馬廣富，朱慶華,2，王鵬宇，郭延寧,*

1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001 2. 上海航天控制技術(shù)研究所，上海 200233

隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，航天器承擔(dān)的空間任務(wù)日趨復(fù)雜。良好的姿態(tài)機(jī)動性能是航天器完成諸如在軌維修、空間觀測等復(fù)雜任務(wù)的前提和保障。目前，許多學(xué)者針對航天器姿態(tài)跟蹤問題展開了深入研究；PID控制[1]、變結(jié)構(gòu)控制[2]、自適應(yīng)控制[3]等一系列方法得到了廣泛應(yīng)用并取得了良好效果。然而，采用上述方法設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)大多是漸近穩(wěn)定的，即系統(tǒng)狀態(tài)的收斂時(shí)間是無限長的，而很多在軌任務(wù)對快速性又具有較高要求。因此，研究航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定問題具有重要的工程意義。

與傳統(tǒng)控制方法相比，有限時(shí)間控制能使系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂，具有響應(yīng)速度快、穩(wěn)態(tài)精度高等優(yōu)勢，近年來受到了廣泛關(guān)注。有限時(shí)間控制已形成了完善的理論框架，在傳統(tǒng)有限時(shí)間控制的基礎(chǔ)上，還衍生出了實(shí)際有限時(shí)間控制、固定時(shí)間控制等控制方法[2]。目前，在設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制器時(shí)，主要采用的方法可以歸納為：齊次性方法[4]、終端滑模方法[2]及加冪積分方法[5-6]。其中，齊次性方法只適用于自治系統(tǒng)，無法分析外部擾動對系統(tǒng)的影響。相比于齊次性方法，終端滑模方法和加冪積分方法在處理干擾及不確定性時(shí)具有更好的靈活性，其本質(zhì)上可以看作是Lyapunov有限時(shí)間穩(wěn)定性判定定理的延伸。特別是終端滑模方法，通過在滑模面中引入冪次項(xiàng)，提高了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的收斂速度，且具有良好抗干擾能力。

針對航天器姿態(tài)跟蹤控制問題，文獻(xiàn)[7]基于終端滑模方法，設(shè)計(jì)了具有有限時(shí)間特性的魯棒控制器；文獻(xiàn)[8]提出了一種新型終端滑模面，并解決了執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和條件下的航天器姿態(tài)控制問題。但上述研究成果并沒有考慮終端滑模的奇異問題，即在系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)行至特定區(qū)域時(shí)控制器輸出將趨向于無窮，這一問題嚴(yán)重制約了終端滑模控制器在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

針對這一問題，文獻(xiàn)[9]基于一類非奇異終端滑模面設(shè)計(jì)了航天器姿態(tài)有限時(shí)間控制器，在保證系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的同時(shí)避免了奇異現(xiàn)象。除此之外，切換函數(shù)法[10]、正弦函數(shù)法[11-12]、飽和函數(shù)法[13]都是解決奇異問題的有效手段。其中，飽和函數(shù)法是指采用飽和函數(shù)代替控制器中奇異項(xiàng)的一類方法。Feng等[13]首先針對二階非線性系統(tǒng)給出了飽和函數(shù)法的相關(guān)概念，并根據(jù)相平面圖，驗(yàn)證了系統(tǒng)狀態(tài)穿越飽和區(qū)域的有限時(shí)間特性。在此基礎(chǔ)上，Guo等[14]針對航天器姿態(tài)跟蹤問題，采用飽和函數(shù)法，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)有限時(shí)間抗退繞控制器。然而，上述文獻(xiàn)在采用飽和函數(shù)法處理奇異問題時(shí)，均假設(shè)環(huán)境干擾上界已知，具有一定的局限性。

此外，某些空間任務(wù)還要求航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)具有期望的動態(tài)過程或滿足特定的約束條件。例如，光學(xué)遙感衛(wèi)星在對地掃描成像過程中，其姿態(tài)及姿態(tài)角速度誤差必須保持在一定范圍內(nèi)以確保成像質(zhì)量，且過大的姿態(tài)角速度還會導(dǎo)致姿態(tài)敏感器失靈甚至損壞。針對這一問題，文獻(xiàn)[15]利用全局滑模控制的思想，使航天器姿態(tài)跟蹤誤差按期望軌跡運(yùn)行；文獻(xiàn)[16]從工程角度出發(fā)，提出了一種基于飽和函數(shù)的PID控制器，解決了姿態(tài)角速度受限問題；文獻(xiàn)[17]從理論角度出發(fā)，通過在Lyapunov函數(shù)中引入對數(shù)項(xiàng)，證明了角速度約束下的系統(tǒng)穩(wěn)定性。

除上述方法外，希臘學(xué)者Bechlioulis和Rovithakis針對系統(tǒng)狀態(tài)的約束控制問題，提出了一種預(yù)設(shè)性能(Prescribed Performance)控制方法。該方法通過引入性能函數(shù)和誤差變換，使系統(tǒng)收斂速度、超調(diào)以及跟蹤誤差獲得預(yù)先設(shè)定的性能[18]，在諸如機(jī)器人運(yùn)動控制[19]、高速飛行器姿態(tài)控制[20]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。例如，文獻(xiàn)[21]針對機(jī)械臂運(yùn)動控制，設(shè)計(jì)了基于預(yù)設(shè)性能方法的終端滑模有限時(shí)間控制器，在保證系統(tǒng)有限時(shí)間收斂的同時(shí)使系統(tǒng)的滑模面響應(yīng)具有期望的動態(tài)過程，限制了系統(tǒng)的位置和速度誤差，而目前尚未有公開的應(yīng)用預(yù)設(shè)性能方法解決具有狀態(tài)約束的航天器姿態(tài)跟蹤控制問題。

本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上，考慮航天器姿態(tài)跟蹤過程中的實(shí)際需求，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)終端滑模有限時(shí)間控制器，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合預(yù)設(shè)性能方法設(shè)計(jì)了預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間控制器。最后，數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文所提方法有效性。

1 航天器模型及預(yù)備知識

1.1 航天器姿態(tài)運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)模型

考慮剛體航天器姿態(tài)運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)方程為[20]

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

航天器的姿態(tài)跟蹤運(yùn)動模型可以寫為[20]

(8)

(9)

(10)

為了方便后續(xù)控制器設(shè)計(jì)，還需要給出如下假設(shè)。

對于本文研究的航天器姿態(tài)跟蹤問題，控制目標(biāo)可以歸納為：針對控制系統(tǒng)(8)～(10)，設(shè)計(jì)控制器使得系統(tǒng)全局實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定，即存在有限時(shí)間T,當(dāng)t≥T時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)收斂于平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)。

1.2 有限時(shí)間控制定義與引理

首先，本文給出如下有限時(shí)間控制相關(guān)定義和引理。

定義1[2]考慮如下非線性系統(tǒng)

(11)

式中：x∈Rn為控制系統(tǒng)狀態(tài)變量；u為控制輸入。若系統(tǒng)(11)是Lyapunov穩(wěn)定的，且存在時(shí)間函數(shù)T(x),使得對于所有t≥T(x)的x(t)=0恒成立，則系統(tǒng)(11)是有限時(shí)間穩(wěn)定的。如果對于任意x(t0)=x0,存在ε>0及T(ε,x0)<∞,使得對于所有t≥t0+T(ε,x0),‖x(t)‖<ε恒成立，則稱系統(tǒng)是實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的。

則系統(tǒng)是實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的，即在有限時(shí)間T內(nèi)到達(dá)平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，且T滿足:

(12)

式中：V(x0)為V(x)的初值，θ0可取(0,1)內(nèi)任意數(shù)值。且系統(tǒng)收斂到平衡點(diǎn)鄰域的范圍可以表示為

(13)

2 自適應(yīng)有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計(jì)

選取如下形式的終端滑模面:

(14)

(15)

sat(τs,τm)=

(16)

(17)

設(shè)計(jì)如下形式的自適應(yīng)律對干擾進(jìn)行估計(jì):

(18)

定理1對于滿足假設(shè)1的航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)(8)～(10)，采用控制器(15)和自適應(yīng)律(18)，能夠使系統(tǒng)狀態(tài)從任一初值在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面鄰域后又在有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)鄰域，即保證系統(tǒng)是實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的。

證明：定理1的證明分為2個(gè)步驟，首先證明系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂于滑模面si的鄰域Δi;再證明系統(tǒng)狀態(tài)收斂于滑模面鄰域后，能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)鄰域Ωi。

步驟1定義如下Lyapunov函數(shù)：

(19)

對Lyapunov函數(shù)(19)求導(dǎo)，并代入終端滑模面(14)、控制器(15)及自適應(yīng)律(18)，可得

(20)

為方便證明，將系統(tǒng)狀態(tài)空間劃分為如圖1所示的兩個(gè)子空間A和B，其定義為

(i) 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)位于區(qū)域A時(shí)，飽和函數(shù)取為

(21)

對于任意ε,有

(22)

將式(21)、式(22)代入式(20)，可得

(23)

(24)

(25)

圖1 控制器奇異、非奇異區(qū)域示意圖Fig.1 Diagram of singular and nonsingular areas of controller

Case1當(dāng)ξ>1時(shí)，有如下關(guān)系成立:

(26)

Case2當(dāng)ξ≤1時(shí)，有如下關(guān)系成立:

(27)

式中：?0=p0p0/(1-p0)-p01/(1-p0)>0,p0=(r+1)/2。

綜合Case 1及Case 2，可得

(28)

將式(28)代入式(25)，可得

(29)

式中：η0=ηδκ2/2+ε2/2+?0。

由引理1可知，系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂于滑模面si的鄰域Δi,且收斂時(shí)間T1,i及Δi滿足:

(30)

式中：0<θ1<1,V1,i(0)為V1,i的初值。

(ii) 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)位于區(qū)域B時(shí)，飽和函數(shù)取為

(31)

如圖1所示，區(qū)域B還可以被劃分為兩部分，即B=B1∪B2,其定義為

(32)

(33)

綜上，系統(tǒng)狀態(tài)不會始終保持在B2區(qū)域內(nèi)，而是會在時(shí)間σ(t)內(nèi)穿過B2區(qū)域，并最終到達(dá)A區(qū)域。文獻(xiàn)[13]指出，系統(tǒng)狀態(tài)穿越飽和區(qū)域的時(shí)間σ(t)難以準(zhǔn)確求得，但其數(shù)值仍是有限的。所以，系統(tǒng)狀態(tài)從任一初始位置出發(fā)，均能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂于滑模面si的鄰域Δi,且收斂時(shí)間為T1,i+σ(t)。

步驟2證明系統(tǒng)狀態(tài)收斂于滑模面鄰域后，能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)鄰域Ωi。

由于此時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)位于Δi內(nèi)，所以有

(34)

其中:φi≤Δi。

此時(shí)，選取Lyapunov函數(shù):

(35)

對Lyapunov函數(shù)(35)求導(dǎo)，并代入式(34)，可得

(36)

(37)

(38)

綜上，系統(tǒng)狀態(tài)從任一初始位置出發(fā)，均能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)鄰域Ωi內(nèi)，且收斂時(shí)間Ti及Ωi滿足：

Ti=T1,i+T2,i+σ(t)

(39)

(40)

證明完畢。

注2如圖1所示，為了保證滑模面si始終位于A區(qū)域內(nèi)，在選取飽和函數(shù)閾值τm時(shí)，應(yīng)滿足τm>β2p。

注3在采用自適應(yīng)方法對干擾上界進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償時(shí)，控制器中含有的符號函數(shù)sgn(s)會導(dǎo)致輸出抖振。受文獻(xiàn)[23-24]的啟發(fā)，本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律(18)通過估計(jì)系統(tǒng)廣義干擾上界平方κ的方式，避免了控制器的輸出抖振問題。

注4當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面鄰域Δi后，系統(tǒng)軌跡仍有可能進(jìn)入，甚至反復(fù)穿越區(qū)域B，但很難量化地描述鄰域Δi與區(qū)域B之間的對應(yīng)關(guān)系或分析區(qū)域B對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。通過定性分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)鄰域Δi后，飽和區(qū)域B的存在并不影響系統(tǒng)實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的特性，且對系統(tǒng)收斂性能的影響也較為微弱，后續(xù)數(shù)值仿真也驗(yàn)證了這一結(jié)論。

3 預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計(jì)

預(yù)設(shè)性能控制通過引入形如式(41)的性能函數(shù)及誤差變換，能夠?qū)⑾到y(tǒng)的跟蹤誤差限定在約束范圍(42)內(nèi)[21]。

ρ(t)=(ρ0-ρ∞)e-ht+ρ∞

(41)

-ρ(t)

(42)

式中：ρ0為性能函數(shù)初值；ρ∞為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差允許范圍；h為性能函數(shù)收斂速率，h越大則性能函數(shù)的收斂速度越快。在性能函數(shù)ρ(t)約束下的誤差響應(yīng)曲線如圖2所示。除設(shè)計(jì)性能函數(shù)外，傳統(tǒng)的預(yù)設(shè)性能控制還需要對系統(tǒng)進(jìn)行誤差變換，將約束下的跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為無約束的穩(wěn)定控制問題，由于與本文內(nèi)容無關(guān)，這里不再詳細(xì)給出變換過程。

本文選取式(41)所示的性能函數(shù)對系統(tǒng)的滑模面響應(yīng)si進(jìn)行約束，根據(jù)式(42)可知，其約束范圍可以表示為

-ρi(t)

(43)

設(shè)計(jì)控制器τ為

(44)

{zi=si/φsi

φsi=mρi(t)+(m-1)ρi(t)

(45)

式中：當(dāng)si≥0時(shí)，m=1;當(dāng)si<0時(shí)，m=0;其他變量及參數(shù)的定義與控制器相同。

定理2對于滿足假設(shè)1的航天器姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)(8)～(10)，采用控制器(44)和自適應(yīng)律(18)，能夠使系統(tǒng)狀態(tài)從任一初值在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面鄰域后又在有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)鄰域，即保證系統(tǒng)是實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定的，且系統(tǒng)的滑模面響應(yīng)si滿足約束條件(43)。

圖2 預(yù)設(shè)跟蹤誤差響應(yīng)曲線范例Fig.2 Example of prescribed tracking error response

證明：與定理1的證明過程相似，定理2的證明過程同樣分為兩步。

(46)

當(dāng)si≥0時(shí)，zi≥0成立，則有

(47)

當(dāng)si<0時(shí)，zi<0成立，則有

(48)

根據(jù)上述分析可知，式(46)與式(20)具有相同的形式，則后續(xù)證明過程與式(21)～式(39)一致，這里不再贅述。

注5在整個(gè)控制過程中，當(dāng)si受到環(huán)境干擾、參數(shù)不確定性等因素的影響而靠近約束邊界±ρi時(shí)，控制器(44)中的預(yù)設(shè)性能項(xiàng)(對數(shù)項(xiàng))將通過提高控制增益的方式，使si遠(yuǎn)離約束邊界，這種調(diào)節(jié)機(jī)理與預(yù)設(shè)性能控制相似。

注6采用預(yù)設(shè)性能方法對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行約束時(shí)，一般需要先對系統(tǒng)進(jìn)行誤差變換，而本文直接在控制器(44)中引入了預(yù)設(shè)性能項(xiàng)，無需系統(tǒng)變換，在一定程度上簡化了控制器設(shè)計(jì)過程。嚴(yán)格地講，控制器(44)并不屬于預(yù)設(shè)性能控制的范疇，但借鑒了通過性能函數(shù)對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行約束的思想，在控制效果上與傳統(tǒng)預(yù)設(shè)性能控制有很多相似之處。

4 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)利用MATLAB對航天器姿態(tài)跟蹤過程進(jìn)行數(shù)值仿真，并將本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)終端滑模有限時(shí)間控制器FTSMC、預(yù)設(shè)性能有限時(shí)間控制器PPC+FTSMC與PD控制器進(jìn)行比較。

仿真中，航天器主要參數(shù)如表1所示，控制器參數(shù)如表2所示。為了方便對本文設(shè)計(jì)的兩種控制器進(jìn)行對比，除預(yù)設(shè)性能項(xiàng)外， FTSMC控制器與PPC+FTSMC控制器的其他參數(shù)均相同。對于相同的參數(shù)，表2不再重復(fù)給出。

此外，假設(shè)航天器姿態(tài)干擾力矩為[14,25]

10-3N·m

根據(jù)上述參數(shù)，采用FTSMC控制器時(shí)，航天器的姿態(tài)誤差四元數(shù)、角速度及控制力矩變化曲線如圖3所示。由圖3(a)和圖3(b)可以看出，在FTSMC控制器的作用下，航天器在21.5 s左右完成了對期望姿態(tài)的跟蹤，航天器的姿態(tài)和姿態(tài)角速度均具有較高的響應(yīng)速度和較快的響應(yīng)時(shí)間。

采用PPC+FTSMC控制器時(shí)，航天器姿態(tài)誤差四元數(shù)、角速度及控制力矩變化曲線如圖4所示；系統(tǒng)的滑模變量s1、s2、s3在性能函數(shù)約束下的響應(yīng)曲線如圖5所示。

表1 航天器主要參數(shù)Table 1 Main parameters of spacecraft

表2 控制器參數(shù)Table 2 Parameters of controller

圖3 四元數(shù)誤差、角速度以及控制力矩變化曲線(FTSMC)Fig.3 Time histories of velocity and control torque (FTSMC)

根據(jù)圖4(a)和圖4(b)可知，在PPC+FTSMC控制器的作用下，航天器在18.5 s左右完成了對期望姿態(tài)的跟蹤，相比于FTSMC控制器，跟蹤時(shí)間縮短了約3 s。由圖5可以看出，采用PPC+FTSMC控制器時(shí)，系統(tǒng)的滑模面響應(yīng)si被嚴(yán)格限定在了約束范圍內(nèi)，且系統(tǒng)狀態(tài)能夠在較短的時(shí)間內(nèi)收斂至滑模面鄰域。進(jìn)一步比較圖3(c)和圖4(c)可知，采用PPC+FTSMC控制器時(shí)執(zhí)行機(jī)構(gòu)需要輸出較大的控制力矩。這說明PPC+FTSMC控制器中的預(yù)設(shè)性能項(xiàng)增大了指令控制力矩的幅值，這部分增加的控制力矩使系統(tǒng)的滑模面響應(yīng)si得到了約束，并縮短了系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定時(shí)間。

圖4 四元數(shù)誤差、角速度以及控制力矩變化曲線(PPC+FTSMC)Fig.4 Time histories of angular velocity and control torque (PPC+FTSMC)

圖5 滑模面響應(yīng)s1、 s2、 s3變化曲線(PPC+FTSMC)Fig.5 Time history of sliding surfaces s1, s2, s3(PPC+FTSMC)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述兩種有限時(shí)間控制器的快速、高精度的特性，本文將傳統(tǒng)的PD控制器用于航天器姿態(tài)跟蹤問題，其仿真結(jié)果如圖6所示，3種控制器的性能對比如表3所示。從表中可以看出，F(xiàn)TSMC控制器和PPC+FTSMC控制器的性能明顯優(yōu)于PD控制器，在一定程度上驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)控制器的有效性。

圖6 四元數(shù)誤差、角速度以及控制力矩變化曲線 (PD)Fig.6 Time histories of angular velocity and control torque (PD)

表3 3種控制器性能對比Table 3 Comparision of performance of three controllers

5 結(jié) 論

針對剛體航天器姿態(tài)跟蹤控制問題，提出了新型的有限時(shí)間控制方法，經(jīng)過嚴(yán)格的理論分析及充分的仿真驗(yàn)證，得出如下結(jié)論：

1) 所提出的控制方法將處理終端滑模奇異問題的飽和函數(shù)法與實(shí)際有限時(shí)間穩(wěn)定概念相結(jié)合，避免了傳統(tǒng)終端滑?？刂破鞯钠娈悊栴}。

2) 所提出的控制方法通過引入新型自適應(yīng)律，在增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性的同時(shí)，規(guī)避了控制器輸出的抖振問題。

3) 進(jìn)一步考慮航天器姿態(tài)跟蹤過程中的約束問題，所提控制方法借鑒了預(yù)設(shè)性能控制的思想，將系統(tǒng)的滑模面響應(yīng)約束在了預(yù)先設(shè)定的范圍內(nèi)，并在一定程度上提高了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂速度。

綜上，本文所提出的方法屬于高增益控制方法，控制精度高、響應(yīng)速度快，具有一定的理論與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。