(xiàn)時(shí)，意味著系統(tǒng)發(fā)生突跳，嚴(yán)重削弱非線性吸振器的振動(dòng)抑制能力。利用穩(wěn)定性對吸振器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化是一種新思路。在文獻(xiàn)[39]中，采用穩(wěn)定性分析方法實(shí)現(xiàn)了吸振器參數(shù)優(yōu)化,突跳等非線性現(xiàn)象得到避免，主系統(tǒng)振動(dòng)得到有效抑制。參數(shù)優(yōu)化后的主系統(tǒng)頻響必然為單值，換言之，非線性吸振器的最優(yōu)參數(shù)必然存在于使得主系統(tǒng)響應(yīng)為單值的取值區(qū)間內(nèi)。而界定響應(yīng)單值或多值臨界條件為突跳，也稱鞍結(jié)分岔。因此，對鞍結(jié)分岔的分析有助于實(shí)現(xiàn)非線性吸振器參數(shù)優(yōu)化。

4.1 鞍結(jié)分岔

本節(jié)主要分析鞍結(jié)分岔存在時(shí)參數(shù)間所滿足的函數(shù)關(guān)系以及吸振器參數(shù)對鞍結(jié)分岔分布的影響，為4.2節(jié)參數(shù)優(yōu)化提供依據(jù)。

4.1.1 鞍結(jié)分岔?xiàng)l件

若令s=Y2，式(18)可重寫為

as3+bs2+cs+d=0

(23)

式中：系數(shù)a、b、c和d的表達(dá)式見附錄B。對式(23)關(guān)于s微分，有

3as2+2bs+c=0

(24)

結(jié)合式(23)和式(24), 消去s, 可得到

27a2d2+4b3d+4c3a-18abcd-b2c2=0

(25)

式(25)即為鞍結(jié)分岔存在時(shí)吸振器參數(shù)間所需滿足的函數(shù)關(guān)系。系統(tǒng)非線性大小為鞍結(jié)分岔存在的關(guān)鍵參數(shù)。因此，以系統(tǒng)非線性κ為參數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析將最為適當(dāng)。

(26)

式中：

對式(26)進(jìn)行求解，可得到

(27)

式中：

圖8 鞍結(jié)分岔存在時(shí)的參數(shù)平面(κ, λ)Fig.8 Parametric plane (κ, λ) in presence of saddle-node bifurcation

圖8為鞍結(jié)分岔存在時(shí)的(κ,λ)參數(shù)平面，其中，μ、ω0及ζ等參數(shù)固定。圖8(a)為全局分布，圖中曲線表示鞍結(jié)分岔出現(xiàn)時(shí)對應(yīng)的非線性值κ及頻率比λ。曲線將參數(shù)平面分成2個(gè)區(qū)域：1—三解區(qū)域；2—單解區(qū)域。κ正負(fù)分別與硬彈簧剛度特性和軟彈簧剛度特性對應(yīng)。從圖8(a)中可以看出，剛度表現(xiàn)為硬彈簧特性和軟彈簧特性時(shí)曲線分布具有較好的相似性。圖8(b)為κ<0時(shí)的參數(shù)平面(κ,λ)。不連續(xù)分布曲線可分為左右2個(gè)獨(dú)立分支。右側(cè)分支位于主系統(tǒng)共振頻率附近，而左側(cè)分支遠(yuǎn)離共振頻率，分別對應(yīng)頻響曲線中左右2個(gè)共振區(qū)。為分析非線性取不同值時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)特征，將非線性分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ這4個(gè)區(qū)間，其中Ⅰ和Ⅲ區(qū)間對應(yīng)單值響應(yīng)，Ⅱ和Ⅳ區(qū)間則為多值響應(yīng)。從響應(yīng)優(yōu)化角度看，對Ⅰ和Ⅲ的區(qū)間分析將作為研究重點(diǎn)，將在4.2節(jié)進(jìn)行詳細(xì)分析。

4.1.2 參數(shù)影響

當(dāng)系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)生突跳時(shí)，系統(tǒng)非線性κ必將處于Ⅱ或Ⅳ區(qū)間。若調(diào)整吸振器中某參數(shù)，使得(κ,λ)平面中不同區(qū)間臨界非線性值改變，從而系統(tǒng)非線性κ小于參數(shù)改變后進(jìn)入Ⅱ或Ⅳ區(qū)間的臨界非線性值，進(jìn)而使得系統(tǒng)非線性κ處于Ⅰ或Ⅲ區(qū)間內(nèi)，突跳得以避免，從而達(dá)到優(yōu)化參數(shù)目的。因此可認(rèn)為阻尼、質(zhì)量比等在優(yōu)化中的作用為影響(κ,λ)平面上不同區(qū)間非線性臨界值的增大或減小。

圖9為阻尼對參數(shù)平面(κ,λ)的影響。隨阻尼增大，各區(qū)間臨界非線性值迅速增大。當(dāng)阻尼增大到一定程度時(shí)，右側(cè)分支消失，意味著在較大非線性κ取值范圍內(nèi)主系統(tǒng)共振頻率附近內(nèi)不存在突跳。隨阻尼增大，曲線所包含區(qū)域迅速減小，表明多值振動(dòng)存在區(qū)域不斷減小，系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定性得到增強(qiáng)。因此，適當(dāng)增大阻尼可在保證系統(tǒng)避免突跳的同時(shí)，提高系統(tǒng)振動(dòng)穩(wěn)定性。

圖9 阻尼對參數(shù)平面(κ, λ)的影響Fig.9 Effect of damping on parametric plane (κ, λ)

圖10 調(diào)頻比ω0對參數(shù)平面(κ, λ)的影響Fig.10 Effect of tuning ratio ω0 on parametric plane (κ, λ)

圖10為調(diào)頻比ω0對參數(shù)平面(κ,λ)的影響。適當(dāng)增大調(diào)頻比ω0，曲線左側(cè)分支下降而右側(cè)分支抬高，增大進(jìn)入Ⅱ區(qū)間的臨界非線性值，意味著突跳發(fā)生閾值得以提高。但不幸的是，調(diào)頻比ω0超過一定值后，曲線左側(cè)分支下降超過低于右側(cè)分支最小非線性值，反而減小系統(tǒng)不發(fā)生突跳所能允許的非線性κ取值區(qū)間。值得注意的是，曲線包含區(qū)域范圍隨調(diào)頻比ω0增大而在迅速擴(kuò)大。因此，調(diào)頻比ω0僅在一定范圍內(nèi)增大對避免突跳是有利的。質(zhì)量比μ對參數(shù)平面(κ,λ)的影響與調(diào)頻比ω0類似，在此不予贅述。

4.2 參數(shù)優(yōu)化算法

本節(jié)結(jié)合4.1節(jié)中的穩(wěn)定性分析，通過簡單迭代獲得提出吸振器的最優(yōu)參數(shù)。

4.2.1 迭代優(yōu)化算法原理

結(jié)合圖8(b), 取各區(qū)間非線性值，得到圖11對應(yīng)的響應(yīng)曲線, 1、2、3、4與Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ區(qū)間一一對應(yīng)。從圖11中結(jié)果看，系統(tǒng)非線性κ不大于Ⅰ和Ⅱ區(qū)間臨界非線性值為參數(shù)優(yōu)化必需條件。結(jié)合式(27)，可得到Ⅰ和Ⅱ區(qū)間的臨界非線性值κcr為

κcr=μg(ω0,ξ,μ)min

(28)

從而避免突跳的有效非線性值為

κava=ηκcr

(29)

式中：η∈[0,1]被稱為有效系數(shù)。 第2節(jié)系統(tǒng)方程無量綱化過程中，系統(tǒng)非線性κ被定義為

(30)

若欲使系統(tǒng)振動(dòng)得到有效控制，需使系統(tǒng)非線性κ等于有效非線性值κava。結(jié)合式(28)～式(30), 可得到吸振器非線性剛度系數(shù)滿足

圖11 非線性取值位于不同區(qū)間時(shí)對應(yīng)的頻響曲線Fig.11 Corresponding frequency response curves for nonlinear values in different regions

(31)

進(jìn)一步結(jié)合式(5), 環(huán)形永磁體6和環(huán)形永磁體4、13間避免突跳的有效間距為

(32)

式中：lcr為臨界磁間距。當(dāng)磁間距l(xiāng)處于有效范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)不發(fā)生突跳，系統(tǒng)將表現(xiàn)出類線性系統(tǒng)行為。因此，基于上述分析，結(jié)合線性吸振器設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，將得到獲取最優(yōu)參數(shù)的簡單迭代算法。

在線性吸振器設(shè)計(jì)中，最優(yōu)調(diào)頻比為[40]

(33)

對于杜芬振子，其共振頻率隨振幅發(fā)生偏移，骨架線由文獻(xiàn)[41]給出為

(34)

以線性吸振器設(shè)計(jì)中的最優(yōu)調(diào)頻比作為最優(yōu)調(diào)頻比，即

(35)

結(jié)合式(34)和式(35), 有

(36)

參數(shù)尋優(yōu)迭代算法步驟為：

1) 設(shè)定迭代初值ω0，結(jié)合式(31)和式(32)求取非線性剛度系數(shù)以及有效磁間距l(xiāng)。

2) 結(jié)合頻響方程式(18), 尋找頻響曲線最大振幅Ymax。

3) 結(jié)合式(36)及步驟1)和步驟2)中獲得的參數(shù)，更新ω0。

4) 反復(fù)重復(fù)步驟1)～步驟3)，當(dāng)先后2次獲得的ω0誤差不大于設(shè)定值，輸出ω0與l。

輸出值ω0與l即最優(yōu)值。

4.2.2 參數(shù)優(yōu)化結(jié)果分析

圖12為迭代算法獲得最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt與最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt的過程。取任意初始調(diào)頻比ω0，經(jīng)過有限步迭代后，調(diào)頻比ω0與磁間距l(xiāng)迅速收斂于最優(yōu)值。在上述迭代中，有效系數(shù)η和阻尼c均已知。圖13和圖14分別為有效系數(shù)η和阻尼c對最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt與最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt取值及系統(tǒng)響應(yīng)影響。如圖13(a)和圖13(b)所示, 當(dāng)增大有效系數(shù)η時(shí)，最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt不斷減小，最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt則增大，但有效系數(shù)η變化時(shí)獲取的最優(yōu)參數(shù)值所對應(yīng)的系統(tǒng)頻響變化卻不大(見圖14(a))。當(dāng)有效系數(shù)η固定時(shí)，隨阻尼c增大，最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt和最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt的變化規(guī)律與有效系數(shù)η影響類似，對系統(tǒng)響應(yīng)影響也類似于有效系數(shù)η(見圖14(b))。因此，有效系數(shù)η和阻尼c的取值在吸振器設(shè)計(jì)中非主要優(yōu)化參數(shù)。在實(shí)際設(shè)計(jì)中，根據(jù)實(shí)際阻尼值c，任取有效系數(shù)η<1，通過簡單迭代得到最優(yōu)磁間距l(xiāng)opt和最優(yōu)調(diào)頻比ω0,opt，可使得主系統(tǒng)振動(dòng)在共振頻率附近較寬頻帶范圍內(nèi)得到有效抑制。提出吸振器的另一優(yōu)勢——魯棒穩(wěn)定性，將在第5節(jié)說明。

圖12 任意初值ω0下的迭代尋優(yōu)過程Fig.12 Procedure of optimization with iteration for arbitrary initial ω0

圖13 c和η對最優(yōu)參數(shù)值的影響Fig.13 Effect of c and η on optimal parameters

圖14 不同η和 c所取得最優(yōu)參數(shù)值對應(yīng)的頻響曲線Fig.14 Frequency-response curves of optimal parameters with different η and c

5 魯棒性穩(wěn)定性

吸振器在實(shí)際應(yīng)用于航天設(shè)備的振動(dòng)控制時(shí)，往往存在大量不確定因素，如結(jié)構(gòu)加工裝配誤差、機(jī)械磨損等造成剛度、阻尼偏移及航天器等復(fù)雜工作環(huán)境中的干擾源強(qiáng)度等。這些不確定參數(shù)對在確定參數(shù)下設(shè)計(jì)的吸振器振動(dòng)抑制性能影響較大。這些不確定因素的變化對吸振器的振動(dòng)抑制性能有效發(fā)揮的影響程度，換言之，吸振器對不確定因素的抵抗能力的研究，將顯得尤為重要。吸振器對這種不確定因素變化引起振動(dòng)抑制性能衰減的抵抗能力稱為魯棒穩(wěn)定性。圖15為使用本文所提出的吸振器與線性吸振器時(shí)調(diào)頻比ω0、阻尼c以及干擾幅值F在一定范圍變化時(shí)主系統(tǒng)最大位移的對比結(jié)果。主系統(tǒng)位移越小，則表示魯棒穩(wěn)定性越好。圖15(a)、圖15(b)和圖15(c)的對比結(jié)果可證明，提出吸振器在魯棒性穩(wěn)定性方面比線性吸振器更具優(yōu)勢，使得所提出的吸振器在實(shí)際振動(dòng)控制中往往具有更優(yōu)越的效果。

圖15 本文所提吸振器的魯棒穩(wěn)定性Fig.15 Robustness of proposed absorber

6 結(jié) 論

1) 新型吸振器具有的磁性剛度對磁間距敏感，可通過螺紋機(jī)制改變外磁環(huán)與運(yùn)動(dòng)磁環(huán)相對間距，使所提出的吸振器具有調(diào)諧特性。

2) 將吸振器應(yīng)用于振動(dòng)控制時(shí)，采用平均法推導(dǎo)出系統(tǒng)頻響方程及穩(wěn)定性判據(jù)。為獲得最優(yōu)吸振器參數(shù)并避免傳統(tǒng)非線性吸振器參數(shù)尋求中耗時(shí)低效等缺陷，基于穩(wěn)定性分析，通過簡單迭代算法，快速獲取最優(yōu)參數(shù)值。

3) 相比于線性吸振器，新型吸振器優(yōu)越的魯棒穩(wěn)定性，提高其應(yīng)對復(fù)雜工作環(huán)境能力，增強(qiáng)振動(dòng)抑制效果及可靠性，使所提出的吸振器在低頻/超低頻振動(dòng)控制領(lǐng)域更具研究價(jià)值和應(yīng)用前景。

(A1)

式中：

J11=-2Zλ

(A2)

J13=-(λ2(1+μ)-1)

(A3)

J14=-λ2μ

(A4)

(A5)

J23=-λ2

(A6)

(A7)

J31=λ2(1+μ)-1

(A8)

J32=λ2μ

(A9)

J33=-2Zλ

(A10)

J41=λ2

(A11)

(A12)

(A13)

附錄B

a、b、c、d的具體表達(dá)式為

(B1)

(B2)

4Zζω0λ2+λ4μ]2

(B3)

d=-λ4

(B4)